1、第三章 第二讲时间：60分钟满分：100分一、选择题(8540分)1(2009辽宁，3)an为等差数列，且a72a41，a30，则公差d()A2B C.D2答案：B解析：由等差中项的定义结合已知条件可知2a4a5a3，2da7a51，即d.故选B.2在等差数列an中，a39，a93，则a12()A0 B3 C6 D3答案：A解析：a12a3(123)da39990.3(2009北京朝阳)在等差数列an中，设Sn为其前n项和，已知，则等于()A. B. C. D.答案：A解析：由题意可得：.4(2009海南海口)设an是公差为2的等差数列，如果a1a4a750，则a6a9a12()A40 B30
2、 C20 D10答案：C解析：因为a1a4a750，所以3a450，a4.又因为公差为2，所以a9a45(2)，则a6a9a123a920.5数列an中，a32，a71，且数列是等差数列，则a11等于()A B. C. D5答案：B解析：解法一：设等差数列的公差为d，则：4d，将a32，a71代入解得d.4da11.故选B.解法二：是等差数列，也是等差数列将a32，a71代入解得a11，故选B.6(2010福建省六校联考试题)已知等差数列an的前n项和为Sn，a1a5S5，且a920，则S11()A260 B220 C130 D110答案：D解析：S55，又S5a1a5，a1a50，a30，S
3、11111111110，故选D.7(2009朝阳4月)各项均不为零的等差数列an中，若aan1an10(nN*，n2)，则S2009等于()A0 B2 C2009 D4018答案：D解析：各项均不为零的等差数列an，由于aan1an10(nN*，n2)，则a2an0，an2，S20094018，故选D.8(2011原创题)等差数列an中，Sn是其前n项和，a12010，2，则S2010的值为()A2009 B2009 C2010 D2010答案：D解析：等差数列an中，Sn是其前n项和，则数列也为等差数列，又a12010，2，则是以2010为首项，1为公差的等差数列，则2010(20101)(
4、1)1，S2010的值为2010，故选D.二、填空题(4520分)9(2009全国，14)设等差数列an的前n项和为Sn.若S972，则a2a4a9_.答案：24解析：由等差数列的性质得S99a572，a58，则a2a4a9a1a5a93a524，故填24.10(2009山东，13)在等差数列an中，a37，a5a26，则a6_.答案：13解析：an是等差数列，设公差为d，3da5a26.则a6a33d7613.11(2009陕西，13)设等差数列an的前n项和为Sn，若a6S312，则an的通项an_.答案：2n解析：由已知故an2n，故填2n.12若an是等差数列，首项a10，a2003a
5、20040，a2003a20040，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是_答案：4006解析：解法一：S40060，a20030，a20040，S4007(a1a4007)2a20040，4006为Sn0的最大自然数解法二：a10，a2003a20040且a2003a20040，a20030且a20040，S2003为Sn中的最大值，Sn是关于n的二次函数，2003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小，在对称轴右侧，据二次函数图象的对称性；4006在图象中右侧零点B的左侧，4007,4008都在其右侧Sn0中最大的自然数是4006.三、解答题(41040分)13已知an是一个等差数列，且
6、a21，a55.(1)求an的通项an；(2)求an前n项和Sn的最大值命题意图：本题主要考查等差数列的定义、通项公式、前n项和公式，以及二次函数最值的求法解析：(1)设an的公差为d，由已知条件，解出a13，d2，所以ana1(n1)d2n5.(2)Snna1dn24n4(n2)2.所以当n2时，Sn最大值为4.14在等差数列an中，Sn为an的前n项和，q，pN*，且pq.(1)若apq，aqp，求证：apq0；(2)若SpSq，求证：Spq0；(3)若Spq，Sqp，求证：Spq(pq)证明：(1)由于an是关于n的一次函数，因此点(p，ap)，(q，aq)，(pq，apq)共线，apq
7、0.(2)由于Sn是关于n的二次函数，可设为f(n)an2bn(a0)又SpSqf(p)f(q)，因此它的对称轴为n，f(pq)f(0)0.(3)由(2)可知是关于n的一次函数，因此点(p，)，(q，)，(pq，)在同一直线上，Spq(pq)15(高考改编题)设Sn是等差数列an前n项的和已知S3与S4的等比中项为S5，S3与S4的等差中项为1，求等差数列an的通项an.分析：运用等差数列前n项和公式、通项公式，求首项a1和公差d.解析：解法一：设等差数列an的首项a1a，公差为d，则通项公式为：ana(n1)d，前n项和为Snna.依题意有由此可得整理得解得或an1或an4(n1)n.经验证
8、，知an1时，S55；ann时，S54均适合题意，故所求等差数列的通项为an1，或ann.解法二：因Sn是等差数列的前n项和，故可设Snan2bn(a0)，依题意得解得或则Snn，或Snn2n.在等差数列中，anSnSn1，an1或ann.解法三：因Sn是等差数列的前n项和，易知数列为等差数列，依题意得解得或由此得a4S4S31，a5S5S41或a4，a5，数列an的公差d0或.则ana4(n4)01，或ana4(n4)n.解法四：由题意S32a2，S42(a2a3)，S55a3代入整理得解之，得或an1或ann.16(2009湖南十二校第一次联考)已知二次函数yf(x)的图象经过坐标原点，其
9、导函数为f(x)6x2，数列an的前n项和为Sn，点列(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，Tn是数列bn的前n项和，求使得Tn对所有nN*都成立的最小正整数m.解析：(1)设这个二次函数f(x)ax2bx(a0)，则f(x)2axb，由于f(x)6x2，得a3，b2，所以f(x)3x22x.又因为点(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上，所以Sn3n22n.当n1时，a1S11，当n2时，anSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5，又n1时也符合故an的通项公式为an6n5.(2)由(1)得bn()，故Tn(1)()()(1)，因此，使(1)(nN*)成立的m，必须且仅需满足，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10.