1、第二十一章 一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程 第3课时 几何图形问题 知识点一 一般图形问题1.修建一个面积为100 m2的矩形花园，它的长比宽多10 m，设宽为x m，可列方程为()A.x(x10)100 B.2x2(x10)100C.2x2(x10)100D.x(x10)1002.如图，王师傅在一块正方形钢板上截取了4 cm宽的矩形钢条，剩下的阴影部分的面积是96 cm2，则原来这块正方形钢板的边长是_ cm.D 12 3.如图，用长6 m的铝合金条制成“日”字形窗框，请问宽和高各是多少时，窗户的透光面积为1.5 m2(铝合金条的宽度不计)?解：设宽为x m，则高为 m.由题
2、意，得x 1.5，解得x1x21，则高是 1.5(m)答：宽为1 m，高为1.5 m 632x632x6321知识点二 边框与通道问题4.如图，在一幅矩形风景画外面的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，整个挂图的长80 cm，宽50 cm.若风景画的面积是3500 cm2，设金色纸边的宽为x cm，则x满足的方程是()A.(80 x)(50 x)3500B.(802x)(502x)3500C.(80 x)(50 x)3500D.(802x)(502x)3500B 5.如图，某小区规划在一个长50 m，宽30 m的矩形场地ABCD上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行
3、，其余部分种草.若使每块草坪面积都为178 m2，设道路宽度为x米，则下列方程正确的是_ _.(502x)(30 x)1786 6.(课本P22习题T9改编)如图，有一幅长8 cm，宽6 cm的矩形图案，其中有两条互相垂直的彩条，竖直彩条的宽度是水平彩条宽度的2倍.图案中两条彩条所占面积是整个矩形图案面积的，求彩条的宽度.38解：设水平彩条的宽度为x cm，则竖直彩条的宽度为2x cm.由题意，得8x62x2xx 86，整理，得x210 x90，解得x1或x9(不合题意，舍去)，2x2.答：水平彩条的宽度为1 cm，竖直彩条的宽度为2 cm.38易错点 忽略所求量的实际意义7.如图，依靠一面长
4、18 m的墙，用36 m长的篱笆围成一个矩形场地ABCD，设AB长为x m.矩形ABCD的面积为S m2.(1)用含x的代数式表示S，并写出x的取值范围；(2)当矩形场地的面积为160 m2时，求AB的长.解：(1)ABx，CDx，BC362x，Sx(362x)2x236x.0362x18，9x18.(2)当S160时，2x236x160，解得x110，x28(不合题意，舍去)答：当矩形场地的面积为160 m2时，AB的长为10 m 8.如图，在宽为20 m、长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540 m2，则道路的宽为()A.5 mB.
5、3 mC.2 mD.2 m或5 mC 9.(课本P2问题1改编)如图，把长40 cm，宽30 cm的长方形纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形(阴影部分即剪掉部分)，将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子.设剪掉的小正方形边长为x cm(纸板的厚度忽略不计).若折成长方体盒子的表面积是950 cm2，则x的值是()A.3 cmB.4 cmC.4.8 cmD.5 cmD 考查角度一 利用方程解决面积问题10.(2019南京)某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图，原广场长50 m，宽40 m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为32.扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺
6、设地砖费用每平方米100元.如果计划总费用642 000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少？解：设扩充后广场的长为3x m，宽为2x m由题意，得3x2x10030(3x2x5040)642 000，解得x130，x230(舍去)所以3x90，2x60，答：扩充后广场的长为90 m，宽为60 m 考查角度二 利用方程解决动点问题11.如图，在ABC中，C90，AC6 cm，BC8 cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1 cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2 cm/s的速度移动.(1)如果点P，Q同时出发，几秒钟后，可使PCQ的面积为8 cm2?解：(1)设x s后，可使PCQ的
7、面积为8 cm2.由题意，得APx cm，PC(6x)cm，CQ2x cm，则 (6x)2x8，解得x12，x24.点P，Q同时出发2 s或4 s后可使PCQ的面积为8 cm2.12(2)点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得PCQ的面积等于ABC的面积的一半？(2)SABC ACBC 6824(cm2)若SPCQ SABC，则 2x(6x)24，即x26x120.0，该方程无实数解，不存在使得PCQ的面积等于ABC的面积的一半的时刻 1212121212拔尖角度 利用方程探究周长与面积问题12.阅读探究：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，使它的周长和面积分别是已知矩形周长和面
8、积的一半？”(完成下列空格)(1)当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边长分别是x和y.由题意，得方程组消去y，化简，得2x27x60.10，x1_，x2_，满足要求的矩形B存在.7y2xy=3,x,322(2)如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B；(2)设所求矩形的两边长分别是x和y.根据题意，得 消去y，化简，得2x23x20.(3)242270，该方程无解，不存在满足要求的矩形B.3+,2=1,xyxy(3)如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？(3)设所求矩形的两边长分别是x和y.根据题意，得 消去y，化简得2x2(mn)xmn0.矩形B存在，(mn)242mn0，(mn)24mn.故当m，n满足(mn)24mn时，矩形B存在+,2=,2m+nxymnxy