1、题组层级快练(五十三)1(2017成都一诊)设，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是()A若a，b，则abB若a，b，ab，则C若a，b，ab，则D若a，b在平面内的射影互相垂直，则ab答案C解析与同一平面平行的两条直线不一定平行，所以A错误；与两条平行直线分别平行的两个平面未必平行，所以B错误；如图(1)，设OAa，OBb，直线OA，OB确定的平面分别交，于AC，BC，则OAAC，OBBC，所以四边形OACB为矩形，ACB为二面角l的平面角，所以，C正确；如图(2)，直线a，b在平面内的射影分别为m，n，显然mn，但a，b不垂直，所以D错误，故选C.2已知
2、m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A若，则B若mn，m，n，则C若mn，m，则nD若mn，m，n，则答案D解析对于选项A，两平面，同垂直于平面，平面与平面可能平行，也可能相交；对于选项B，平面，可能平行，也可能相交；对于选项C，直线n可能与平面平行，也可能在平面内；对于选项D，由mn，m，n.又n，故选D.3设a，b，c是三条不同的直线，是两个不同的平面，则ab的一个充分不必要条件是()Aac，bcB，a，bCa，b Da，b答案C解析对于C，在平面内存在cb，因为a，所以ac，故ab；A，B中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D中一定推出
3、ab.4空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是()A垂直且相交 B相交但不一定垂直C垂直但不相交 D不垂直也不相交答案C解析取BD的中点E，连接AE，CE.因为ABADBCCD，所以AEBD，CEBD.所以BD平面AEC.又AC平面AEC，所以BDAC.故选C.5.已知直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系中不正确的是()APABCBBC平面PACCACPBDPCBC答案C解析AB为直径，C为圆上异于A，B的一点，所以ACBC.因为PA平面ABC，所以PABC.因为PAACA，所以BC平面PAC，从而PCBC.故选C.6. (2
4、017安徽合肥一模)如图，已知四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，且PDAD，则下列命题中错误的是()A过BD且与PC平行的平面交PA于M点，则M为PA的中点B过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N为PB的中点C过AD且与PC垂直的平面交PC于H点，则H为PC的中点D过P，B，C的平面与平面PAD的交线为直线l，则lAD答案B解析设ACBDO，因为四边形ABCD是正方形，所以O是AC的中点，因为过BD且与PC平行的平面交PA于点M，所以OMPC，所以M是PA的中点，故A正确；设N为PB的中点，连接AN.因为PA与AB不一定相等，所以AN与PB不一定垂直，所以过AC且与PB垂直的平面交
5、PB于N点，则N不一定是PB中点，故B项错误；因为四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD且PDAB，所以PAAC，PDDC，所以过AD且与PC垂直的平面交PC于点H，则H为PC的中点，故C正确；因为ADBC，所以BC平面PAD.又平面PAD平面PCBl，所以lBC，所以lAD，故D正确故选B.7.如图，在三棱锥DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BCDC平面ABC平面BDE，且平面ACD平面BDED平面ABC平面ACD，且平面ACD平面BDE答案C解析因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理，DEAC，由于
6、DEBEE，于是AC平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.故选C.8. (2017沧州七校联考)如图所示，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC.则下列结论不正确的是()ACD平面PAF BDF平面PAFCCF平面PAB DCF平面PAD答案D解析A中，CDAF，AF面PAF，CD面PAF，CD平面PAF成立；B中，ABCDEF为正六边形，DFAF.又PA面ABCDEF，DF平面PAF成立；C中，CFAB，AB平面PAB，CF平面PAB，CF平面PAB；而D中CF与AD不垂直，故选D.9.如图所示，在正方形ABC
