1、第三节空间点、线、面之间的位置关系最新考纲考情分析核心素养1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.以常见的空间几何体为载体，考查点、直线、平面的位置关系，以及异面直线所成角、线面角等，与平行关系、垂直关系等相结合考查是高考的热点.1.直观想象2.数学运算知识梳理1平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线常用结
2、论三点不一定能确定一个平面当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面2空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：(3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补常用结论1“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交2不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线3异面直
3、线不具有传递性，即若直线a与b异面，b与c异面，则a与c不一定是异面直线3空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.()(2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线()(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC()(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面()(5)没有公共点的两条直线是异面直线()(6)若a，b是两条直线，是两个平面，且a，
4、b，则a，b是异面直线()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、走进教材2(必修2P52B1(2)改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为()A30B45C60D90答案：C3(必修2P45例2改编)已知空间四边形的两条对角线互相垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A梯形B矩形C菱形D正方形答案：B三、易错自纠4(2019届江西七校联考)已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A相交或平行B相交或异面C平行或异面D相交、平行或异面解析：选D依题意，直线b
5、和c的位置关系可能是相交、平行或异面5若直线ab，且直线a平面，则直线b与平面的位置关系是()AbBbCb或bDb与相交或b或b解析：选Db与相交或b或b都可能6在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于_解析：如图，延长CA到点D，使得ADAC，连接DA1，BD，则四边形ADA1C1为平行四边形，所以DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角又A1DA1BDBAB，所以A1DB为等边三角形，所以DA1B60.答案：60|题组突破|1.如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论
6、正确的是()AA，M，O三点共线BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面DB，B1，O，M共面解析：选A连接A1C1，AC，则A1C1AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C平面ACC1A1.因为MA1C，所以M平面ACC1A1，又M平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线故选A2以下四个命题中，正确命题的个数是()不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接
7、的四条线段必共面A0B1C2D3解析：选B正确，可以用反证法证明：若其中任意三点共线，则四点必共面；不正确，若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；不正确，构造长方体或正方体，如图显然b，c异面；不正确，空间四边形中四条线段不共面故只有正确名师点津判断线共面或点共面的3种方法(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合|题组突破|3(2019年全国卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，
8、M是线段ED的中点，则()ABMEN，且直线BM，EN是相交直线BBMEN，且直线BM，EN是相交直线CBMEN，且直线BM，EN是异面直线DBMEN，且直线BM，EN是异面直线解析：选B取CD的中点O，连接ON，EO，因为ECD为正三角形，所以EOCD又平面ECD平面ABCD，平面ECD平面ABCDCD，所以EO平面ABCD设正方形ABCD的边长为2，则EO，ON1，所以EN2EO2ON24，解得EN2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP，CP，所以BM2MP2BP2227，解得BM，所以BMEN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面
9、BDE内，所以直线BM，EN是相交直线，故选B4在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形的序号是_解析：图中，直线GHMN，因此GH与MN共面；图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，则GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H平面GMN，因此GH与MN异面所以在图中，GH与MN异面答案：名师点津异面直线的判定方法【例】如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()ABCD解析连接BC1，易证BC1A
10、D1，则A1BC1(或其补角)即为异面直线A1B与AD1所成的角连接A1C1，由AA12AB2，底面为正方形，得A1C1，A1BBC1，故cosA1BC1.则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.故选D答案D|变式探究|1将本例条件“AA12AB2”改为“AB1，若平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”，问题不变解：由平面ABCD内有且仅有一点到A1的距离为1，得AA11.此时正四棱柱变为正方体ABCDA1B1C1D1，由图知(图略)A1B与AD1所成角为A1BC1(或其补角)，连接A1C1，则A1BC1为等边三角形，A1BC160，cosA1BC1，故异面直线A1B与AD1所成角
11、的余弦值为.2将本例条件“AA12AB2”改为“AB1，且平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”，则是否存在过顶点A的直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成角都相等，若存在，存在几条？若不存在，说明理由解：由条件知，此时正四棱柱为正方体如图，连接对角线AC1，显然AC1与棱AB，AD，AA1所成角都相等，联想正方体的其他体对角线，如连接BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等因为BB1AA1，BCAD，所以体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等同理体对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成角都相等，故过A作BD1，A1C，DB1的平行线都满足，故这样的
12、直线可以作4条名师点津用平移法求异面直线所成角的3个步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角【例】(2017年全国卷)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最大值为60.其中正确的是_
13、(填写所有正确结论的编号)解析由题意知，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，又ACa，ACb，AC圆锥底面，在底面内可以过点B作BDa，交底面圆C于点D，如图所示，连接DE，则DEBD，DEb，连接AD，设BC1，在等腰ABD中，ABAD，当直线AB与a成60角时，ABD60，故BD.又在RtBDE中，BE2，DE，过点B作BFDE，交圆C于点F，连接AF，EF，BFDE，ABF为等边三角形，ABF60，即AB与b成60角，正确，错误；当a为AB在圆锥底面的射影时，所成角为45，正确；很明显，可以满足平面ABC直线a，直线AB与a所成角的最大值为90，错误正确的说法为.答案名师点津把
14、a，b平移到圆锥底面构造线线角，解决问题使问题直观|跟踪训练|(2019届武汉市武昌区高三三调)若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即ABCD，ACBD，ADBC，给出下列结论：四面体ABCD每组对棱相互垂直；四面体ABCD每个面的面积相等；从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90而小于180；连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长其中正确结论的序号是_(写出所有正确结论的序号)解析：对于，如图1，AE，CF分别为BD边上的高，由三角形全等可知DEBF，当且仅当ADAB，CDBC时，E，F重合，此时AC
15、BD，所以只有当四面体ABCD为正四面体时，每组对棱才相互垂直，故错误；对于，因为ABCD，ACBD，ADBC，所以四面体ABCD的四个面全等，所以四面体ABCD每个面的面积相等，故正确；对于，当四面体为正四面体时，同一个顶点出发的任意两条棱的夹角均为60，此时四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于180，故错误；对于，如图2，G，H，I，J为各边中点，因为ACBD，所以四边形GHIJ为菱形，GI，HJ互相垂直平分，其他同理可得，所以连接四面体ABCD每组对棱中点的线段互相垂直平分，故正确；对于，从A点出发的三条棱为AB，AC，AD，因为ACBD，所以AB，AC，AD可以构成三角形，同理可得其他，所以从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长，故正确综上所述，正确结论的序号为.答案：