1、上海市复旦实验中学2015届高三上学期期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1（4分）已知集合A=x|0x3，B=x|0，则AB2（4分）函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）的最小正周期为3（4分）已知（1+px2）5的展开式中，x6的系数为80，则p=4（4分）已知集合A=1，1，B=x|ax+1=0，若BA，则实数a的所有可能取值的集合为5（4分）在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c若sinA：sinB：sinC=6：5：4，则最大角为6（4分）已知口袋里装有同样大小、同样质量的16个小球，其中8个白球、8个黑球，则从口袋中任意摸出8个球恰好是4
2、白4黑的概率为（结果精确到0.001）7（4分）在平面直角坐标系xOy中，将点A（，1）绕原点O逆时针旋转90到点B，若直线OB的倾斜角为，则tan2的值为8（4分）若函数f（x）=lg（x22x+a）在1，+）上单调递增，则a的取值范围是9（4分）若一个圆锥的轴截面是边长为4cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为cm210（4分）已知定义在（0，）上的函数y=2（sinx+1）与y=的图象相交于点P，过点P作PP1x轴于P1，直线PP1与y=tanx的图象交于点P2，则线段P1P2的长度为11（4分）已知函数f（x）=ax（a0且a1）满足f（2）f（3），若f1（x）是f（x）的反函数，则
3、关于x的不等式f1（1x）1的解集是12（4分）设a为非零实数，偶函数f（x）=x2+a|xm|+1（xR）在区间（2，3）上存在唯一零点，则实数a的取值范围是13（4分）设函数f（x）=x+1（Q）的定义域为b，aa，b，其中0ab若函数f（x）在区间a，b上的最大值为6，最小值为3，则f（x）在区间b，a上的最大值与最小值的和为14（4分）已知命题“若f（x）=m2x2，g（x）=mx22m，则集合”是假命题，则实数m的取值范围是二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）15（4分）下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）Ay=lgxBy=tanxCy=3xD16（4分）在钝角
4、ABC中，“sinA=”是“A=”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件17（4分）已知函数f（x）=，其中a0，x（0，b，则下列判断正确的是（）A当b时，f（x）的最小值为B当0b时，f（x）的最小值为2C当0b时，f（x）的最小值为D当b0时，f（x）的最小值为218（4分）给定方程：（）x+sinx1=0，下列命题中：（1）该方程没有小于0的实数解；（2）该方程有无数个实数解；（3）该方程在（，0）内有且只有一个实数解；（4）若x0是该方程的实数解，则x01则正确命题的个数是（）A1B2C3D4三、解答题（共5小题，满分74分）19（12分）如图，直三棱柱A
5、BCA1B1C1中，AB=AC=AA1=2，ABC=45（1）求直三棱柱ABCA1B1C1的体积；（2）若D是AC的中点，求异面直线BD与A1C所成的角20（14分）已知函数，若f（x）的最大值为1（1）求m的值，并求f（x）的单调递增区间；（2）在ABC中，角A、B、C的对边a、b、c，若，且，试判断三角形的形状21（14分）为保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最多不超过300吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系式可近似的表示为：y=x2200x+40000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元（1）该单
6、位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？22（16分）已知函数f（x）=2x+a2x，x（1，1），其中常数a0（1）a=1时，求f（x）的最小值（2）讨论函数的奇偶性（3）若f（x+1）f（2x）恒成立，求实数a的取值范围23（18分）设函数y=f（x）为定义在R上的奇函数，f（x+2）=f（x）当x1，0时，f（x）=f0（x）=x3（1）当x1，3时，求y=f1（x）的解析式；（2）记y=f（x），x（4k1，4k+1，kZ为y=fk（x），求y=fk（x）及其反函数y=（x）的解析式；（3）定义g（x）=2k+（