7、D中，E，F分别是BC和CD的中点，G是EF的中点，现在沿着AE和AF及EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在四面体AEFH中必有()AAHEFH所在平面BAGEFH所在平面CHFAEF所在平面DHGAEF所在平面答案A解析ADDF，ABBE，又B，C，D重合记为H，AHHF，AHHE.AH面EFH.10(2016新课标全国)，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么；如果m，n，那么mn；如果，m，那么m；如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)答案解析对于命题，可运用长方体举反
8、例证明其错误：如图，不妨设AA为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为，ABCD所在的平面为，显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立命题正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面相交于直线l，则ln，由m知ml，从而mn，结论正确由平面与平面平行的定义知命题正确由平行的传递性及线面角的定义知命题正确11(2017河南四校调研)四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两互相垂直的共有_对答案5解析因为ADAB，ADPA且PAABA，可得AD平面PAB.同理可得BC平面PAB、AB平面PAD、CD平面PAD，由面面垂直的判定定理可得，平面PAD平面PA
9、B，平面PBC平面PAB，平面PCD平面PAD，平面PAB平面ABCD，平面PAD平面ABCD，共有5对12(2017泉州模拟)点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列命题：三棱锥AD1PC的体积不变；A1P平面ACD1；DBBC1；平面PDB1平面ACD1.其中正确的命题序号是_答案解析对于，VAD1PCVPAD1C点P到面AD1C的距离，即为线BC1与面AD1C的距离，为定值故正确，对于，因为面A1C1B面AD1C，所以线A1P面AD1C，故正确，对于，DB与BC1就成60角，故错对于，由于B1D面ACD1，所以面B1DP面ACD1，故正确13(2017湖北宜昌
10、模拟)在正三棱柱ABCA1B1C1中，BCBB1，E，F，M分别为A1C1，AB1，BC的中点(1)求证：EF平面BB1C1C；(2)求证：EF平面AB1M.答案(1)略(2)略证明(1)连接A1B，BC1.因为E，F分别为A1C1，AB1的中点，所以F为A1B的中点所以EFBC1.因为BC1平面BB1C1C，EF平面BB1C1C，所以EF平面BB1C1C.(2)在矩形BCC1B1，BCBB1，所以tanCBC1，tanB1MB.所以tanCBC1tanB1MB1.所以CBC1B1MB.所以BC1B1M.因为EFBC1，所以EFB1M.在正三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC平面BB1C1C
11、.因为M为BC的中点，ABAC，所以AMBC.因为平面ABC平面BB1C1CBC，所以AM平面BB1C1C.因为BC1平面BB1C1C，所以AMBC1因为EFBC1，所以EFAM.又因为AMB1MM，AM平面AB1M，B1M平面AB1M，所以EF平面AB1M.14.如图，四棱锥PABCD中，PACA，PA底面ABCD，E，F分别为PD，PC的中点，且底面ABCD中，ACD是直角求证：平面PCD平面AEF.答案略证明因为PACA，F为PC的中点，所以AFPC.因为PA平面ABCD，所以PACD.因为ACCD，PAACA，所以CD平面PAC.所以CDPC.因为E为PD的中点，F为PC的中点，所以E
12、FCD.所以EFPC.因为AFEFF，所以PC平面AEF.又PC平面PCD，所以平面PCD平面AEF.15(2016天津，文)如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED平面ABCD，EFAB，AB2，BCEF1，AE，DE3，BAD60，G为BC的中点(1)求证：FG平面BED；(2)求证：平面BED平面AED；(3)求直线EF与平面BED所成角的正弦值答案(1)略(2)略(3)解析 (1)证明：取BD的中点O，连接OE，OG.在BCD中，因为G是BC的中点，所以OGDC且OGDC1，又因为EFAB，ABDC，所以EFOG且EFOG，即四边形OGFE是平行四边形，所以FGOE.又FG平面BE
