1、第二节两直线的位置关系最新考纲考情分析核心素养1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.确定两条直线的位置关系，已知两条直线的位置关系求参数，求直线的交点和点到直线的距离，对称问题，过定点的直线系问题是2021年高考考查的热点，往往和圆锥曲线综合起来，题型多是解答题，分值为514分.数学运算知识梳理1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2
2、平行(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1l2k1k21，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直常用结论两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况；两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况2两直线相交直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组的解一一对应相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解3距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|特别地，原点O(0，0)与
3、任一点P(x，y)的距离|OP|_(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离d.常用结论1平行于直线AxByC0的直线系方程：AxBy0(C)2垂直于直线AxByC0的直线系方程：BxAy0.3过两条已知直线A1xB1yC10，A2xB2yC20交点的直线系方程：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不包括直线A2xB2yC20)和A2xB2yC20.4点(x，y)关于x轴的对称点为(x，y)，关于y轴的对称点为(x，y)5点(x，y)关于直线yx的对
4、称点为(y，x)，关于直线yx的对称点为(y，x)6点(x，y)关于直线xa的对称点为(2ax，y)，关于直线yb的对称点为(x，2by)7点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2ax，2by)8点(x，y)关于直线xyk的对称点为(ky，kx)，关于直线xyk的对称点为(ky，xk)基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交()(4)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()(5
5、)两平行直线2xy10，4x2y10间的距离是0.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、走进教材2(必修2P114A10改编)两条平行直线3x4y120与ax8y110之间的距离为()ABC7D答案：D3(必修2P89练习2改编)已知P(2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线xy10，则m_答案：1三、易错自纠4已知直线3x4y30与直线6xmy140平行，则它们之间的距离是()ABC8D2解析：选D，m8，直线6xmy140可化为3x4y70，两平行线之间的距离d2.5已知直线l1：(3a)x4y53a和直线l：2x(5a)y8平行，则a()A7或1B7C7或1D1解析：选B由题
6、意可得a5，所以，解得a7(a1舍去)6已知点(a，2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a_解析：由题意得，1，|a1|.a0，a1.答案：1|题组突破|1直线axy70与4xay30平行，则a()A2B2或2C2D解析：选B由直线axy70与4xay30平行，可得，解得a2，故选B2已知直线l1：2ax(a1)y10，l2：(a1)x(a1)y0，若l1l2，则a()A2或B或1CD1解析：选B直线l1：2ax(a1)y10，l2：(a1)x(a1)y0，l1l2，2a(a1)(a1)(a1)0，解得a或a1.故选B3设直线l1：x2y10与直线l2：mxy30的交点为A.P，Q分别
7、为l1，l2上任意一点，点M为线段PQ的中点若|AM|PQ|，则m的值为()A2B2C3D3解析：选A根据题意画出图形如图所示在PQA中，M为PQ的中点，若|AM|PQ|，则PAQA，即l1l2，1m(2)10，解得m2.故选A名师点津解决两直线平行与垂直的参数问题一定要“前思后想”|题组突破|4(2019届厦门模拟)“c5”是“点(2，1)到直线3x4yc0的距离为3”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析：选B由点(2，1)到直线3x4yc0的距离d3，解得c5或c25，故“c5”是“点(2，1)到直线3x4yc0的距离为3”的充分不必要条件，故选B5已
8、知点M是直线xy2上的一个动点，且点P(，1)，则|PM|的最小值为()AB1C2D3解析：选B|PM|的最小值即点P(，1)到直线xy2的距离，又d1，故|PM|的最小值为1.故选B6(2019届绵阳诊断)若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为()ABCD解析：选C因为，所以两直线平行由题意可知，|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|PQ|的最小值为.故选C名师点津处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求注意直线方程为一般式(2)两动点距离问题，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点所在直线
9、的平行问题，从而计算简便命题角度一点关于点的对称【例1】过点P(0，1)作直线l使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_解析设直线l1与直线l的交点为A(a，82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a，2a6)在l2上，把B点坐标代入直线l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4，0)在直线l上所以由P(0，1)，A(4，0)得直线l的方程为x4y40.答案x4y40名师点津点关于点对称的求解方法若点M(x1，y1)和点N(x，y)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解命题角度二点关于线的对称问题【例2】(2019届湖
10、北孝感五校联考)已知直线y2x是ABC中C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(4，2)，(3，1)，则点C的坐标为()A(2，4)B(2，4)C(2，4)D(2，4)解析设A(4，2)关于直线y2x的对称点为A(x，y)，则解得A(4，2)在直线BC上，BC所在直线方程为y1(x3)，即3xy100.联立解得则C(2，4)答案C名师点津点关于直线对称的解题方法若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：AxByC0对称，则由方程组可得到点P1关于直线l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B0，x1x2)命题角度三线关于点或线的对称问题【例3】与直线2xy40关于直线xy1
11、0对称的直线的方程为_解析设P(x，y)是待求直线上任意一点，Q(x0，y0)是P关于直线xy10的对称点，则Q在直线2xy40上，由轴对称图形的性质有解得将(y1，x1)代入2x0y040中，得x2y50.答案x2y50名师点津1线关于点对称的求解方法(1)在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；(2)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求的直线方程2线关于点对称的实质“线关于点的对称”其实质就是“点关于点的对称”，只要在直线上取两个点，求出其对称点的坐标即可，可统称为“中心对称”|跟踪训练|1如果平面直角坐标系内的两点A
12、(a1，a1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为()Axy10Bxy10Cxy10Dxy10解析：选A因为直线AB的斜率为1，所以直线l的斜率为1.设直线l的方程为yxb，由题意知直线l过点，所以b，解得b1，所以直线l的方程为yx1，即xy10.故选A2坐标原点(0，0)关于直线x2y20对称的点的坐标是()ABCD解析：选A直线x2y20的斜率k，设坐标原点(0，0)关于直线x2y20对称的点的坐标是(x0，y0)，依题意可得解得即所求点的坐标是.3已知入射光线经过点M(3，4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为_解析：设点M(3
13、，4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，所以解得即M(1，0)又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为，即6xy60.答案：6xy60【例】(2019年江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线yx(x0)上的一个动点，则点P到直线xy0的距离的最小值是_解析解法一：设P，x0，则点P到直线xy0的距离d4，当且仅当2x，即x时取等号，故点P到直线xy0的距离的最小值是4.解法二：由yx(x0)得y1，令11，得x，则当点P的坐标为(，3)时，点P到直线xy0的距离最小，最小值为4.答案4名师点津求曲线上一点到直线的距离的最小值时，一般方法是设出曲线上点的坐标，利用点到直线的距离公式建立目标函数，再由基本不等式或导数求解最值，也可平移直线，使平移后的直线与曲线相切，此时切点到原直线的距离最短|跟踪训练|在1，5内随机取一个实数a，则直线axy10与直线axy30之间的距离小于或等于1的概率为_解析：因为直线axy10与直线axy30之间的距离为，所以令1，得a或a，又a1，5，所以a5，所以所求的概率为.答案：