1、广东省东莞七中2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1（5分）a、b为实数，则下列不等式中成立的是（）Aab，则Bab，则C0，则baD0，则ba2（5分）表示满足（xy）（x+2y2）0的点（x，y）所在的区域应为（）ABCD3（5分）不等式6x2x+20的解集是（）ABCD4（5分）在ABC中，若a=1，C=60，c=，则A的值为（）A30B60C30或150D60或1205（5分）在ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（）A120B60C45D306（5分）不等式组表示的平面区域的面积是（）A30B30.2C30.25
2、D30.357（5分）在ABC中，a（sinBsinC）+b（sinCsinA）+c（sinAsinB）的值是（）AB0C1D8（5分）对于任意实数x，不等式ax2+2ax（a+2）0恒成立，则实数a的取值范围是（）A1a0B1a0C1a0D1a09（5分）已知变量x、y满足约束条件1x+y4，2xy2若目标函数z=ax+y（其中a0）仅在点（3，1）处取得最大值，则a的取值范围是（）Aa0Ba1Ca2Da310（5分）若4x1，则f（x）=（）A有最小值1B有最大值1C有最小值1D有最大值1二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大
3、值为12（5分）已知ABC中，AB=6，A=30，B=120，则ABC的面积为13（5分）在ABC中，则B=14（5分）在R上定义运算：xy=x（1y） 若不等式（xa）（x+a）1，对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（12分）若不等式ax2+5x20的解集是，（1）求实数a的值；（2）求不等式ax25x+a210的解集16（12分）在ABC中，已知a=2，b=6，A=30，求B及SABC17（14分）制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3g、B药品4g、C药品4g，乙种烟花每枚含A药品2g、B药品1
4、1g、C药品6g已知每天原料的使用限额为A药品120g、B药品400g、C药品240g，甲种烟花每枚可获利1.2美元，乙种烟花每枚可获利1美元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大？18（14分）一缉私艇发现在北偏东45方向，距离12nmile的海面上有一走私船正以10nmile/h的速度沿东偏南15方向逃窜缉私艇的速度为14nmile/h，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45+的方向去追，求追击所需的时间和角的正弦值19（14分）在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，（1）若ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinB=2sinA，求AB
5、C的面积20（14分）（1）设不等式2x1m（x21）对满足2m2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围；（2）是否存在m使得不等式2x1m（x21）对满足2x2的实数x的取值都成立广东省东莞七中2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1（5分）a、b为实数，则下列不等式中成立的是（）Aab，则Bab，则C0，则baD0，则ba考点：不等式的基本性质 专题：不等式的解法及应用分析：本题可根据不等式的基本性质进行化简变形，从而判断出选项是否正确，得到本题结论解答：解：选项A，当ab时，取a=1，b=1，故不成立，选
6、项A不正确；选项B，当ab时，取a=1，b=1，故不成立，选项B不正确；选项C，当时，有：a0，b0，ba，故选项C正确；选项D与C矛盾，故不成立故选C点评：本题考查的是不等式基本性质，本题难度不大，属于基础题2（5分）表示满足（xy）（x+2y2）0的点（x，y）所在的区域应为（）ABCD考点：二元一次不等式（组）与平面区域 专题：直线与圆分析：由（xy）（x+2y2）0，可化为或取特殊点即可排除不满足条件的选择支解答：解：（xy）（x+2y2）0，或取点（3，0）满足，取点（1，0）满足即可排除A，B，C故选：D点评：本题考查了线性规划中的点与直线的位置关系，考查了推理能力，属于基础题3（
7、5分）不等式6x2x+20的解集是（）ABCD考点：一元二次不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：原不等式6x2x+20可化为6x2+x20，解得或x，可得答案解答：解：不等式6x2x+20可化为6x2+x20，即（2x1）（3x+2）0，解得或x故选B点评：本题为一元二次不等式的解集，熟练掌握因式分解是解集问题的关键，属基础题4（5分）在ABC中，若a=1，C=60，c=，则A的值为（）A30B60C30或150D60或120考点：正弦定理 专题：解三角形分析：由正弦定理求得sinA=，再由ca，可得60A，从而求得A的值解答：解：在ABC中，若a=1，C=60，c=，则由正弦定理可得
8、，即 ，解得sinA=由于ABC中ca，CA，A=30，故选A点评：本题主要考查正弦定理的应用，以及大边对大角，属于中档题5（5分）在ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（）A120B60C45D30考点：余弦定理 专题：计算题分析：先根据a2=b2+bc+c2，求得bc=（b2+c2a2）代入余弦定理中可求得cosA，进而求得A解答：解：根据余弦定理可知cosA=a2=b2+bc+c2，bc=（b2+c2a2）cosA=A=120故选A点评：本题主要考查了余弦定理的应用属基础题6（5分）不等式组表示的平面区域的面积是（）A30B30.2C30.25D30.35考点：简单线性规划 专题：
