1、第九章（A） 第三讲时间：60分钟满分：100分一、选择题(8540分)1(2009北京宣武一模)若a，b是空间两条不同的直线，是空间的两个不同的平面，则a的一个充分不必要条件是()Aa，Ba，Cab，b Da，答案：D解析：选项A中，若a，直线a与平面可能平行，如图，所以A不正确；选项B中，若a，直线a与可能平行，可能相交，可能为包含关系，如图，所以B不正确；选项C中，ab，b，直线a与可能平行，如图，所以C不正确，故选D.2.(2009河南调考)已知，a，B，则在内过点B的所有直线中()A不一定存在与a平行的直线 B只有两条与a平行的直线C存在无数条与a平行的直线 D存在唯一一条与a平行的
2、直线答案：D解析：设过a与B的平面与的交线为b，由面面平行的性质得b与a平行，故选D.3(2009天津四区名校联考)PA垂直于正方形ABCD所在平面，连结PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是()面PAB面PBC 面PAB面PAD面PAB面PCD 面PAB面PACABCD答案：A解析：易证BC平面PAB，则平面PAB平面PBC；又ADBC，故AD平面PAB，则平面PAD平面PAB，分析选项应选A.4(2009成都市高中毕业班第一次诊断性检测题)已知平面外不共线的三点A、B、C到的距离都相等，则正确的结论是()A平面ABC必平行于 B平面ABC必与相交C平面ABC必不垂直于 D存在
3、ABC的一条中位线平行于或在内答案：D解析：A、B、C点若在平面两侧，则面ABC与相交，则A错(如图甲)A、B、C点在平面同侧且面ABC与平行，则B错(如图乙)面ABC可以垂直于面，则C错(如图丙)A、B、C点在平面同侧且面ABC平行于，则ABC的一条中位线平行于；若A、B、C在面内，则ABC的中位线在内(如图丁)5在正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是()ABC平面PDF BDF平面PAEC平面PDF平面ABC D平面PAE平面ABC答案：C解析：D、F分别为AB、CA中点，DFBC.BC面PDF，故A正确又PABC为正四面体，P在底面ABC内
4、的射影O在AE上PO面ABC.PODF.又E为BC中点，AEBC，AEDF.又POAEO，DF面PAE，故B正确又PO面PAE，PO面ABC，面PAE面ABC，故D正确四个结论中不成立的是C.6(2009吉林质检)已知a、b表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，则下列命题正确的是()A若，a，b，则aB若a，b，ab，则C若a，b，则abD若a，b，ab，则答案：D解析：对于A，若，a，b，则ab或异面，则A不正确；对于B，若a，b，ab，则或相交，则B不正确；对于C，若a，b，则a与b互相垂直，C不正确故选D.7已知二面角l的大小为30，m、n为异面直线，m平面，n平面，则m、n所成的角为
5、()A30B60C120D150答案：A解析：m，n，m，n所成的夹角与二面角l所成的角相等或互补二面角l为30，故异面直线m、n所成的夹角为30，故选A.8正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面所成角为60，过底面一边作一截面使其与底面成30的二面角，则此截面的面积为()A.a2 B.a2 C.a2 D.a2答案：D解析：如图所示，正三棱锥PABC中ABa，作PO平面ABC，则PAO为侧棱与底面所成的角，即PAO60.连结AO并延长交BC于一点M，在PA上取一点N，使AMN30，连接BN、NC，可得截面NBC，由MNBC，AMBC可得AMN就是二面角NBCM的平面角ANMN，又AMa，得MNAMs
6、in60BCa，SNBCBCMNaaa2，故选D.二、填空题(4520分)9已知RtABC中，ACB90，点P是ABC所在平面外一点，若PAPBPC，那么P在平面ABC上的射影O位于_答案：斜边AB的中点处解析：由PAPBPC，知AOBOCO.故O为ABC的外接圆的圆心，又ABC为直角三角形，C90，所以O在斜边AB的中点处10已知，直线a、b、c和平面、，给出下列命题：若a、b与成等角，则ab；若，c，则c；若ab，a，则b；若，a，则a.其中错误命题的序号是_答案：解析：错，a、b与成等角，但不一定平行正确，一条直线垂直于两平行平面中一个平面，则它也垂直于另一个平面错，b也可能在平面内错，
