1、2021-2022学年度第二学期期末检测试题高一数学（全卷满分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1. 已知向量，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由平面向量共线的坐标表示可求得的值.【详解】由已知可得，解得.故选：A.2. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，即可确定的虚部【详解】，则的虚部为故选：B3. 甲、乙两人参加学校组织的“劳动技能通关”比赛，已知甲通关的概率为，乙通关的概率为，且甲和乙通关与否互不影响，则甲
2、、乙两人都不通关的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、对立事件的概率公式计算作答.【详解】甲、乙通关的事件分别记为A，B，事件A，B相互独立，所以甲、乙两人都不通关的概率为.故选：D4. 某学习小组6名学生在一次数学小测验中的得分（单位：分）如下：82，84，86，90，97，97，则该组数据的30百分位数是（ ）A. 82B. 83C. 84D. 97【答案】C【解析】【分析】根据百分位数的知识求得正确答案.【详解】，所以该组数据的30百分位数是.故选：C5. 若向量，则在上的投影向量的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【
3、解析】【分析】根据投影向量的坐标公式求解即可【详解】设向量夹角为，则在上的投影向量为 故选：A6. 下列选项正确的是（ ）A. 空间三点确定一个平面B. 如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等C. 如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行D. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直【答案】D【解析】【分析】根据相关定理逐项分析即可【详解】空间中不共线的三点确定一个平面,A错如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,B错如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行,无数并不代表所有,C错过一点有且只有
4、一条直线与已知平面垂直,D对故选：D7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中，使得恰有一个解的是（ ）A. B. C D. 【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理逐项判断.【详解】A. 因为，由正弦定理得 ，则，无解；B. 因为，由正弦定理得 ，则，又，则，有两解，故错误；C. 因为，则，所以无解，故错误；D. 因为，由正弦定理得 ，则，又，且，所以，故有一解，故正确. 故选：D8. 已知，函数，若，则（ ）A. B. C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】由已知条件，结合三角函数的性质可得，从而利用即可求解.【详解】解：令，则或，令，则，又，所以，因，所以，所以，故
5、选：A.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 所谓“民以食为天”，粮食问题就是人类生存的底线问题，是国家经济发展的底线问题，是社会维持稳定的底线问题.2021年，我国全国粮食总产量13657亿斤，连续7年保持在1.3万亿斤以上，我国2020-2021年粮食产量种类分布及占比统计图如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 2021年的粮食总产量比2020年的粮食总产量高B. 2021年的稻谷产量比2020年的稻谷产量低C. 2020年和2021年的薯类所占比例保持稳定D. 2021年的各
6、类粮食产量中，增长量最大的是小麦【答案】AC【解析】【分析】根据统计图逐项判定可得答案.【详解】2020年的粮食总产量为亿斤，2021年的粮食总产量高亿斤，因为，故A正确；因为，所以2021年的稻谷产量比2020年的稻谷产量高，故B错误；2020年和2021年的薯类所占比例都为，故C正确；由统计图可得2021年的各类粮食产量中，增长量最大的是玉米，故D错误.故选：AC.10. 从装有个红球和个白球的袋中任意取出个球，有如下几对事件：“取出个球，恰好有个白球”与“取出个球，恰好有个红球”；“取出个球，恰好有个白球”与“取出个球，都是红球”；“取出个球，至少有个白球”与“取出个球，都是红球”；“取
7、出个球，至少有个白球”与“取出个球，至少有个红球”其中是互斥事件的有（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】写出每个事件所包含的基本事件，利用互斥事件的定义判断可得出合适的选项.【详解】对于，“取出个球，恰好有个白球”即为红白，“取出个球，恰好有个红球”即为红白，中两个事件为相等事件；对于，“取出个球，都是红球”即为红，中的两个事件为互斥事件；对于，“取出个球，至少有个白球”包含：红白、白，中的两个事件为互斥事件；对于，“取出个球，至少有个红球”包含：红白、红，中的两个事件不是互斥事件.故选：BC.11. 在棱长为1的正方体中，点P在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的有
8、（ ）A. 三棱锥的外接球的表面积为B. 异面直线和所成的角为C. 直线CP和平面所成的角为定值D. 的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】对A，三棱锥的外接球即正方体的外接球，再求解外接球表面积即可；对B，根据异面直线夹角的定义可得直线和所成的角为，进而根据为正三角形求解即可；对C，举反例，当在和时直线CP和平面所成的角不相等判断即可；对D，以为顶点，为圆锥的高，为母线作圆锥，由圆锥底面圆上任意一点满足，结合两点之间线段最短求解即可【详解】对A，三棱锥的外接球即正方体的外接球，且即为外接球的直径，又，故外接球的表面积，故A正确；对B，连接，易得异面直线和所成的角即与所成的，根据正方体的性质
9、可得为正三角形，故，故异面直线和所成的角为，故B正确；对C，当在时，直线CP和平面平行，所成的角为；当在时，直线和平面不平行，所成的角不为，故C错误；对D，由题意，以为顶点，为圆锥的高，为母线作圆锥如图所示.则易得圆锥底面圆上任意一点满足，故.不妨设与四点共面，则易得当三点共线时，取得最小值.此时，故D正确；故选：ABD12. 如图所示，中，点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，延长AP交边BC于点N，则下列结论正确的有（ ）A. B. C. D. 与夹角的余弦值为【答案】AC【解析】【分析】对A，根据平面向量基本定理，结合向量共线的线性表示求解即可；对B，根据三点共线的性质，结合可得，进而
