1、第4讲 平面向量的应用 知 识 梳理 1 利用向量处理几何问题的步骤为：（1） 建立平面直角坐标系；（2） 设点的坐标；（3） 求出有关向量的坐标；（4） 利用向量的运算计算结果；SF（5） 得到结论.2.平面向量在物理中的应用如图5-4-3所示，一物体在力F的作用下产生位移S，（6） 那么力F所做的功： W= |F| |S| cos. 3 重要不等式：特别提醒： 常用于求参数的范围 重 难 点 突 破 1.重点：会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题,如确定力或速度的大小以及方向. 2.难点：加强数学应用意识，提高分析问题，解决问题的能力3.重难点：. 1熟悉向量的性质及运算律；
2、2能根据向量性质特点构造向量；3熟练平面几何性质在解题中应用；4熟练向量求解的坐标化思路5认识事物之间的内在联系；6认识向量的工具性作用，加强数学在实际生活中的应用意识 热 点 考 点 题 型 探 析考点一：平面向量在平面几何题型1. 用向量证明几何题例1 已知：如图所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线求证ACBD 解题思路：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的充要条件解析：证法一：，（）（）22O证法二：以OC所在直线为x轴，以B为原点建立直角坐标系，设B(O，O)，A(a，b)，C（c，O）则由ABB
3、C得a2b2c2（c，O）（a，b）（ca，b），（a，b）（c，O）（ca，b）c2a2b2O 即 ACBD【名师指引】如能熟练应用向量的坐标表示及运算，则将给解题带来一定的方便通过向量的坐标表示，可以把几何问题的证明转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用。【新题导练】1证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍.解析 设= b，= a，则=+= b+a, =b+aA, G, D共线，B, G, E共线 A B C E F D G可设=，= ,则=(b+ a)=b+a,= = (b+ a)=b+a, 即：b + (b+a) =b+a(-) a + (-+)b = 0
4、a, b不平行，2已知，若动点满足，求动点P的轨迹方程.解析 由已知得，化简得,这就是动点P的轨迹方程.考点二: 平面向量与三角函数、函数等知识的综合应有用题型1: 与函数综合题例2 广东省华南师大附中2009届高三综合测试（数学理）为的内角A、B、C的对边，且与的夹角为，求C；解题思路： 考查向量数量积运算及三角函数二倍角公式解析： ，又 ， 例3 广东省揭阳二中2009届高三统测（数学理）已知A、B、C是直线上的不同的三点，O是外一点，向量满足,记.求函数的解析式； 解题思路： A、B、C三点共线，解析： A、B、C三点共线，3分【名师指引】涉及与三角综合的题目，多数只利用向量的基本运算，
5、把问题转化为三角问题，以考查三角函数知识为主。三点共线是一个常考常新的知识点。要记住常用结论：A、B、C三点共线，【新题导练】3 广东省高明一中2009届高三月考（数学理） 已知向量，则向量与的夹角为（ ）A B C D答案：A 解析：又所以选A4广东省揭阳二中2009届高三统测（数学理）在ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边；若向量 与的夹角为，求角B的大小解：由题意得：，即0B|a| B s|a| C s=|a| D s与|a|不能比大小答案：A 2. 已知，点C在内，且，设 ，则等于（ ）A B3 C D答案B ，ABC为直角三角形，其中 即 故本题的答案为B3. (2008广东
6、省实验中学高三第三次阶段考)在ABC中，已知向量，则ABC为（ ）A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形答案： D 解析非零向量与满足()=0，即角A的平分线垂直于BC， AB=AC，又= ，A=，所以ABC为等边三角形4. 在ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则的最小值为 .答案: 如图，设，则，所以 ，故当时，取最小值-2.5. 一个30的斜面上放有一个质量为1kg的球，若要保持球在斜面上静止不动，应沿斜面方向给球多大_力;若表示球的重力的向量为p，球对斜面的压力为，则球的重力沿斜面方向的分力f=_保持球在斜面上静止不动的推力f= 答案：4.9N,
7、f=p , ,f=f=p6. （2008佛山石门中学检测）在直角坐标系中，已知点A（0，1）和点B（3，4），若点C在AOB的一平分线上，且，则_.答案：解析 点C在AOB的一平分线上, 设=又,，得,综合拔高训练7广州市海珠区2009届高三上学期综合测试二(数学理)已知：A、B、C是的内角，分别是其对边长，向量，.求角A的大小；解:() =1分=2分4分6分7分.8分8已知A、B、C三点的坐标分别为、 （1）若的值； （2）若解：（1）， （2）由9四边形中， （1）若，试求与满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有，求的值及四边形的面积。 解：,-2分（1）,故有-4分 化简得：-5分（2） 又 则 -7分化简有：-8分联立解得 或 -10分 ,则四边形为对角线互相垂直的梯形当 此时 -12分当 此时-14分10已知点,为坐标原点，且. （1）若，求与的夹角； （2）若，求tan的值.解:由已知可得且1分化简得: 3分因为所以4分6分又因为所以7分（）由得9分即化简得: 10分所以所以即是解得12分因为且所以13分又所以14分