9、计算题；作图题；不等式的解法及应用分析：作出其平面区域，由图可知三角形的底边长与高，从而求面积解答：解：由题意作出其平面区域如下：其面积S=115.5=30.25故选C点评：本题考查了学生的作图能力及读图能力，能够找到适当的边长从而简化运算，属于基础题7（5分）在ABC中，a（sinBsinC）+b（sinCsinA）+c（sinAsinB）的值是（）AB0C1D考点：三角函数的化简求值 专题：解三角形分析：设ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可用边a，b，c，R表示sinA，sinB，sinC，代入表示可求解答：解：设ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可得，sinB=，sinA=，sinC=
10、，所以a（sinBsinC）+b（sinCsinA）+c（sinAsinB）=a（）+b（）+c（）=0，故选B点评：本题考查三角函数的化简求值、正弦定理的应用，属中档题8（5分）对于任意实数x，不等式ax2+2ax（a+2）0恒成立，则实数a的取值范围是（）A1a0B1a0C1a0D1a0考点：一元二次不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：讨论a是否为0，不为0时，根据开口方向和判别式建立不等式组，解之即可求出所求解答：解：1a0时，=4a2+4a（a+2）=8a2+8a0，8a（a+1）0，1a02a=0时，20成立综上，实数a的取值范围是1a0故选C点评：本题主要考查了一元二次不等
11、式的应用，以及恒成立问题，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题9（5分）已知变量x、y满足约束条件1x+y4，2xy2若目标函数z=ax+y（其中a0）仅在点（3，1）处取得最大值，则a的取值范围是（）Aa0Ba1Ca2Da3考点：简单线性规划 专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用分析：作出其平面区域，由图确定若目标函数z=ax+y（其中a0）仅在点（3，1）处取得最大值时斜率a的要求，从而求出a的取值范围解答：解：由题意，作出其平面区域如下图：目标函数z=ax+y（其中a0）可化为y=ax+z，则由目标函数z=ax+y（其中a0）仅在点（3，1）处取得最大值，a1，即a1故选B点评：
12、本题考查了简单的线性规划的应用，注意作图要仔细，而且注意参数的几何意义是解决问题的关键，属于基础题10（5分）若4x1，则f（x）=（）A有最小值1B有最大值1C有最小值1D有最大值1考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：变形利用基本不等式的性质即可得出解答：解：4x1，51x0f（x）=1，当且仅当x=0时取等号函数f（x）有最大值1，无最小值故选：D点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为7考点：简单线性规划 专题：计算题；数形结合分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几
13、何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可解答：解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z=3x+y过点A（3，2）时，z最大是7，故答案为：7点评：本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题12（5分）已知ABC中，AB=6，A=30，B=120，则ABC的面积为考点：三角形中的几何计算 专题：计算题分析：先根据三角形内角和，得到C=180AB=30，从而A=C，所以BC=AB=6，最后用正弦定理关于面积的公式，可得ABC的面积为BCABsinB=，得到正确答案解答：解：ABC中，A=30，B=1
14、20，C=18030120=30A=CBC=AB=6由面积正弦定理公式，得SABC=BCABsinB=66sin120=即ABC的面积为故答案为：点评：本题以求三角形的面积为例，着重考查了正弦定理、三角形面积公式和三角形内角和等知识点，属于基础题13（5分）在ABC中，则B=45考点：正弦定理 专题：计算题分析：先根据正弦定理可知，进而根据题设条件可知，推断出sinB=cosB，进而求得B解答：解：由正弦定理可知，sinB=cosBB=45故答案为45点评：本题主要考查了正弦定理的应用属基础题14（5分）在R上定义运算：xy=x（1y） 若不等式（xa）（x+a）1，对任意实数x恒成立，则实数
15、a的取值范围是考点：函数恒成立问题 专题：计算题分析：利用新定义的运算：xy=x（1y），将不等式转化为二次不等式，解决恒成立问题转化成图象恒在x轴上方，从而有0，解0即可解答：解：根据运算法则得（xa）（x+a）=（xa）（1xa）1化简得x2xa2+a+10在R上恒成立，即0，解得a故答案为点评：本题的考点是函数恒成立问题，主要考查了函数恒成立问题，题目比较新颖，关键是理解定义了新的运算，掌握恒成立问题的处理策略，属于中档题三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（12分）若不等式ax2+5x20的解集是，（1）求实数a的值；（2）求不等式ax2
16、5x+a210的解集考点：一元二次不等式与一元二次方程；一元二次不等式的解法 专题：不等式分析：（1）由二次不等式的解集形式，判断出，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a的值（2）由（1）我们易得a的值，代入不等式ax25x+a210易解出其解集解答：解：（1）ax2+5x20的解集是，a0，2是ax2+5x2=0的两根解得 a=2；（2）则不等式ax25x+a210可化为2x25x+30解得 故不等式ax25x+a210的解集点评：本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及三个二次之间的关系，其中根据三个二次之间的关系求出a的值，是解答本题的关键16（12分）在ABC中，已知a=2，b=
