1、 3.2.1几类不同增长的函数模型（学案）一、学习目标1理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义(重点)2区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异(易混点)3会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题(难点)二、自主学习 教材整理几类不同增长的函数模型阅读教材P98P101，完成下列问题1三种函数模型的性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化随x的增大逐渐与y轴平行随x的增大逐渐与x轴平行随n值的不同而不同2.三种函数增长速度的比较(1)在区间(0，)上，函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，
2、但增长进度不同，且不在同一个“档次”上(2)随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度越来越慢(3)存在一个x0，当xx0时，有axxnlogax.三、合作探究 例1. (1)下列函数中，增长速度最快的是() Ay2 016x Byx2 016 Cylog2 016x Dy2 016x(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321 02432 7681.051063.361071.07109y32102030405060
3、y424.3225.3225.9076.3226.6446.907则关于x呈指数型函数变化的变量是_【自主解答】(1)比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2 变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化故填y2.【答案】(1)A(2)y2归纳总结：1指数函数模型yax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”2对数函数模型ylogax(a1)的增长特
4、点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢3幂函数模型yxn(n0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间例2. 函数f(x)2x和g(x)x3的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 016)，g(2 016)的大小【自主解答】(1)C1对应的函数为g(x)x3，C2对应的函数为f(x)2x.(2)f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(9)，f(10)g(10)，1x12,9x210，x16x2,2 016x2.从图象上可以看出，当x1xx2
5、时，f(x)g(x)，f(6)g(6)；当xx2时，f(x)g(x)，f(2 016)g(2 016)又g(2 016)g(6)，f(2 016)g(2 016)g(6)f(6) 归纳总结：根据函数图象判断增长函数模型时，通常是根据函数图象上升的快慢来判断，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数，中间的是幂函数.例3. 某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.58千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减(1)下列几个模拟函数中：yax2bx；ykxb；ylogaxb；ya
6、xb(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由；(2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销售量最多是多少？【自主解答】(1)用来模拟比较合适因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减而，表示的函数在区间上是单调函数，所以，都不合适，故用来模拟比较合适(2)因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为2升；人均GDP为4千美元时，
7、年人均A饮料的销量为5升，把x1，y2；x4，y5代入到yax2bx，得解得a，b，所以函数解析式为yx2x.(x0.5,8)yx2x2，当x时，年人均A饮料的销售量最多是 L.归纳总结：不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律1线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律2指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律3对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律4幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律四、学以致用 1下列函数中随x的增大而增长速度最快的是()Ayex By100ln x Cyx100 Dy1002x【答案】A2函数f(x)lg x，g(x)0.3x1的
8、图象如图322所示(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)图322【解】(1)C1对应的函数为g(x)0.3x1，C2对应的函数为f(x)lg x.(2)当xf(x)；当x1xg(x)；当xx2时，g(x)f(x)；当xx1或xx2时，f(x)g(x)3某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100t,120t,130t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y(t)与月序数x之间的关系对此模拟函数可选用二次函数yf(x)ax2bx
9、c(a，b，c均为待定系数，xN*)或函数yg(x)pqxr(p，q，r均为待定系数，xN*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？【解】根据题意可列方程组：解得所以yf(x)5x235x70.同理yg(x)800.5x140.再将x4分别代入与式得：f(4)54235470130(t)，g(4)800.54140135(t)与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以式作为模拟函数比式更好，故选用函数yg(x)pqxr作为模拟函数较好.五、自主小测 1如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函
10、数模型() x45678910y15171921232527A.一次函数模型 B二次函数模型C指数函数模型 D对数函数模型2下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是()Ay1 Byx Cy3x Dylog3x3某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用()A一次函数 B二次函数C指数型函数 D对数型函数4生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应_；B对应_；C对应_；D对应_. 5函数f(x)1.1
11、x，g(x)ln x1，h(x)x的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点) 参考答案1.【解析】自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型故选A. 【答案】A2.【解析】结合函数y1，yx，y3x及ylog3x的图象可知，随着x的增大，增长速度最快的是y3x. 【答案】C3.【解析】结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，对数型函数符合题设条件，故选D.【答案】D4.【解析】A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快慢快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应 【答案】(4)(1)(3)(2)5.【解】由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)x，曲线C3对应的函数是g(x)ln x1.由题图知，当xh(x)g(x)；当1xg(x)h(x)；当exf(x)h(x)；当axh(x)f(x)；当bxg(x)f(x)；当cxf(x)g(x)；当xd时，f(x)h(x)g(x)