1、第九章直线、平面、简单几何体(A)综合能力测试本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第卷(选择题共60分)一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1(2009上海市普通高等学校春季招生考试)在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案：B解析：在空间中，两条直线没有公共点，这两条直线可能是异面直线，即由“两条直线没有公共点”不能推知“这两条直线平行”；反过来，由“两条直线平行”可知“这两条直线
2、没有公共点”因此，在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的必要不充分条件，选B.2(2009广东重点中学)已知三条不重合的直线m、n、l与两个不重合的平面、，有下列命题：若mn，n，则m；若l，m且lm，则；若m，n，m，n，则；若，m，n，nm，则n.其中正确的命题个数是()A1B2C3D4答案：B解析：对于，若mn，n，则m或m，不正确；对于，若l，m且lm，则，显然成立；对于，若m，n，m，n，则，由面面平行的判定定理知它是不正确的；对于，若，m，n，nm，则n，由面面垂直的性质定理知它是正确的；综上所述，正确命题的个数为2，故选B.3(2009东北三省十校一模)三棱锥PA
3、BC中ABC90，PAPBPC，则下列说法正确的是()A平面PAC平面ABC B平面PAB平面PBCCPB平面ABC DBC平面PAB答案：A解析：如图，因为ABC90，PAPBPC，所以点P在底面的射影落在ABC的斜边的中点O处，连结OB、OP，则POOB.又PAPC，所以POAC，且ACOBO，所以PO平面ABC.又PO平面PAC，平面PAC平面ABC，故选A.4(2009安徽皖北联考)已知三棱锥的三个侧面两两垂直，三条侧棱长分别为4,4,7，若此三棱锥的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积是()A81 B36 C. D144答案：A解析：由于三棱锥的三个侧面两两垂直，即可把它补成长方体
4、，其对角线长为9，外接球的半径为，则球的表面积为81，故选A.5在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC，ABAC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于()A30 B45 C60 D90答案：D解析：取AC的中点N，连结AN、QN，可证： AMPQ.故选D.6正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，对角线BD18，BD1与侧面BC1所成的角为30，则BD1和底面ABCD所成的角为()A30 B60 C45 D90答案：C解析：BD1与侧面BC1所成的角为D1BC1，则D1BC130.又BD8，D1C14，BD4.又D1B与底面ABCD所成的角为
5、D1BD，从而cosD1BD，D1BD45.7已知三棱锥PABC的三个侧面与底面全等，且ABAC，BC2.则二面角PBCA的大小为()A. B. C. D.答案：C解析：如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等，且ABAC，得PBPC，PABC2，取BC的中点E，连结AE，PE，则AEP即为所求二面角的平面角且AEEP，AP2AE2PE2，AEP.8如图，在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，则点B到平面AMN的距离是()A. B.C. D2答案：D解析：设AC的中点为O，MN的中点为E，连结AE，作OGAE于G，易证OG即是点B到平面AMN的距离
6、作出截面图，如图所示，由AA13，AO，AE，AA1EOGA，计算得OG2，故选D.9如图，l，A，B，A、B到l的距离分别是a和b.AB与、所成的角分别是和，AB在、内的射影分别是m和n.若ab，则()A，mnB，mnC，mnD，mn答案：D解析：由题意可得即有故选D.10如图所示，在单位正方体ABCDA1B1D1的面对角线A1B上存在一点P使得APD1P取得最小值，则此最小值为()A2 B.C2 D.答案：D解析：如图所示，把对角面A1C绕A1B旋转至A1BCD1，使其与AA1B在同一平面上，连接AD1，则AD1为所求的最小值11一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶
7、点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是()A. B. C. D.答案：C解析：由题意易知正三棱锥的顶点到底面的距离为1.底面是正三角形且球半径为1.底面边长为，底面积为，V1.12(2010辽宁省东北育才中学高三模拟)如图在正四棱锥SABCD中，E是BC的中点，P点在侧面SCD内及其边界上运动，并且总是保持PEAC，则动点P的轨迹与SCD组成的相关图形是()答案：D解析：取CD中点F，ACEF，又SD在面ABCD内的射影为BD且ACBD，ACSD，取SC中点Q，EQSD，ACEQ，又ACEF，AC面EQF，因此点P在FQ上移动时总有ACEP.故选D.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大
8、题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。)13(2009江苏，12)设和为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；(2)若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；(3)设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；(4)直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直上面命题，真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)答案：(1)(2)解析：由面面平行的判定定理可知，(1)正确由线面平行的判定定理可知，(2)正确对于(3)来说，内直线只垂直于和的交线l，得不到其是的垂线，故也得不出.对于(4)来说，l只有和内的两条相
9、交直线垂直，才能得到l.也就是说当l垂直于内的两条平行直线的话，l不一定垂直于.14如图所示，等边ABC的边长为4，D为BC中点，沿AD把ADC折叠到ADC处，使二面角BADC为60，则折叠后点A到直线BC的距离为_；二面角ABCD的正切值为_答案：2解析：如图，作DMBC于点M，连结AM，则AM为点A到直线BC的距离，AD2，DM，所以AM.二面角ABCD的平面角为AMD，正切值为tanAMD2.15(2009四川，15)如图所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_答案：90解析：设棱长为a，补正三棱柱ABCA2B2
