1、第三课时利用导数证明不等式方法一移项作差构造法证明不等式【例1】(2020届贵阳摸底)已知f(x)ex，g(x)x1(e为自然对数的底数)(1)求证：f(x)g(x)恒成立；(2)设m是正整数，对任意正整数n，m，求m的最小值解(1)证明：令h(x)f(x)g(x)exx1，则h(x)ex1，当x(，0)时，h(x)0，故h(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，所以h(x)minh(0)0，即h(x)0恒成立，所以f(x)g(x)恒成立(2)由(1)可知01e，由不等式的性质得所以正整数m的最小值为2.名师点津若证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数h(x)f(x)g(x
2、)，如果能证明h(x)在(a，b)上的最大值小于0，即可证明f(x)0时，f(x)xex.证明要证f(x)xex，只需证exln xex，即exex0)，则h(x)，易知h(x)在上单调递减，在上单调递增，则h(x)minh0，所以ln x0.再令(x)exex，则(x)eex，易知(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，则(x)max(1)0，所以exex0.因为h(x)与(x)不同时为0，所以exex0)，则g(x)，当x(0，1)时，g(x)0；当x(1，)时，g(x)0)令t，则xln xln t，xln x1，即xln x10.(3)k(exx2)xxln x恒成立，即k
3、1ln x恒成立，k.由(2)知，xln x10恒成立，即1ln xx恒成立1，k1，故k的取值范围为1，)名师点津导数的综合应用题中，最常见就是ex和ln x与其他代数式结合的难题，对于这类问题，可以先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，便于化简或判断导数的正负常见的放缩公式如下：(1)ex1x，当且仅当x0时取等号；(2)exex，当且仅当x1时取等号；(3)当x0时，ex1xx2，当且仅当x0时取等号；(4)当x0时，exx21，当且仅当x0时取等号；(5)ln xx1x2x，当且仅当x1时取等号；(6)当x1时，ln x，当且仅当x1时取等号【例4】已知函数f(x)ln xax2x，
4、aR.(1)当a0时，求函数f(x)的图象在(1，f(1)处的切线方程；(2)若a2，正实数x1，x2满足f(x1)f(x2)x1x20，求证：x1x2.解(1)当a0时，f(x)ln xx，则f(1)1，所以切点为(1，1)又因为f(x)1，所以切线斜率kf(1)2，故切线方程为y12(x1)，即2xy10.(2)证明：当a2时，f(x)ln xx2x(x0)因为f(x1)f(x2)x1x20，即ln x1xx1ln x2xx2x1x20，所以(x1x2)2(x1x2)x1x2ln(x1x2)，令tx1x2，设(t)tln t(t0)，则(t)1，易知(t)在区间(0，1)上单调递减，在区间
5、(1，)上单调递增，所以(t)(1)1，所以(x1x2)2(x1x2)1.因为x10，x20，所以x1x2成立名师点津破解含双参不等式的证明的关键一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；二是巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果|跟踪训练|已知函数f(x)ln x.(1)求f(x)的最小值；(2)若方程f(x)a有两个根x1，x2(x12a.解：(1)因为f(x)(x0)，所以当a0时，f(x)在(0，)上单调递增，函数无最小值当a0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增所以函数f(x)在xa处取最小值f(a)ln a1.(2)证明：若方程f(x)a有两个根x1，x2(x12a，只需证(x1x2)2aln ，即证2ln (由(1)得，a0)设t(t1)，则2ln 等价于t2ln t.令g(t)t2ln t，则g(t)10，所以g(t)在(1，)上单调递增，所以g(t)g(1)0，即t2ln t，故x1x22a.