1、1.4.1.3空间中直线、平面的垂直 教材要点要点空间垂直关系的向量表示设直线 l，m 的方向向量分别为 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，平面，的法向量分别为 u(u1，u2，u3)，v(v1，v2，v3)，则位置关系向量关系向量运算关系坐标关系lmabab0a1b1a2b2a3b30lauau，Ra1u1，a2u2，a3u3uvuv0u1v1u2v2u3v30基础自测1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交()(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.()(3)两个平面垂直
2、，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直()(4)如果一个向量与平面内两个向量垂直，则此向量是平面的一个法向量()2.若直线l的方向向量a(1,0,2)，平面的法向量为n(2，0，4)，则()Al BlCl Dl与斜交解析：n(2,0，4)2(1,0,2)2a，na，l.答案：B3设直线l的方向向量u(2,2，t)，平面的一个法向量v(6，6,12)，若直线l平面，则实数t等于()A4 B4C2 D2解析：因为直线l平面，所以uv，则26 26 t12，解得t4，故选B.答案：B4已知平面和平面的法向量分别为a(1,2,3)，b(x，2，3)，且，则x_.解析：，ab，
3、abx490，x5.答案：5题型一证明线线垂直1已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的各棱长都为 1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱 CC1 上的点，且 CN14CC1.求证：AB1MN.证明：设AB中点为O，作OO1AA1.以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得A(12，0,0)，B(12，0,0)，C(0，32，0)，N(0，32，14)，B1(12，0,1)，M为BC中点，M(14，34，0).MN(14，34，14)，AB1(1,0,1)，MN AB1 140140.MN AB1，AB1MN.2.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D
4、1中，AB1，AA12，点E为CC1的中点，点F为BD1的中点证明：EFBD1，EFCC1.证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,1,0)，D1(1,0,2)，C1(0,0,2)，E(0,0,1)，F(12，12，1)，C(0,0,0)EF(12，12，0)，CC1(0,0,2)，BD1(1，1,2)，EFBD1 0，EFCC1 0EFBD1，EFCC1.方法技巧把要证的 EFCC1，EFBD1 转化为向量运算EFCC1 0，EFBD1 0，这样避免了构造辅助图形，降低了思维量，这正是向量法解题的魅力所在方法技巧建立空间直角坐标系，将两直线的方向向量用坐标表示，再证明其数量积为 0.题
5、型二证明线面垂直例 1如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，O 为 AC 与BD 的交点，G 为 CC1 的中点求证：A1O平面 GBD.证明：方法一 如图以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设正方体棱长为2，则O(1,1,0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，OA1(1，1,2)，OB(1,1,0)，BG(2,0,1)，而OA1 OB 1100，OA1 BG 2020.OA1 OB，OA1 BG，即OA1OB，OA1BG，而OBBGB，OA1平面GBD.方法二 同方法一建系后，BG(2,0,
6、1)，BD(2，2,0)，设平面GBD的法向量为n(x，y，z)则BG n0，BD n0，2xz0，2x2y0，令x1，得z2，y1，平面GBD的一个法向量为n(1，1，2)显然A1O(1,1，2)n，A1O n，A1O平面GBD.方法技巧利用坐标法证明线面垂直的步骤方法一1建立空间直角坐标系；2将直线的方向向量用坐标表示；3找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；4分别计算直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量的数量积，得到数量积为 0.方法二1建立空间直角坐标系；2将直线的方向向量用坐标表示；3求出平面的法向量；4证明直线的方向向量与平面的法向量平行变式训练 1如图，已
7、知平面 BCC1B1 是圆柱的轴截面(经过圆柱的轴的截面)，BC 是圆柱底面的直径，O 为底面圆心，E 为 CC1的中点，A 是底面圆周上异于 B，C 的一点，A1 是上底面圆周上异于 B1，C1 的一点，且 AA1平面 ABC，ABACAA14，求证：B1O平面 AEO.证明：由题意可知 AB，AC，AA1 两两互相垂直，以 A 为原点，AB，AC，AA1 所在的直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(4,0,0)，E(0,4,2)，O(2,2,0)，B1(4,0,4)，B1O(2,2，4)，EO(2，2，2)，AO(2,2,0)设平面 AEO 的法向
8、量为 n(x，y，z)，则nEO 0，nAO 0，即2x2y2z0，2x2y0，令 x1，得平面 AEO 的一个法向量为n(1，1,2)B1O(2,2，4)2n，B1O n，B1O平面 AEO.题型三证明面面垂直例 2在四面体 ABCD 中，AB平面 BCD，BCCD，BCD90，ADB30，E、F 分别是 AC、AD 的中点，求证：平面 BEF平面 ABC.证明：以 B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设 A(0,0，a)，则易得 B(0,0,0)，C(32 a，32 a,0)，D(0，3a,0)，E(34 a，34 a，a2)，F(0，32 a，a2)，故AB(0,0，a)，BC(32
9、 a，32 a,0).设平面 ABC 的法向量为 n1(x1，y1，z1)，则n1AB0，n1BC0，即az10，x1y10，取 x11n1(1，1,0)为平面 ABC 的一个法向量设 n2(x2，y2，z2)为平面 BEF 的一个法向量，同理可得 n2(1,1，3)n1n2(1，1,0)(1,1，3)0，平面 BEF平面 ABC.方法技巧1利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直2利用法向量证明面面垂直思路比较简单，但往往运算量大；而利用面面
10、垂直的判定定理证明则运算量较小，但思维难度比较大，这两种策略同学们要灵活选择变式训练 2在正三棱锥(底面是正三角形且侧棱相等)PABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是PAB 的重心，E、F 分别为 BC、PB 上的点，且 BEECPFFB12.求证：平面 GEF平面 PBC.证明：以三棱锥的顶点 P 为原点，以 PA、PB、PC 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系令 PAPBPC3，则 A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)EF(0，1，1)，EG(1，1，1)设平面 EFG 的法向量是 n(x，y，z)，则有 nEF，nEG.yz0，xyz0，令 y1，得 z1，x0即 n(0,1，1)nPA0 nPA即平面 PBC 的法向量与平面 EFG 的法向量互相垂直平面 EFG平面 PBC.谢谢 观 看