1、基础诊断考点突破课堂总结第2讲 用样本估计总体基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.分布的意义和作用，样本估计总体的思想，A级要求；2.频率分布表、频率分布直方图、频率折线图、茎叶图及各自特点，B级要求；3.样本数据的数字特征(如平均数、标准差)的意义和作用，它们的计算并作出合理的解释，B级要求；4.用样本的频率分布估计总体分布，用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，B级要求基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1用样本的频率分布估计总体分布(1)频率分布：样本中所有数据(或者数据组)的频数和样本容量的比，就是该数据的，所有数据(或者数据组)的频率的分布变化规律叫做.(2)作频率分布直方
2、图的步骤：求极差，即一组数据中的 与 的差；决定 ；将 ；列 ；画频率分布直方图频率频率分布最大值最小值组距与组数数据分组频率分布表基础诊断考点突破课堂总结在频率分布直方图中，纵轴表示，数据落在各小组内的频率用表示，各小长方形的面积总和等于.各小长方形的面积1(3)总体密度曲线 频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为总体密度曲线频率组距基础诊断考点突破课堂总结(4)茎叶图：统计中还有一种被用来表示数据的图叫茎叶图，茎是指中间一
3、列数，叶是从茎的旁边生长出来的数当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，给数据的记录和表示都带来方便基础诊断考点突破课堂总结2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数(2)中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数(3)平均数：样本数据的算术平均数，即 x .1n(x1x2xn)基础诊断考点突破课堂总结(4)样本方差、标准差标准差 s.其中 xn 是样本数据的第 n 项，n 是样本容量，x是平均数标准差是反映总体波动大小的特征
4、数，样本方差是标准差的平方通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差1nx1 x 2x2 x 2xn x 2基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率()(2)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势()(3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抺掉了()(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次()基础诊断考点突破课堂总结2.(苏教版必修3P88T3改编)对某商店一个月内每
5、天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是_解析 由题意知各数为12,15,20,22,23,23,31,32,34,34,38,39,45,45,45,47,47,48,48,49,50,50,51,51,54,57,59,61,67,68，中位数是46，众数是45，最大数为68，最小数为12，极差为681256.答案 46,45,56基础诊断考点突破课堂总结3(2014山东卷改编)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为12,13)，13,14)，14,15)，15,16)，16,17
6、，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组下图是根据试验数据制成的频率分布直方图已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为_基础诊断考点突破课堂总结解析 全体志愿者共有：200.240.16150(人)，所以第三组有志愿者：0.3615018(人)，第三组中没有疗效的有6人，有疗效的有18612(人)答案 12基础诊断考点突破课堂总结4(2014陕西卷改编)某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为_基础诊断考点突破课堂总结
7、解析 x x1x2x1010，s2 110(x1 x)2(x2 x)2(x10 x)2，月工资增加100元后：x x1100 x2100 x1010010 x1x2x1010100 x 100，s2 110(x1100 x)2(x2100 x)2(x10100 x)2s2.答案 x 100，s2基础诊断考点突破课堂总结5(2015南通模拟)甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别是：甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1则机床性能较好的为_答案 乙解析 x 甲1.5，x 乙1.2，s2甲1.65，s2乙0.76，s2乙s2
8、甲，乙机床性能较好基础诊断考点突破课堂总结考点一 频率分布直方图【例1】(2014新课标全国卷)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组75,85)85,95)95,105)105,115)115,125)频数62638228基础诊断考点突破课堂总结(1)作出这些数据的频率分布直方图：基础诊断考点突破课堂总结(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？基础诊断考点突
9、破课堂总结解(1)基础诊断考点突破课堂总结(2)质量指标值的样本平均数为质量指标值的样本方差为s2 (20)20.06 (10)20.26 00.38 1020.22 2020.08104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.x800.06900.261000.381100.221200.08100.基础诊断考点突破课堂总结(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.380.220.080.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 解决
