1、以形示数、数形结合湖南省南县一中 陈敬波（413200）（联系电话号码：13170372039；E-mail:hnnxyzjks）一普通高中新课标数学教材A版必修的第86页介绍方程的根与函数的零点知识，有如下结论：结论：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点；并由此很容易得到如下推论：推论：方程有实数根函数的图象与函数有交点函数有零点；二高一学生已经学习了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数与幂函数，其中还总结了函数图象的对称与平移知识，于是高一学生有作较丰富多样函数图象的能力。因此我们有必要让学生发挥函数图象的作用，以形示数，数形结合，解决有关方程根的个数问题与
2、含参方程的参数的取值问题及其他应用函数的应用问题。例1、方程的根的个数是（ ）A 0 B 1 C 2 D 3分析：思路一、构造函数则在内有零点，又在（0，+）上为增函数在定义域（0，+）内仅有一个零点。思路二、令在同一坐标系中作出两个函数与的图象（如图1）由图可知两曲线只有一个公共点，故方程只有一个解。注：在思路一中既要弄出，还要说明在定义域内是单调的，方可得出方程仅有一根。至于函数在整个定义域内不单调，或者不能确定函数的单调性，只能分开讨论解答（见下面的例题2）。思路二中，只要作出两个函数的图象即可。例2、判断方程的根的个数分析：思路一、构造函数，函数在定义域内不单调。时，递增，在（1，+）
3、上有唯一的一个零点。时，恒成立，在上无零点。在（0，+）上，有且仅有一个零点。即方程的解只有一个。思路二、令：在同一坐标系中作出二者的图象（如图2）。由图可知方程只有一个解。注：通过两个实例，发现思路二较思路一要简捷些，思路二可以导出思路一中根所在的区间端点，对于方程中含有参数时，思路一无能为力了，请看下面的例题。例3、若关于x的方程有两个不同的实根，求实数m的取值范围。分析：将方程变形，引入两个函数，在现一坐标系中作出与的图象（如图3）。表示以（-m,0）为端点位于x轴上方的动射线，表示是由幂函数向左平移一个单位得到的图象。当m=1时射线与曲线恰有两交点当射线与曲线相切，即方程只有一个解时，由的结合图形，得：。例4、设a为常数,试讨论方程的实根的个数。分析：思路一、x应满足的条件是：原方程变形为：令在同一坐标系中作出两个函数的图象，（如图4）当方程只有一个实根时，由结合图形，当或时，方程没有实根；当或时方程只有一实根；当时方程有两实根。思路二、原方程等价于令，在同一坐标系内作出两个函数的图象(图5)，动直线与曲线交点的个数对应方程解的个数。所以，当或时，方程没有实根；当或时方程只有一实根；当时方程有两实根。注：使用图象法解题时，既要考虑作图的可行性，又要注意问题转化的等价性。