7、a，有可能a.综上所述，错误命题的序号为：.11棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P、Q、R分别是面A1B1C1D1、BCC1B1、ABB1A1的中心，给出下列结论：PR与BQ是异面直线；RQ平面BCC1B1；平面PQR平面D1AC；过P、Q、R的平面截该正方体所得截面是边长为的等边三角形以上结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)答案：解析：如图所示，由于PR是A1BC1的中位线，所以PRBQ，故不正确；由于RQA1C1，而A1C1是面BCC1B1的一条斜线，所以不正确；由于PRBC1D1A，PQA1BD1C，所以正确；由于A1BC1是边长为的正三角形，所以正确12将一幅三角尺如
8、右图拼接，并沿BC折起成直二面角，设ABAC，BACCDB90，DBC30，则异面直线AD与BC所成角的余弦值_.答案：解析：作AEBC于E，E为BC中点，连结DE二面角ABCD为直二面角AE面BCDAEDEBCADE45，又CED60，则由三角形余弦定理AD与BC所成角的余弦值coscos45cos60.三、解答题(41040分)13如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PA平面ABCD，且PA2AB.(1)求证：平面PAC平面PBD；(2)求二面角BPCD的余弦值解析：(1)证明：PA平面ABCD，PABD.ABCD为正方形，ACBD.BD平面PAC，又BD在平面BP
9、D内，平面PAC平面BPD.(2)在平面BCP内作BNPC，垂足为N，连结DN，RtPBCRtPDC，由BNPC得DNPC；BND为二面角BPCD的平面角，在BND中，BNDNa，BDa，cosBND.14如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AEFC1B1G1，H是B1C1的中点(1)求证：E、B、F、D1四点共面；(2)求证：平面A1GH平面BED1F.证明：(1)连结FG.AEB1G1，BGA1E2，BG綊A1E，A1G綊BE.C1F綊B1G，四边形C1FGB1是平行四边形FG綊C1B1綊D1A1，四边形A1GFD1是平行四
10、边形A1G綊D1F，D1F綊EB，故E、B、F、D1四点共面(2)H是B1C1的中点，B1H.又B1G1，.又，且FCBGB1H90，B1HGCBF，B1GHCFBFBG，HGFB.又由(1)知A1GBE，且HGA1GG，FBBEB，平面A1GH平面BED1F.15在三棱锥PABC中，PA面ABC，ABC为正三角形，D、E分别为BC、AC的中点，设ABPA2.(1)求证：平面PBE平面PAC；(2)如何在BC上找一点F，使AD平面PEF，请说明理由；(3)对于(2)中的点F，求三棱锥BPEF的体积解析：(1)证明：PA面ABC，BE面ABC，PABE.ABC是正三角形，E为AC的中点，BEAC
11、，又PA与AC相交，BE平面PAC，平面PBE平面PAC.(2)解：取DC的中点F，则点F即为所求E，F分别是AC，DC的中点，EFAD，又AD平面PEF，EF平面PEF，AD平面PEF.(3)解：VBPEFVPBEFSBEFPA2.16(2009天津，19)如图所示，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M为CE的中点，AFABBCFEAD.(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(2)求证：平面AMD平面CDE；(3)求二面角ACDE的余弦值解答：(1)解：由题设知，BFCE，所以CED(或其补角)为异面直线BF与DE所成的角设P为AD的中点，连结EP，PC.
12、因为FE綊AP，所以FA綊EP.同理，AB綊PC.又FA平面ABCD，所以EP平面ABCD.而PC，AD都在平面ABCD内，故EPPC，EPAD.由ABAD，可得PCAD.设FAa，则EPPCPDa，CDDEECa.故CED60.所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60.(2)证明：因为DCDE且M为CE的中点，所以DMCE.连结MP，则MPCE.又MPDMM，故CE平面AMD.而CE平面CDE，所以平面AMD平面CDE.(3)设Q为CD的中点，连结PQ，EQ.因为CEDE，所以EQCD.因为PCPD，所以PQCD，故EQP为二面角ACDE的平面角由(1)可得，EPPQ，EQa，PQa.于是在RtEPQ中，cosEQP.所以二面角ACDE的余弦值为.