13、D，OE平面BED，所以FG平面BED.(2)证明：在ABD中，AD1，AB2，BAD60，由余弦定理可得BD，进而ADB90，即BDAD.又因为平面AED平面ABCD，BD平面ABCD，平面AED平面ABCDAD，所以BD平面AED.又因为BD平面BED，所以平面BED平面AED.(3)因为EFAB，所以直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所成的角过点A作AHDE于点H，连接BH.又平面BED平面AEDED，由(2)知AH平面BED，所以直线AB与平面BED所成的角即为ABH.在ADE中，AD1，DE3，AE，由余弦定理得cosADE，所以sinADE，因此AHADsinAD
14、E.在RtAHB中，sinABH.所以直线EF与平面BED所成角的正弦值为.16(2017潍坊质检)直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，BADADC90，AB2AD2CD2.(1)求证：AC平面BB1C1C；(2)在A1B1上是否存在一点P，使得DP与平面BCB1和平面ACB1都平行？证明你的结论答案(1)略(2)P为A1B1的中点时，DP与平面BCB1和平面ACB1都平行解析(1)直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1平面ABCD，BB1AC.又BADADC90，AB2AD2CD2，AC，CAB45.BC.BC2AC2AB2，BCAC.又BB1BCB，BB1平面B
15、B1C1C，BC平面BB1C1C，AC平面BB1C1C.(2)存在点P，P为A1B1的中点由P为A1B1的中点，有PB1AB，且PB1AB.又DCAB，DCAB，DCPB1，且DCPB1.DCB1P为平行四边形，从而CB1DP.又CB1平面ACB1，DP平面ACB1，DP平面ACB1.同理，DP平面BCB1.1(2017温州模拟)正方体ABCDABCD中，E为AC的中点，则直线CE垂直于()AAC BBDCAD DAA答案B解析连接BD，BDAC，BDCC，且ACCCC，BD平面CCE.而CE平面CCE，BDCE.又BDBD，BDCE.2.如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，ADA
16、B1，BCD45，且BDDC.给出下面四个命题：ADBC；三棱锥ABCD的体积为；CD平面ABD；平面ABC平面ACD.其中正确命题的序号是()A BC D答案B解析设BD的中点为E，并连接AE，如图所示对于，因为ABAD，所以AEBD，又平面ABD平面BCD，则AE平面BCD，AEBC，若ADBC，则BC平面ABD，则BCBD与题意不符，故错；对于，VABCDSBCDAE，故错；对于，因为AE平面BCD，所以AEDC，又CDBD，BDAEE，所以CD平面ABD，故正确；对于，由知，CD平面ABD，所以CDAB，又ADAB，ADCDD，所以AB平面ACD，又AB平面ABC，所以平面ABC平面A
17、CD，故正确3.如图所示，在四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论正确的是()AACBDBBAC90CCA与平面ABD所成的角为30D四面体ABCD的体积为答案B解析取BD的中点O，ABAD，AOBD，又平面ABD平面BCD，AO平面BCD.CDBD，OC不垂直于BD，假设ACBD，OC为AC在平面BCD内的射影，OCBD，矛盾，AC不垂直于BD.A错误；CDBD，平面ABD平面BCD，CD平面ABD，AC在平面ABD内的射影为AD，ABAD1，BD，ABAD，ABAC，B正确；CAD为直线CA与平面
18、ABD所成的角，CAD45，C错误；VABCDSABDCD，D错误，故选B.4已知P为ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：PABC；PBAC；PCAB；ABBC.其中正确的个数是_答案3解析如图所示PAPC，PAPB，PCPBP，PA平面PBC.又BC平面PBC，PABC.同理PBAC，PCAB.但AB不一定垂直于BC.5.(2017苏锡常镇四市调研)如图，四边形AA1C1C为矩形，四边形CC1B1B为菱形，且平面CC1B1B平面AA1C1C，D，E分别为A1B1，C1C的中点求证：(1)BC1平面AB1C；(2)DE平面AB1C.证明(1)四边形AA1C1C为矩形，
