1、基础诊断考点突破课堂总结第3讲 数学归纳法及其应用基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.数学归纳法的原理，A级要求；2.利用数学归纳法证明一些简单的数学命题，B级要求基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立第一个值n0(n0N*)nk1 基础诊断考点突破课堂总结2数学归纳法的框图表示基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测1思考辨析(请在括号中打“”或“”)(1
2、)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用()(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项()基础诊断考点突破课堂总结2用数学归纳法证明 1aa2an11an21a(a1，nN*)，在验证 n1 时，等式左边的项是_答案 1aa2基础诊断考点突破课堂总结3用数学归纳法证明等式：123n2n4n22(nN*)，则从 nk 到 nk1 时，左边应添加的项为_解析 nk时，等式左边123k2，nk1时，等式左边123k2(k21)(k22)(k
3、1)2.比较上述两个式子，nk1时，等式的左边是在假设nk时等式成立的基础上，等式的左边加上了(k21)(k22)(k1)2.答案(k21)(k22)(k23)(k1)2基础诊断考点突破课堂总结4用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，当第二步假设n2k1(kN)命题为真时，进而需证n_时，命题亦真解析 因为n为正奇数，所以与2k1相邻的下一个奇数是2k1.答案 2k1基础诊断考点突破课堂总结答案 3 4 5 n15已知an满足 an1a2nnan1，nN*，且 a12.则 a2_，a3_，a4_.猜想 an_.基础诊断考点突破课堂总结考点一 用数学归纳法证明等式【例 1】用
4、数学归纳法证明：124 146 16812n2n2n4n1(nN*)证明(1)当 n1 时，左边12121218，右边141118，左边右边，所以等式成立基础诊断考点突破课堂总结(2)假设 nk(kN*)时等式成立，即有124 146 16812k2k2k4k1，则 当 n k 1 时，124 146 168 12k2k2 12k12k12k4k114k1k2 kk214k1k2k124k1k2 k14k2k14k11.所以当 nk1 时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切 nN*等式都成立基础诊断考点突破课堂总结规律方法 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式时，关键在于“先看项”，弄
5、清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由nk到nk1时等式的两边变化的项，然后正确写出归纳证明的步骤，使问题得以证明基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(2015宿迁模拟改编)数列an满足 an14an4a2n，nN*，其中 a1t(tR)若 tsin2，用数学归纳法证明：ansin2(2n1)，nN*.证明 当n1时，a1tsin2 sin2(211)，等式成立；假设当nk(kN*)时，等式成立，即aksin2(2k1)；则当nk1时，ak14ak(1ak)4sin2(2k1)(1sin2(2k1)4sin2(2k1)cos2(2k1)sin2(2k)，所以
6、当nk1时，等式也成立综上所述，ansin2(2n1)对nN*均成立基础诊断考点突破课堂总结考点二 用数学归纳法证明不等式【例 2】(2015南京师大附中模拟改编)已知 x1，x2，xnR，且 x1x2xn1，求证：(2x1)(2x2)(2xn)(21)n.证明(1)当 n1 时，2x1 21，不等式成立(2)假设 nk 时不等式成立，即(2x1)(2x2)(2xk)(21)k 成立，则 nk1 时，若 xk11，则命题成立；基础诊断考点突破课堂总结若 xk11，则 x1，x2，xk 中必存在一个数小于 1，不妨设这个数为 xk，从而(xk1)(xk11)0，即 xkxk11xkxk1，xk1
7、1 同理可得，(2x1)(2x2)(2xk)(2xk1)(2x1)(2x2)2 2(xkxk1)xkxk1(2x1)(2x2)2 2(1xkxk1)xkxk1(2x1)(2x2)(2xkxk1)(21)(21)k(21)(21)k1.故 nk1 时，不等式也成立由(1)(2)及数学归纳法原理知原不等式成立基础诊断考点突破课堂总结规律方法 用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时命题成立证nk1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化.基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】用数学归纳法证明：对一切大于
8、1 的自然数 n，不等式113 115 112n1 2n12均成立证明(1)当 n2 时，左边11343；右边 52.左边右边，不等式成立(2)假设 nk(k2，且 kN*)时不等式成立，即 113115 112k1 2k12.则当 nk1 时，基础诊断考点突破课堂总结113 115 112k1 1 12k11 2k12 2k22k1 2k22 2k1 4k28k42 2k1 4k28k32 2k1 2k3 2k12 2k1 2k112.当 nk1 时，不等式也成立由(1)(2)知，对于一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立基础诊断考点突破课堂总结考点三 归纳猜想证明【例3】(2015扬州模
9、拟)设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)5，且满足：任意nN*，f(n)Z；任意m，nN*，有f(m)f(n)f(mn)f(mn1)(1)求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2)求f(n)的表达式基础诊断考点突破课堂总结解(1)因为f(1)f(4)f(4)f(4)，所以5f(1)10，则f(1)2.因为f(n)是单调增函数，所以2f(1)f(2)f(3)f(4)5.因为f(n)Z，所以f(2)3，f(3)4.(2)由(1)可猜想f(n)n1.因为f(n)单调递增，所以f(n1)f(n)，又f(n)Z，所以f(n1)f(n)1.首先证明：f(n)n1.因为f(1)2，所以n1时，命题成立
10、基础诊断考点突破课堂总结假设nk(k1)时命题成立，即f(k)k1，则f(k1)f(k)1k2，即nk1时，命题也成立综上，f(n)n1.由已知可得f(2)f(n)f(2n)f(n1)，而f(2)3，f(2n)2n1，所以3f(n)f(n1)2n1，即f(n1)3f(n)2n1.下面证明：f(n)n1.因为f(1)2，所以n1时，命题成立假设nk(k1)时命题成立，即f(k)k1，则f(k1)3f(k)2k13(k1)2k1k2，即nk1时，命题也成立所以f(n)n1.基础诊断考点突破课堂总结规律方法“归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题
11、、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性基础诊断考点突破课堂总结【训练3】设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1(nN*)(1)求a1，a2；(2)猜想数列Sn的通项公式，并给出证明解(1)当 n1 时，方程 x2a1xa10 有一根为 S11a11，(a11)2a1(a11)a10，解得 a112.基础诊断考点突破课堂总结当 n2 时，方程 x2a2xa20 有一根为 S21a1a21a212，a2122a2a212 a20，解得 a216.(2)由题意知(Sn1)2an(Sn1)an0，当 n2 时，anSnSn1
12、，代入上式整理得SnSn12Sn10，解得 Sn12Sn1.由(1)得 S1a112，S2a1a2121623.基础诊断考点突破课堂总结猜想 Sn nn1(nN*)下面用数学归纳法证明这个结论当 n1 时，结论成立假设 nk(kN*，k1)时结论成立，即 Sk kk1，当 nk1 时，Sk112Sk12 kk1k1k2k1k11.即当 nk1 时结论成立由、知 Sn nn1对任意的正整数 n 都成立基础诊断考点突破课堂总结思想方法1数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两个步骤缺一不可，否则就会导致错误有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础基础诊断考点突破课堂总结2归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证nk1时，必须用上归纳假设3利用归纳假设的技巧在推证nk1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设此时既要看准目标，又要掌握nk与nk1之间的关系在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用基础诊断考点突破课堂总结易错防范1数学归纳法证题时初始值n0不一定是1；2推证nk1时一定要用上nk时的假设，否则不是数学归纳法3解“归纳猜想证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础，否则将会做大量无用功.