7、1）kf（x），其中x2k1，2k+1，探究方程g（x）b=0（b0）在区间2013，2013上的解的个数上海市复旦实验中学2015届高三上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1（4分）已知集合A=x|0x3，B=x|0，则AB=1x3考点：交集及其运算 专题：集合分析：先将集合B化简，然后和A求交集即可解答：解：集合B=x|（x4）（x1）0=x|1x4，集合A=x|0x3，则AB=x|1x3故答案为：=1x3点评：本题考察集合的交集运算，属于基础题目，较简单，掌握交集定义即可2（4分）函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）的最小正周期为考
8、点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数 专题：三角函数的图像与性质分析：由条件利用三角函数的恒等变换，以及y=Asin（x+）的周期等于，得出结论解答：解：函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）=sin（2x+）=cos2x，函数的最小正周期为 =，故答案为：点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，利用了y=Asin（x+）的周期等于 T=，属于基础题3（4分）已知（1+px2）5的展开式中，x6的系数为80，则p=2考点：二项式系数的性质 专题：计算题分析：利用二项展开式的通项公式，找到含x6项是第几项，通过该项的系数写出关于p的方程求出实数p的值解
9、答：解：（1+px2）5的展开式中含x6项是第4项，其系数为C53（p）3=80，解得p=2故答案为：2点评：本题考查二项展开式的特定项的问题，首先要弄清这一项是展开式的哪一项，其次通过系数建立关于字母的方程，达到求解的目的4（4分）已知集合A=1，1，B=x|ax+1=0，若BA，则实数a的所有可能取值的集合为1，0，1考点：集合的包含关系判断及应用 专题：阅读型分析：根据BA，利用分类讨论思想求解即可解答：解：当a=0时，B=，BA；当a0时，B=A，=1或=1a=1或1，综上实数a的所有可能取值的集合为1，0，1故答案是1，0，1点评：本题考查集合的包含关系及应用5（4分）在ABC中，角
10、A，B，C所对的边长分别为a，b，c若sinA：sinB：sinC=6：5：4，则最大角为arccos考点：余弦定理；正弦定理 专题：解三角形分析：已知比例式利用正弦定理化简，求出三边之比，利用余弦定理求出cosA的值，即可确定出最大角A的度数解答：解：利用正弦定理化简sinA：sinB：sinC=6：5：4，得a：b：c=6：5：4，cosA=，则A=arccos故答案为：arccos点评：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键6（4分）已知口袋里装有同样大小、同样质量的16个小球，其中8个白球、8个黑球，则从口袋中任意摸出8个球恰好是4白4黑的概率为0.381（结果精确到0.
11、001）考点：排列、组合及简单计数问题；古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：根据所有的摸法共有 种，从口袋中任意摸出8个球恰好是4白4黑的摸法共有 种，由此求得从口袋中任意摸出8个球恰好是4白4黑的概率解答：解：所有的摸法共有=12870种，从口袋中任意摸出8个球恰好是4白4黑的摸法共有=4900种，故从口袋中任意摸出8个球恰好是4白4黑的概率为 =0.381，故答案为 0.381点评：本题主要考查组合及组合数公式，古典概率及其概率的计算公式的应用，属于中档题7（4分）在平面直角坐标系xOy中，将点A（，1）绕原点O逆时针旋转90到点B，若直线OB的倾斜角为，则tan2的值为考点：
12、二倍角的正切；直线的倾斜角 专题：计算题；三角函数的求值分析：求出点B的坐标为（1，），可得直线OB的倾斜角，即可求出tan2解答：解：在平面直角坐标系xOy中，将点A（，1）绕原点O逆时针旋转90到点B的坐标为（1，），直线OB的倾斜角为，tan=，=120，tan2=tan240=故答案为：点评：本题考查直线OB的倾斜角，考查二倍角的正切，比较基础8（4分）若函数f（x）=lg（x22x+a）在1，+）上单调递增，则a的取值范围是a1考点：复合函数的单调性 专题：函数的性质及应用分析：内层函数在1，+）上单调递增，直接由内层函数在1，+）上的最小值大于0得答案解答：解：令g（x）=x22x
13、+a，f（x）=lg（x22x+a）在1，+）上单调递增，g（1）=12+a0，即a1a的取值范围是a1故答案为：a1点评：本题考查复合函数的单调性，复合的两个函数同增则增，同减则减，一增一减则减，注意对数函数的定义域是求解的前提，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题9（4分）若一个圆锥的轴截面是边长为4cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为8cm2考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 分析：利用圆锥的轴截面的面积性质及圆锥的侧面积的计算公式即可得出解答：解：如图所示：轴截面是边长为4等边三角形，OB=2，PB=4圆锥的侧面积S=24=8cm2故答案为8点评：熟练掌握圆锥的轴截面的面积性