19、ACC1C.又平面CC1B1B平面AA1C1C，平面CC1B1B平面AA1C1CCC1，AC平面CC1B1B.BC1平面CC1B1B，ACBC1.又四边形CC1B1B为菱形，B1CBC1.B1CACC，BC1平面AB1C.(2)取AA1的中点F，连接DF，EF.四边形AA1C1C为矩形，E，F分别为C1C，AA1的中点，EFAC.EF平面AB1C，AC平面AB1C，EF平面AB1C.D，F分别为边A1B1，AA1的中点，DFAB1.DF平面AB1C，AB1平面AB1C，DF平面AB1C.EFDFF，EF平面DEF，DF平面DFE，平面DEF平面AB1C.DE平面DEF，DE平面AB1C.6如图
20、所示，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，ADEF，AFE60，且平面ABCD平面ADEF，AFFEABAD2，点G为AC的中点(1)求证：EG平面ABF；(2)求三棱锥BAEG的体积；(3)试判断平面BAE与平面DCE是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由解析(1)证明：取AB中点M，连接FM，GM.G为对角线AC的中点，GMAD，且GMAD.又FE綊AD，GMEF且GMFE.四边形GMFE为平行四边形，EGFM.又EG平面ABF，FM平面ABF，EG平面ABF.(2)作ENAD于N，由平面ABCD平面AFED，面ABCD面AFEDAD，得EN平面ABCD，即EN为三棱锥EA
21、BG的高在AEF中，AFFE，AFE60，AEF是正三角形AEF60，由EFAD，知EAD60，ENAEsin60.三棱锥BAEG的体积为VSABGEN2.(3)平面BAE平面DCE.证明如下：四边形ABCD为矩形，且平面ABCD平面AFED，CD平面AFED，CDAE.四边形AFED为梯形，FEAD，且AFE60，FAD120.又在AED中，EA2，AD4，EAD60，由余弦定理，得ED2，EA2ED2AD2，EDAE.又EDCDD，AE平面DCE.又AE平面BAE，平面BAE平面DCE.7.如图所示，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为矩形，PAD为等腰三角形，APD90，平面PAD平面
22、ABCD，且AB1，AD2，E，F分别为PC，BD的中点(1)证明：EF平面PAD；(2)证明：平面PDC平面PAD；(3)求四棱锥PABCD的体积答案(1)略(2)略(3)解析(1)如图所示，连接AC.四边形ABCD为矩形且F是BD的中点，F也是AC的中点又E是PC的中点，EFAP，EF平面PAD，PA平面PAD，EF平面PAD.(2)证明：面PAD平面ABCD，CDAD，平面PAD平面ABCDAD，CD平面PAD.CD平面PDC，平面PDC平面PAD.(3)取AD的中点为O.连接PO.平面PAD平面ABCD，PAD为等腰直角三角形，PO平面ABCD，即PO为四棱锥PABCD的高AD2，PO
23、1.又AB1，四棱锥PABCD的体积VPOABAD.8.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ABBB1，ACBCBB12，D为AB的中点，且CDDA1.(1)求证：BB1平面ABC；(2)求证：BC1平面CA1D；(3)求三棱锥B1A1DC的体积答案(1)略(2)略(3)解析(1)证明：ACBC，D为AB的中点，CDAB.又CDDA1，CD平面ABB1A1.CDBB1.又BB1AB，ABCDD，BB1平面ABC.(2)证明：连接BC1，连接AC1交CA1于E，连接DE，易知E是AC1的中点又D是AB的中点，则DEBC1.又DE平面CA1D，BC1平面CA1D，BC1平面CA1D.
24、(3)由(1)知CD平面AA1B1B，故CD是三棱锥CA1B1D的高在RtACB中，ACBC2，AB2，CD.又BB12，VB1A1DCVCA1B1DSA1B1DCDA1B1B1BCD22.9(2015新课标全国)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积答案(1)略(2)32解析(1)因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE.又BE，BD平面ABCD，BEBDB，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体积VEACDACGDBEx3.故x2.从而可得AEECED.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为32.