10、得到判断即可；对C，根据余弦定理可得，再根据B中两边平方化简求解即可；对D，在中根据余弦定理求解即可【详解】对A，故A正确；对B，设，则由A，故，因为三点共线，故，解得，故，故，所以，即，故B错误；对C，由余弦定理，由B有，故，即，所以，故C正确；对D，在中，故，故D错误；故选：AC三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知为虚数单位，且复数z满足：，则复数z的模为_【答案】【解析】【分析】根据复数模的性质求解即可【详解】，则，故故答案为：14. 的值为_【答案】#【解析】【分析】根据，结合两角和的正切公式求解即可【详解】故答案为：15. 已知平面四边形ABCD中，且是正三
11、角形，则的值为_【答案】2【解析】【分析】根据图形由数量积的运算律直接求解即可.【详解】由已知可得故答案为：216. 已知样本数据的平均数和方差分别为77和123，样本数据的平均数和方差分别为m和n，全部70个数据的平均数和方差分别为74和138，则_，_【答案】 70 . 130【解析】【分析】根据平均数与方差的公式列式求解即可【详解】由题意，故，故.又，即，即，故，故故答案为：70；130四、解答题（本大题共6小题，计70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知复数（1）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围；（2）若z是纯虚数，求m的值【答案】（1） （2）
12、【解析】【分析】（1）根据第四象限的复数实部为正，虚部为负求解即可；（2）根据纯虚数的实部为0，虚部不为0求解即可【小问1详解】由题意可得， 解得；的取值范围为；【小问2详解】由题意可得， 解得的值为18. 如图，三棱柱中，E为中点，F为中点（1）求证：平面ABC；（2）若平面，求证：平面ABC【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）取BC中点M，连接AM，EM，证明四边形EFAM为平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）易得，根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证.【小问1详解】证明：取BC中点M，连接AM，EM，因为中，E为中点，M为BC
13、中点，所以且，三棱柱中，且，因为F为中点，所以且， 所以四边形EFAM为平行四边形，所以， 又因为平面ABC，平面ABC，所以平面ABC；【小问2详解】证明：因为，由（1）知，所以，因为平面平面，所以，又因为，平面ABC，所以平面ABC19. 某校高二年级学生参加数学竞赛，随机抽取了名学生进行成绩统计，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为：、（1）求这名学生成绩的平均值；（2）若采用分层抽样的方法，从成绩在和内的学生中共抽取人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中随机选取人进行调查分析，求这人中恰好有人成绩在内的概率【答案】（1）分 （2）【解析】【分析】（1）利用频率分布
14、直方图中所有矩形的面积之和为可求得的值，再将矩形直方图中每个矩形的底边的中点值乘以对应矩形的面积，相加可得出这名学生成绩的平均值；（2）分析可知抽取的人中，成绩在内的有人，成绩在内的有人，记成绩在内位同学为、，成绩在的位同学位、，列举出所有基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】解：， 这名学生的成绩的平均值为，因此，这名学生成绩的平均值为分.【小问2详解】解：设“抽取人中恰好有人成绩在内”为事件由题设可知，成绩在和内的频率分别为和，则抽取的人中，成绩在内的有人，成绩在内的有人 记成绩在内位同学分别为、，成绩在的位同学分别为、则从人中
15、任取人，所有的基本事件有：、，共种，其中事件所包含的基本事件有：、，共种，故.20. 在；这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_（1）求A；（2）若，求面积的取值范围（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】（1） （2）【解析】【分析】对于条件：两边边的条件为齐次，化边为角结合三角恒等变换可解得；对于条件：边的条件为齐二次，整理条件到余弦定理的结构可解得；对于条件：由正弦定理化角为边，整理条件到余弦定理的结构可解得.【小问1详解】（1）若选：因为，根据正弦定理得，所以，所以则，因为，所以，又，所以若选化简得：，则，又，所以 若
16、选：因为，根据正弦定理得，所以即，因为，所以【小问2详解】（2）因为，由，则， ， 又，所以，则取值范围为21. 如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，平面平面ABCD，平面平面（1）求四棱锥的体积；（2）求二面角的余弦值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）作，垂足为M，显然PM，PA不重合，作，垂足为N，由平面平面ABCD，得到平面ABCD，再由平行四边形ABCD为矩形，且面积为48，利用锥体的体积公式求解； （2）由平面PCD，平面平面，得到，结合（1）得到平面PAD，则二面角的平面角求解【小问1详解】解：如图所示：作，垂足为M，显然PM，PA不重合，作，垂足为N在中，所以N为
17、PD中点，且，所以，解得：； 因为，所以，则；因为平面平面ABCD，平面平面平面PAD，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以，又平面PAD，则平面PAD，又平面PAD，所以，则平行四边形ABCD为矩形，且面积为48； 所以四棱锥的体积为；【小问2详解】因为底面ABCD为平行四边形，所以，又因为平面PCD，位平面PCD，所以平面PCD又因为平面PAB，平面平面，所以由（1）知平面PAD，所以平面PAD，又因为平面PAD，所以且，所以二面角的平面角即 在中，由余弦定理得所以二面角的余弦值为22. 已知函数（1）求方程在上的解集；（2）求证：函数有且只有一个零点，且【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用余弦二倍角公式化简方程，再结合辅助角公式即可（2）根据三角函数的性质分区间研究函数，然后再进行隐零点代换，换元即可证明【小问1详解】所以.所以或当时,则,又,所以当,则,又.所以或,所以所以方程在上的解集为【小问2详解】设当,则,此时在单调递增在也单调递增,所以在单调递增所以在时有唯一零点当,所以所以在没有零点当时,所以,所以所以在没有零点综上,在有唯一零点所以,且,所以所以令,因,所以又,则所以【点睛】方法点睛：含有三角函数、指数对数的零点问题，一般要根据三角函数图像特点划分区间，分段研究
