1、第四章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单选题(本题共8个小题,每小题5分,共40分)1.下列函数中,满足“对定义域内任意实数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y)”的函数是()A.f(x)=x2B.f(x)=2xC.f(x)=log2xD.f(x)=eln x答案C2.下列函数中,在区间(0,+)上单调递增的是()A.y=B.y=2-xC.y=loxD.y=答案A解析函数y=2-x,y=lox,y=在区间(0,+)上单调递减,函数y=在区间(0,+)上单调递增,故选A.3.若函数y=f(x)的定义域为(0,2),则函数y=f(3-3x)的定义域为()A.(0,1)B.(0,2)C
2、.(1,3)D.(-6,2)答案A解析由题意,需03-3x2,即13x3,所以0x0)的图像经过第一、三、四象限,则()A.a1B.0a0C.a1且m0D.0a1且m-11且m0.5.已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为()A.cbaB.abcC.bcaD.calog24=2.b=log381.又c=0.30.21,故cb0且a1)的图像可能是()答案D解析当0a1时,函数y=ax的图像过定点(0,1)且单调递增,则函数y=的图像过定点(0,1)且单调递减,函数y=logax+的图像过定点,0且单调递增,各选项均不符合.故选D.8.(2020北京北师大
3、实验中学高三月考)若a1,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,g(x)=logax+x-4的零点为n,则的取值范围是()A.,+B.1,+)C.(4,+)D.,+答案B解析函数f(x)=ax+x-4的零点是函数y=ax与函数y=4-x图像交点A的横坐标,函数g(x)=logax+x-4的零点是函数y=logax与函数y=4-x图像交点B的横坐标,由于指数函数与对数函数互为反函数,其图像关于直线y=x对称,直线y=4-x与直线y=x垂直,故直线y=4-x与直线y=x的交点(2,2)即是AB的中点,m+n=4,(m+n)=2+1,当且仅当m=n=2时等号成立,而m+n=4,故1.二、多选题(本
4、题共4个小题,每小题5分,共20分)9.(2020山东烟台高一期末)若ab0,0c1,则下列判断正确的是()A.logcacbC.acbcD.logc(a+b)0答案AC解析因为0cb0得logcalogcb,故A正确;因为0cb0,得cab0,0c1,所以acbc,故C正确;取c=,a+b=2,则logc(a+b)=2=-130,所以C正确;当f(t1)=2时,t1=1,当f(t2)=4时,t2=2,当f(t3)=8时,t3=3,所以t1+t2=t3,所以D正确.故选ACD.11.已知实数a,b满足等式,则下列关系式中可能成立的是()A.ab0B.ab0C.0ab0;若a,b为负数,则abb
5、c0,满足f(a)f(b)f(c)0,若实数x0是函数y=f(x)的一个零点,则下列不等式中可能成立的是()A.x0aC.x0bD.x0c答案ABC解析由函数的单调性可得,函数f(x)=2x+log2x在区间(0,+)上为增函数,由f(a)f(b)f(c)0,则f(a),f(b),f(c)为负数的个数为奇数,故选项A,B,C均可能成立;当x00,f(b)0,f(c)0,不满足f(a)f(b)f(c)0且a1)图像恒过定点A,则点A的坐标为;若f-0且a1)图像恒过定点A,令x+2=1,得x=-1,f(-1)=1,可得它的图像经过定点(-1,1).当0a1时,函数f(x)为减函数,若f-,则1+
6、loga-+2,即loga,即,求得0a1时,函数f(x)为增函数,若f-,则1+loga-+2,又a1,a1.综上,实数a的取值范围为0,(1,+).16.已知f(x)是奇函数,且当x0时,f(x)=-eax.若f(ln 2)=8,则a=.答案-3解析ln2(0,1),f(ln2)=8,f(x)是奇函数,f(-ln2)=-8.当x0时,f(x)=-eax,f(-ln2)=-e-aln2=-8,e-aln2=8,-aln2=ln8,-a=3,a=-3.四、解答题(本题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)求下列各式的值:(1)log535+2lo-log
7、5-log514;(2)(lg 2)3+(lg 5)3+3lg 2lg 5;(3).解(1)原式=log5+2lo=log553-1=2.(2)原式=(lg2+lg5)(lg22-lg2lg5+lg25)+3lg2lg5=lg22+lg25+2lg2lg5=(lg2+lg5)2=1.(3)原式=log32log6427=.18.(12分)画出函数f(x)=|log3x|的图像,并求出其值域、单调区间以及在区间,6上的最大值.解因为f(x)=|log3x|=所以在1,+)上f(x)的图像与y=log3x的图像相同,在(0,1)上的图像与y=log3x的图像关于x轴对称,据此可画出其图像,如图所示
8、.由图像可知,函数f(x)的值域为0,+),单调递增区间是1,+),单调递减区间是(0,1).当x时,f(x)在区间上是单调递减的,在区间(1,6上是单调递增的.又f=2,f(6)=log360且a1.(1)若f(x)在区间(-,+)上是单调函数,求实数a,b的取值范围;(2)当a=2时,函数f(x)在区间(-,+)上只有一个零点,求实数b的取值范围.解(1)由题易知f(x)在区间(-,0)上单调递增,又f(x)在区间(-,+)上是单调递增的,当x0时,f(x)也单调递增,a1.且f(0)=1+b-1,得b-2.综上,a,b的取值范围分别是(1,+),-2,+).(2)当x0时,f(x)0且a
9、1.(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;(3)若f=2,求使f(x)0成立的x的集合.解(1)要使函数f(x)有意义,则解得-1x0,则log2(x+1)log2(1-x),解得0x0,a1)与y=p+q(p0)可供选择.(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;(2)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份.(参考数据:lg 20.301 0,lg 30.477 1)解(1)两个函数y=kax(k0,a1),y=p+q(p0)在(0,+)上都是增函数,随着x的增加,函数y=kax(k0,a1)的值增加得越来越快,而函数y=p+q(p0)
10、的值增加得越来越慢.因为凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,所以函数模型y=kax(k0,a1)适合要求.由题意可知,x=2时,y=24;x=3时,y=36,所以解得所以该函数模型的解析式是y=x(xN*).(2)当x=0时,y=0=,所以元旦放入凤眼莲的面积是 m2.由x10,得x10,所以xlo10=.因为5.7,所以x6,所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份.22.(12分)设f(x)=lo为奇函数,a为常数.(1)求a的值;(2)证明f(x)在区间(1,+)上单调递增;(3)若对于区间3,4上的每一个x的值,不等式f(x)+m恒成立,求实数m的取值范围.解(1)f(-x)=-f(x),lo=-lo=lo.,即(1+ax)(1-ax)=-(x+1)(x-1),a=-1.(2)由(1)可知f(x)=lo.任取x1x21,则f(x1)-f(x2)=lo-lo=lo.由x1x21易知(x1+1)(x2-1)0,(x1-1)(x2+1)0,现比较与1的大小.-1=0,所以00,即f(x1)f(x2).故f(x)在区间(1,+)内单调递增.(3)设g(x)=lo,则g(x)在3,4上为增函数.g(x)m对x3,4恒成立,mg(3)=-.实数m的取值范围是m-.10