10、C2(如图)平移AB1至A2B，连结A2M，MBA2即为AB1与BM所成的角，在A2BM中，A2Ba，BMa，A2Ma，A2B2BM2A2M2，MBA290.16如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DAABBC，则球O的体积等于_答案：解析：ABC的外接圆的直径为AC，AC，由DA面ABC得DAAC，CD为球的直径，CD3，球的半径R，V球R3.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。)17(本小题满分10分)如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SA底面ABCD，E是SC上一点(1)求证：平面EBD平面SAC；(2)假设SA
11、4，AB2，求点A到平面SBD的距离；解析：(1)正方形ABCD，BDAC，又SA平面ABCD，SABD，则BD平面SAC，又BD平面BED，平面BED平面SAC.(2)设ACBDO，由三垂线定理得BDSO.AOACAB2，SA4，则SO3，SBSDBDSO236.设A到面BSD的距离为h，则VSABDVABSD，即SABDSASBSDh，解得h，即点A到平面SBD的距离为.18(本小题满分12分)如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB4，点E在C1C上且C1E3EC.(1)证明A1C平面BED；(2)求二面角A1DEB的大小解析：依题设知AB2，CE1，(1)证明：连结AC交
12、BD于点F，则BDAC.由三垂线定理知，BDA1C.在平面A1CA内，连结EF交A1C于点G，由于2，故RtA1ACRtFCE，AA1CCFE，CFE与FCA1互余于是A1CEF.A1C与平面BED内两条相交直线BD、EF都垂直所以A1C平面BED.(2)作GHDE，垂足为H，连结A1H.由三垂线定理知A1HDE，故A1HG是二面角A1DEB的平面角EF，CG .EG.，GH .又A1C2，A1GA1CCG，tanA1HG5.所以二面角A1DEB的大小为arctan5.19(本小题满分12分)如图，四棱锥SABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCSBSC2CD2，侧面SBC底面AB
13、CD.(1)由SA的中点E作底面的垂线EH，试确定垂足H的位置；(2)求二面角EBCA的大小解析：(1)作SOBC于O，则SO平面SBC，又面SBC底面ABCD，面SBC面ABCDBC，SO底面ABCD又SO平面SAO，面SAO底面ABCD，作EHAO，EH底面ABCD即H为垂足，由知，EHSO，又E为SA的中点，H是AO的中点(2)过H作HFBC于F，连结EF，由(1)知EH平面ABCD，EHBC，又EHHFH，BC平面EFH，BCEF，HFE为面EBC和底面ABCD所成二面角的平面角在等边三角形SBC中，SOBC，O为BC中点，又BC2.SO，EHSO，又HFAB1，在RtEHF中，tan
14、HFE，HFEarctan.即二面角EBCA的大小为arctan.20(本小题满分12分)(2010唐山市高三摸底考试)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB1，AA12，N是A1D的中点，MBB1，异面直线MN与A1A所成的角为90.(1)求证：点M是BB1的中点；(2)求直线MN与平面ADD1A1所成角的大小；(3)求二面角AMNA1的大小解析：(1)取AA1的中点P，连结PM，PN.N是A1D的中点，AA1PN，又AA1MN，MNPNN，AA1面PMN.PM面PMN，AA1PM，PMAB，点M是BB1的中点(2)由(1)知PNM即为MN与平面ADD1A1所成的角在RtPMN中，
15、易知PM1，PN，tanPNM2，PNMarctan2.故MN与平面ADD1A1所成的角为arctan2.(3)N是A1D的中点，M是BB1的中点，A1NAN，A1MAM，又MN为公共边，A1MNAMN.在AMN中，作AGMN交MN于G，连结A1G，则A1GA即为二面角AMNA1的平面角在A1GA中，AA12，A1GGA，cosA1GA，A1GAarccos()，故二面角AMNA1的大小为arccos()21(2009安徽，18)(本小题满分12分)如图所示，四棱锥FABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC2，BD.AE、CF都与平面ABCD垂直，AE1，CF2.(1)求二面角BAFD的大小
16、；(2)求四棱锥EABCD与四棱锥FABCD公共部分的体积命题意图：本题考查空间位置关系，二面角平面角的作法以及空间几何体的体积计算等知识考查利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力解答：(1)解：连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OGAF，G为垂足，连接BG、DG.由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF.于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD为二面角BAFD的平面角由FCAC，FCAC2，得FAC，OG.由OBOG，OBOD，得BGD2BGO.(2)解：连接EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥EABCD与四棱锥FABCD的公共部分为四棱锥HAB
17、CD.过H作HP平面ABCD，P为垂足因为EA平面ABCD，FC平面ABCD，所以平面ACEF平面ABCD，从而PAC，HPAC.由1，得HP.又因为S菱形ABCDACBD，故四棱锥HABCD的体积VS菱形ABCDHP.22(2009深圳调考一)(本小题满分12分)如图所示，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，ABEF，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直已知AB2，EF1.(1)求证：平面DAF平面CBF；(2)求直线AB与平面CBF所成角的大小；(3)当AD的长为何值时，二面角DFEB的大小为60？解析：(1)证明：平面ABCD平面ABEF，CBAB，平面ABCD平面ABEFAB，
18、CB平面ABEF.AF平面ABEF，AFCB，又AB为圆O的直径，AFBF，AF平面CBF.AF平面DAF，平面DAF平面CBF.(2)解：根据(1)的证明，有AF平面CBF，FB为AB在平面CBF上的射影，因此，ABF为直线AB与平面CBF所成的角ABEF，四边形ABEF为等腰梯形，过点F作FHAB，交AB于H.AB2，EF1，则AH.在RtAFB中，根据射影定理AF2AHAB，得AF1，sinABF，ABF30，直线AB与平面CBF所成角的大小为30.(3)解：过点A作AMEF，交EF的延长线于点M，连结DM.根据(1)的证明，DA平面ABEF，则DMEF，DMA为二面角DFEB的平面角，DMA60.在RtAFH中，AH，AF1，FH.又四边形AMFH为矩形，MAFH.ADMAtanDMA.因此，当AD的长为时，二面角DFEB的大小为60.
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