17、6，A=30，求B及SABC考点：正弦定理 专题：计算题；分类讨论分析：直接利用正弦定理，结合A的值，求出B的值，利用三角形的面积公式求出面积即可解答：解：在ABC中，由正弦定理=得，sinB=sinA=又A=30，且ab，BAB=60或120当B=60时，C=90，ABC为直角三角形，SABC=ab=6当B=120时，C=30，ABC为等腰三角形，SABC=absinC=3点评：本题考查正弦定理以及三角形的面积的求法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力17（14分）制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3g、B药品4g、C药品4g，乙种烟花每枚含A药品2g、B药品11g、C药品6g已知每
18、天原料的使用限额为A药品120g、B药品400g、C药品240g，甲种烟花每枚可获利1.2美元，乙种烟花每枚可获利1美元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大？考点：简单线性规划 专题：计算题；应用题；作图题；不等式的解法及应用分析：由题意列出表格，从而得到不等式组，作出平面区域，由线性规划求最值解答：解：根据题意，可列出下表：A药品（g）B药品（g）C药品（g）甲种烟花344乙种烟花2116原料限额120400240设每天生产甲种烟花x枚、乙种烟花y枚，获利为z美元，则目标函数z=1.2x+y（美元）其中x、y应满足：，作出上面的不等式组所表示的平面区域如下图所示，把z=1.2x+
19、y变形为平行直线系l：y=1.2x+z由图可知，当直线l经过平面区域上的点M时，截距z最大解方程组，得交点M（24，24）故每天生产甲种烟花24枚、乙种烟花24枚，能使利润最大点评：本题考查了由实际问题转化为数学问题的能力，同时考查了线性规划的处理方法，属于中档题18（14分）一缉私艇发现在北偏东45方向，距离12nmile的海面上有一走私船正以10nmile/h的速度沿东偏南15方向逃窜缉私艇的速度为14nmile/h，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45+的方向去追，求追击所需的时间和角的正弦值考点：解三角形的实际应用；余弦定理 专题：应用题分析：由图A，C分别表示缉私艇，
20、走私船的位置，设经过 x小时后在B处追上，则有 AB=14x，BC=10x，ACB=120从而在ABC中利用余弦定理可求追击所需的时间，进一步可求角的正弦值解答：解：设A，C分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过 x小时后在B处追上，（2分）则有 AB=14x，BC=10x，ACB=120（14x）2=122+（10x）2240xcos120（8分）x=2，AB=28，BC=20，（10分）所以所需时间2小时，（14分）点评：本题考查正余弦定理在实际问题中的运用，关键是构建三角形，寻找边角关系，属于基础题19（14分）在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，（1）若AB
21、C的面积等于，求a，b；（2）若sinB=2sinA，求ABC的面积考点：解三角形；三角形中的几何计算 专题：计算题分析：（1）由c及cosC的值，利用余弦定理列出关于a与b的关系式a2+b2ab=4，再由已知三角形的面积及sinC的值，利用三角形的面积公式得出ab的值，与a2+b2ab=4联立组成方程组，求出方程组的解即可求出a与b的值；（2）利用正弦定理化简sinB=2sinA，得到b=2a，与（1）得出的a2+b2ab=4联立组成方程组，求出方程组的解得到a与b的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积解答：解：（1）c=2，cosC=，由余弦定理c2=a2+
22、b22abcosC得：a2+b2ab=4，又ABC的面积等于，sinC=，整理得：ab=4，（4分）联立方程组，解得a=2，b=2；（6分）（2）由正弦定理，把sinB=2sinA化为b=2a，（8分）联立方程组，解得：，又sinC=，则ABC的面积（10分）点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键20（14分）（1）设不等式2x1m（x21）对满足2m2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围；（2）是否存在m使得不等式2x1m（x21）对满足2x2的实数x的取值都成立考点：一元二次不等式的应用 专
23、题：计算题分析：（1）构造函数f（m）=（x21）m+2x1，原不等式等价于f（m）0对于m2，2恒成立，从而只需要 即可，进而解不等式即可（2）令f（x）=2x1m（x21）=mx2+2x+（m1），原问题转化为：使|x|2的一切实数都有2x1m（x21）成立对m的值进行分类讨论：当m=0时，不满足题意；当m0时，f（x）只需满足，解之得结果为空集，从而得出结论解答：解：（1）令f（m）=2x1m（x21）=（1x2）m+2x1，可看成是一条直线，且使|m|2的一切实数都有2x1m（x21）成立所以，即，即所以，（2）令f（x）=2x1m（x21）=mx2+2x+（m1），使|x|2的一切实数都有2x1m（x21）成立当m=0时，f（x）=2x1在时，f（x）0（不满足题意）当m0时，f（x）只需满足下式：或或或，解之得结果为空集故没有m满足题意点评：本题以不等式为载体，恒成立问题，关键是构造函数，变换主元，考查解不等式的能力属于中档题