14、质及圆锥的侧面积的计算公式是解题的关键10（4分）已知定义在（0，）上的函数y=2（sinx+1）与y=的图象相交于点P，过点P作PP1x轴于P1，直线PP1与y=tanx的图象交于点P2，则线段P1P2的长度为考点：正弦函数的定义域和值域 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：首先根据已知条件求出sinx的值，进一步利用同角三角函数的恒等变换求出tanx的值，即所求结果解答：解：已知定义在（0，）上的函数y=2（sinx+1）与y=的图象相交于点P，过点P作PP1x轴于P1，令2（sinx+1）=解得：sinx=直线PP1与y=tanx的图象交于点Pcosx=所以：tanx=即线段
15、P1P2的长度为：点评：本题考查的知识点：解三角函数的方程，同角三角函数的恒等关系式及相关的运算问题11（4分）已知函数f（x）=ax（a0且a1）满足f（2）f（3），若f1（x）是f（x）的反函数，则关于x的不等式f1（1x）1的解集是（1a，1）考点：反函数 专题：函数的性质及应用分析：由题意得到f（x）为减函数，利用指数函数的性质得到a大于0小于1，求出f（x）的反函数，将所求不等式变形后，即可求出解集解答：解：函数f（x）=ax（a0且a1）满足f（2）f（3），f（x）为减函数，即0a1，y=f1（x）=logax为减函数，所求不等式变形得：loga（1x）1=logaa，01xa
16、，解得：1ax1，则不等式的解集为x|1ax1故答案为：（1a，1）点评：此题考查了其他不等式的解法，涉及的知识有：反函数，指数、对数函数的性质，是一道基础题12（4分）设a为非零实数，偶函数f（x）=x2+a|xm|+1（xR）在区间（2，3）上存在唯一零点，则实数a的取值范围是考点：函数零点的判定定理 专题：计算题分析：根据函数是一个偶函数，利用偶函数的定义，写出关系式得到m的值是0，根据在区间（2，3）上存在唯一零点，得到f（2）f（3）0且在（2，3）上为单调函数，求出结果解答：解：f（x）=x2+a|xm|+1是偶函数，f（x）=（x）2+a|xm|+1，f（x）=x 2+a|xm|
17、+1，若f（x）=f（x），则|x+m|=|xm|2xm=2xmm=0f（x）=x2+a|x|+1，x（2，3），f（x）=x2+ax+1，若其在区间（2，3）上存在唯一零点f（2）f（3）0且在（2，3）上为单调函数（5+2a）（10+3a）0故答案为：（）点评：本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是先写出符合偶函数的定义的式子，整理出式子中的字母系数的值13（4分）设函数f（x）=x+1（Q）的定义域为b，aa，b，其中0ab若函数f（x）在区间a，b上的最大值为6，最小值为3，则f（x）在区间b，a上的最大值与最小值的和为5或9考点：函数与方程的综合运用 专题：计算题；函数的性质
18、及应用分析：令g（x）=x，定义域为b，aa，b，g（x）=x在区间a，b上的最大值为5，最小值为2，再分类讨论，即可得到结论解答：解：令g（x）=x，定义域为b，aa，b，则函数f（x）=x+1（Q）在区间a，b上的最大值为6，最小值为3，g（x）=x在区间a，b上的最大值为5，最小值为2，若g（x）=x是偶函数，则g（x）=x在区间b，a上的最大值为5，最小值为2，函数f（x）=x+1（Q）在区间b，a上的最大值为6，最小值为3，最大值与最小值的和9；若g（x）=x是奇函数，则g（x）=x在区间b，a上的最大值为2，最小值为5，函数f（x）=x+1（Q）在区间b，a上的最大值为1，最小值为
19、4，最大值与最小值的和5；f（x）在区间b，a上的最大值与最小值的和为5或9故答案为：5或9点评：本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，考查分类讨论的数学思想，正确运用幂函数的性质是关键14（4分）已知命题“若f（x）=m2x2，g（x）=mx22m，则集合”是假命题，则实数m的取值范围是（7，0）考点：复合命题的真假；命题的真假判断与应用 专题：计算题分析：由”是假命题可知（m2m）x2+2m0在上有解，构造函数，h（x）=（m2m）x2+2m，结合二次函数的图象可求m的范围解答：解：f（x）=m2x2，g（x）=mx22m，又”是假命题m2x2mx22m，即（m2m）x2+2m0在上有解令
20、h（x）=（m2m）x2+2m，或解可得7m0，即m的范围是（7，0），故答案为：（7，0）点评：本题主要考查了复合命题的真假关系的应用，解题的关键是二次函数的性质的应用二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）15（4分）下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）Ay=lgxBy=tanxCy=3xD考点：奇偶性与单调性的综合 专题：计算题；函数的性质及应用分析：对各项逐个加以判别，得A、C是非奇非偶函数，不符合题意；B项虽然是奇函数，但不是定义域上的增函数，也不符合题意因此，只有D项既是R上的奇函数又是R上的增函数，符合题意解答：解：对于A，函数y=lgx的定义域是（0，+），不