10、频率分布直方图的问题，关键在于找出图中数据之间的联系这些数据中，直接的有组距、频率组距，间接的有频率、小长方形的面积，合理使用这些数据，再结合两个等量关系：小长方形面积组距频率组距频率，小长方形面积之和等于1，即频率之和等于1，就可以解决直方图的有关问题基础诊断考点突破课堂总结【训练1】(2014江苏卷)设抽测的树木的底部周长均在区间80,130上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有_株树木的底部周长小于100 cm.基础诊断考点突破课堂总结解析 由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100 cm的株数为(0.0150.025)106024.答案 24基础诊断考点突破课堂总
11、结考点二 茎叶图【例2】(2014广东卷)某车间20名工人年龄数据如下表：年龄(岁)工人数(人)191283293305314323401合计20基础诊断考点突破课堂总结(1)求这20名工人年龄的众数与极差；(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；(3)求这20名工人年龄的方差解(1)由题意可知，这20名工人年龄的众数是30，极差是401921.(2)这20名工人年龄的茎叶图如图所示：基础诊断考点突破课堂总结(3)这20名工人年龄的平均数为 x 120(1932832953043133240)30，这20名工人年龄的方差为s2120i120(xix)21126227125
12、021022025220 12.6.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)茎叶图的绘制需注意：“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置上的数据(2)茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来分析单组数据，也可以用来比较两组数据通过茎叶图可以确定数据的中位数，数据大致集中在哪个茎，数据是否关于该茎对称，数据分布是否均匀等基础诊断考点突破课堂总结【训练2】(2015宿迁调研)某样本数据的茎叶图如图所示，若该组数据的中位数为85，则该组数据的平均数为_基础诊断考点突破课堂总结解析 依题意得，将样本数据由小到大排列，中间的两
13、个数之和等于852170，因此x6，样本数据的平均数等于 110(70280690253)85.3.答案 85.3基础诊断考点突破课堂总结考点三 用样本的数字特征估计总体的数字特征【例3】甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价基础诊断考点突破课堂总结解(1)由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分x 甲1013121416513，x 乙1314121214513，s2甲15(1013)2(1313
14、)2(1213)2(1413)2(1613)24，s2乙15(1313)2(1413)2(1213)2(1213)2(1413)20.8.基础诊断考点突破课堂总结从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高.(2)由s2甲s2乙可知乙的成绩较稳定基础诊断考点突破课堂总结规律方法 平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小基础诊断考点突破课堂总结【训练3】将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为
15、91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为_基础诊断考点突破课堂总结解析 由题意知879490919090 x91791，解得x4.所以s2 17(8791)2(9491)2(9091)2(9191)2(9091)2(9491)2(9191)217(16910190)367.答案 367基础诊断考点突破课堂总结思想方法1用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致通过频率分布表和频率分布直方
16、图可以对总体作出估计基础诊断考点突破课堂总结2茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以随时记录；而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息，必须在完成抽样后才能制作3若取值x1，x2，xn的频率分别为p1，p2，pn，则其p均值为x1p1x2p2x2pn.若x1，x2，xn的平均数为，方差为s2，则ax1b，ax2b，axnb的平均数为ab，方差为a2s2.基础诊断考点突破课堂总结易错防范1在使用茎叶图时，一定要注意看清楚所有的样本数据，弄清楚这个图中的数字特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义2利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，应注意这三者的区分：(1)最高的矩形的中点即众数；(2)中位数左边和右边的直方图的面积是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和基础诊断考点突破课堂总结3直方图与条形图不要搞混(1)条形图是用条形的长度表示各类别频数的多少，其宽度(表示类别)是固定的；直方图是用面积表示各组频率的多少，矩形的高度表示每一组的频率除以组距，宽度则表示各组的组距，因此其高度与宽度均有意义(2)由于分组数据具有连续性，直方图的各矩形通常是连续排列，而条形图则是分开排列.