1、2020-2021学年上海市黄浦区大同中学高二（下）期末数学试卷一、填空题（共10小题）.1已知方程x2（2i1）x+3mi0有实数根，则实数m为 2f（n）in+in（nN*），则f（n） 3一个高为1的正三棱锥的底面正三角形的边长为6，则此三棱锥的侧面积为 4若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的高为 5若，则n等于 6已知复数z和满足|z|，且2z，则复数 7在半径为3的球面上有A、B、C三点，ABC90，BABC，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是 8已知甲射击的命中率为72%，乙射击的命中率为78%，两人的射击互不影响，这目标被击中的概率是 （精确到0
2、.01）9从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中随机选取一个数，它是奇数或3的倍数的概率是 10设x，y满足约束条件，若目标函数zax+by（a0，b0）的值是最大值为12，则的最小值为 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，将正确结论的代号写在相应的括号内11下列四个命题中真命题是（）A同垂直于一直线的两条直线互相平行B底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D过球面上任意两点的大圆有且只有一个12已知某个几何体的三视图如图，根据图中的尺寸，可得这个几何体的体积是（）ABC2000cm3D4000cm313在发生某公共卫生
3、事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增病例数据，一定符合该标志的是（）A甲地：总体均值为2，总体方差为3B乙地：总体均值为3，中位数为4C丙地：总体均值为1，总体方差大于0D丁地：中位数为2，总体方差为3146个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为（）A35B50C70D100三、解答题（本大题满分0分）本大题共有5题，解答下列各题须写出必要的步骤15已知（+）n的展开式前三项中的系数成等差数列（1）求n的值和展开式系数的和；（2）求展开式中所有x的有理项16（
4、1）某外商计划在4个城市投资3个不同的项目，且在同一城市投资的项目不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？（用数字作答）（2）某单位安排7位员工在10月1日至10月7日值班，每天1人，每人值班1天，求员工甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日的概率17已知复数za+bi（a，bR），若存在实数t，使3ati成立（1）求证：2a+b为定值；（2）若|z2|a，求|z|的取值范围18如图，圆锥的顶点是S，底面中心为O，OC是与底面直径AB垂直的一条半径，D是母线SC的中点（1）设圆锥的高为4，异面直线AD与BC所成角为，求圆锥的体积；（2）当圆锥的高和底面半径是（1）中的值时，求直线AB与平面
5、ACD的所成角大小19四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，DAB60，PAABAD2，点E是棱PC上一点（）求证：平面PAC平面BDE；（）当E为PC中点时，求二面角ABED的余弦值；（）若直线BE与平面PAC所成的角为45时，求CE参考答案一、填空题（本大题满分30分）本大题共10题，将结果直接写在相应的空格内1已知方程x2（2i1）x+3mi0有实数根，则实数m为解：设方程的实根为x0，则，x0、mR，方程变形为，由复数相等的充要条件得，解得则实数m为故答案为：2f（n）in+in（nN*），则f（n）2，0，2解：因为f（n）in+in（nN*），所以当n4k
6、时，f（n）1+12；当n4k+1时，f（n）；当n4k+2时，f（n）；当n4k+3时，f（n）i+i0，故f（n）2，0，2故答案为：2，0，23一个高为1的正三棱锥的底面正三角形的边长为6，则此三棱锥的侧面积为18解：由题意作出图形如图：因为三棱锥PABC是正三棱锥，顶点在底面上的射影D是底面的中心，在三角PDF中，三角形PDF三边长PD1，DF，PF2则这个棱锥的侧面积S侧36118故答案为：184若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的高为解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，因为4l2，所以母线长为l2，又半圆的弧长为2，圆锥的底面的周长为2r2，所以底面圆
7、半径为r1，所以该圆锥的高为h故答案为：5若，则n等于14解：由，得所以n+17+815所以n14故答案为146已知复数z和满足|z|，且2z，则复数1+i或1i解：设za+bi（a，bR），由|z|，得，则a0，b2z2i令m+ni（m，nR），由2z，得（m+ni）2m2n2+2mni2i，则mn1或mn11+i或1i故答案为：1+i或1i7在半径为3的球面上有A、B、C三点，ABC90，BABC，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是 解：根据题意，ABC90，AC是小圆的直径所以过球心O作小圆的垂线，垂足O是AC的中点，|OC|，AC3，则BCOBOC3，则BOC，故B、
8、C两点的球面距离l3；故答案为：8已知甲射击的命中率为72%，乙射击的命中率为78%，两人的射击互不影响，这目标被击中的概率是 0.94（精确到0.01）解：目标被击中的对立事件是2人都没有命中目标，目标被击中的概率为：P1（10.72）（10.78）0.94故答案为：0.949从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中随机选取一个数，它是奇数或3的倍数的概率是 解：这10个数中满足“是奇数或3的倍数”的有：1，3，5，6，7，9共6个，所以从中随机抽取一个是奇数或3的倍数的概率是故答案为：10设x，y满足约束条件，若目标函数zax+by（a0，b0）的值是最大值为12，则的最小值为 解：不
9、等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+byz（a0，b0）过直线xy+20与直线3xy60的交点（4，6）时，目标函数zax+by（a0，b0）取得最大12，即4a+6b12，即2a+3b6，而故答案为：二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，将正确结论的代号写在相应的括号内11下列四个命题中真命题是（）A同垂直于一直线的两条直线互相平行B底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D过球面上任意两点的大圆有且只有一个解：对于A，同垂直于一直线的两条直线不一定互相平行，故错；对于B，底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱
10、，不一定是正四棱柱，故错；对于C，两条异面直线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条，正确；对于D，过球面上任意两点的大圆有无数个，故错；故选：C12已知某个几何体的三视图如图，根据图中的尺寸，可得这个几何体的体积是（）ABC2000cm3D4000cm3解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为由两个底面边长为20和10的直角三角形，高为20的两个三棱锥构成的几何体；如图所示：所以：V故选：A13在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四
11、地新增病例数据，一定符合该标志的是（）A甲地：总体均值为2，总体方差为3B乙地：总体均值为3，中位数为4C丙地：总体均值为1，总体方差大于0D丁地：中位数为2，总体方差为3解：对于A，当总体平均数为2，若有一个数据超过7，则方差就接近3，所以总计均值为2，总体方差为3时，没有数据超过7，故选项A正确；对于B，因为平均数和中位数不能限制某一天的病例不超过7，故选项B错误；对于C，当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不等确定数据波动的大小，故选项C错误；对于D，中位数为2，总体方差为3，则存在大于7的数，故选项D错误故选：A146个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方
12、法数为（）A35B50C70D100解：根据题意，假设两辆汽车为甲、乙，分3种情况讨论：、甲车里坐2人，则乙车坐4人，有C62种坐法，、甲车里坐3人，则乙车坐3人，有C63种坐法，、甲车里坐4人，则乙车坐2人，有C64种坐法，则不同的乘车方法有C62+C63+C6450种；故选：B三、解答题（本大题满分0分）本大题共有5题，解答下列各题须写出必要的步骤15已知（+）n的展开式前三项中的系数成等差数列（1）求n的值和展开式系数的和；（2）求展开式中所有x的有理项解：（1）根据题意，（+）n的展开式的通项为Tr+1nr（）nr（）r，其系数为nr，其第一项的系数为n01，第二项的系数为n1，第三项
13、的系数为n2，若其展开式前三项中的系数成等差数列，则21+，解可得：n8或n1，又由n3，则n8，在（+）8中，令x1可得：（+）8（）8；（2）由（1）的结论，n8，则（+）8的展开式的通项为Tr+1C8r（）8r（）rC8r，当r0时，有T1x4，当r4时，有T5x，当r8时，有T9x2；则展开式中所有x的有理项为x4，x，x216（1）某外商计划在4个城市投资3个不同的项目，且在同一城市投资的项目不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？（用数字作答）（2）某单位安排7位员工在10月1日至10月7日值班，每天1人，每人值班1天，求员工甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日的概率解：（1
14、）有两类不同的投资方法：从4个候选城市中选择3个城市，各投资1个项目，则有43224种投法；从4个候选城市中只选择2个城市分别投资1个项目、2个项目，再从3个项目中选一个项目投到1个城市，则有34336种投法综上所述，该外商不同的投资方案有24+3660种；（2）由题意，员工甲、乙排在相邻两天的排法共有1440种，其中员工甲、乙排在相邻两天，丙排在10月1日的排法有种，故员工甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日的排法共有14402401200种，总的排法有种，故员工甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日的概率为17已知复数za+bi（a，bR），若存在实数t，使3ati成立（1）求证：2a+
15、b为定值；（2）若|z2|a，求|z|的取值范围解：（1）证明：复数za+bi（a、bR），若存在实数t使abi3ati成立，则tatbi2+（43at2）i，可得ta2，tb43at2，b43a，即2b4a12，化简可得2a+b6，即2a+b为定值（2）若|z2|a，则 a，a0，且a化简可得（a2）（a5）0，求得2a5而|z|，故当a 时，|z|取得最小值为 ，当a趋于5时，|z|趋于最大值综上可得，|z|的取值范围为，）18如图，圆锥的顶点是S，底面中心为O，OC是与底面直径AB垂直的一条半径，D是母线SC的中点（1）设圆锥的高为4，异面直线AD与BC所成角为，求圆锥的体积；（2）当圆
16、锥的高和底面半径是（1）中的值时，求直线AB与平面ACD的所成角大小解：（1）以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为高为4，则，S（0，0，4），所以，因为异面直线AD与BC所成角的余弦值为，则，解得r2，所以圆锥的体积；（2）由（1）可得，A（0，2，0），B（0，2，0），D（1，0，2），C（2，0，0），所以，设平面ACD的法向量为，则，取x1，则，所以，故直线AB与平面ACD的所成角大小为arcsin19四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，DAB60，PAABAD2，点E是棱PC上一点（）求证：平面PAC平面BDE；（）当E为PC中点时，求二面
17、角ABED的余弦值；（）若直线BE与平面PAC所成的角为45时，求CE【解答】（）证明：底面ABCD是平行四边形，DAB60，ABAD，四边形ABCD是菱形，BDAC，PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD，又BDAC，PAACA，BD平面PAC，又BD平面BDE，平面PAC平面BDE（）解：设ACBDO，以O为原点，以OA、OB、平面ABCD过点O的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示，则A（，0，0），B（0，1，0），C（，0，0），D（0，1，0），P（，0，2），E（0，0，1），（，1，0），（0，1，1），（0，2，0），设平面ABE的法向量为（x1，y1，z1），则，即，令x11可得（1，），设平面BDE的法向量为（x2，y2，z2），则，即，令x21可得（1，0，0），cos，当E为PC中点时，二面角ABED的余弦值为（）解：由（I）知BD平面PAC，BEO为BE与平面PAC所成的角，即BEO45，OEOB1，在PAC中，PA2，AC2，故PC4，cosPCA，在OCE中，由余弦定理可得cosECO，解得CE1或CE2