21、关于原点对称，故函数y=lgx是非奇非偶函数，故A不正确；对于B，函数y=tanx有无数个增区间，但不能说它在其定义域内是增函数，故B不正确；对于C，函数y=3x是R上的增函数，但它是非奇非偶函数，故C不正确；对于D，函数满足f（x）=f（x），是奇函数，且在R上函数是增函数，故D正确故选：D点评：本题给出几个函数，叫我们找出在其定义域上为增函数的奇函数，着重考查了基本初等函数的单调性、奇偶性等知识，属于基础题16（4分）在钝角ABC中，“sinA=”是“A=”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充
22、分必要条件的定义，从而得到结论解答：解：sinA=推不出A=，不是充分条件，A=能推出sinA=，是必要条件，故选：B点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题17（4分）已知函数f（x）=，其中a0，x（0，b，则下列判断正确的是（）A当b时，f（x）的最小值为B当0b时，f（x）的最小值为2C当0b时，f（x）的最小值为D当b0时，f（x）的最小值为2考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：利用导数研究函数的单调性极值即可得出解答：解：函数f（x）=，其中a0，x（0，b，f（x）=1=，当0b时，f（x）0，函数f（x）单调递减，当x=b时，f（x）取得最小值为故选：C点评：本题
23、考查了利用导数研究函数的单调性极值最值，属于基础题18（4分）给定方程：（）x+sinx1=0，下列命题中：（1）该方程没有小于0的实数解；（2）该方程有无数个实数解；（3）该方程在（，0）内有且只有一个实数解；（4）若x0是该方程的实数解，则x01则正确命题的个数是（）A1B2C3D4考点：命题的真假判断与应用 专题：作图题分析：问题等价于函数y=1（）x与y=sinx的图象交点的横坐标，作出函数的图象，逐个选项验证可得答案解答：解：由题意可知方程（）x+sinx1=0的解，等价于函数y=1（）x与y=sinx的图象交点的横坐标，作出它们的图象：由图象可知：（1）该方程没有小于0的实数解，错
24、误；（2）该方程有无数个实数解，正确；（3）该方程在（，0）内有且只有一个实数解，正确；（4）若x0是该方程的实数解，则x01，正确故选C点评：本题考查命题真假的判断，涉及函数图象的作法，属基础题三、解答题（共5小题，满分74分）19（12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=AA1=2，ABC=45（1）求直三棱柱ABCA1B1C1的体积；（2）若D是AC的中点，求异面直线BD与A1C所成的角考点：直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）利用三棱柱的体积计算公式即可得出；（2）利用三角形的中位线定理和异面直线所成的角的定义即可得出
25、解答：解：（1）AB=AC=2，ABC=45，BAC=90，又AA1=2，直三棱柱ABCA1B1C1的体积V=SABCAA1=22=4直三棱柱ABCA1B1C1的体积为4（2）取AA1的中点M，连接DM，BM，D是AC的中点，DMA1C，BDM是异面直线BD与A1C所成的角在BDM中，即异面直线BD与A1C所成的角为点评：熟练掌握三棱柱的体积计算公式、三角形的中位线定理和异面直线所成的角的定义是解题的关键20（14分）已知函数，若f（x）的最大值为1（1）求m的值，并求f（x）的单调递增区间；（2）在ABC中，角A、B、C的对边a、b、c，若，且，试判断三角形的形状考点：三角函数中的恒等变换应
26、用；三角形的形状判断；复合三角函数的单调性 专题：计算题分析：（1）由和差角公式可得f（x）=1=，从而可得f（x）max=2m，可求m，要求函数的单调递增区间，只要令，即可求解（2）因为，可求B，A+C，由已知结合正弦定理可可求sinA，即可求解A，从而可判断解答：解：（1）f（x）=1=（3分）f（x）max=2m，所以m=1，（4分）令，单调增区间为（6分）（2）因为，则，0B（8分）又，则，=（10分），所以，故ABC为直角三角形（12分）点评：本题主要考查了三角函数的辅助角公式、两角和与差的三角函数、正弦定理等知识的综合应用，属于三角函数的中档试题21（14分）为保护环境，某单位采用
27、新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最多不超过300吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系式可近似的表示为：y=x2200x+40000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？考点：函数模型的选择与应用 专题：应用题分析：（1）二氧化碳的每吨平均处理成本，利用月处理成本除以月处理量，即可得到，再利用基本不等式可求每吨的平均处理成本最低；（2）单位每月获利为处理二氧化碳得到可利用的化工产品价值减去月处理成本，由此
28、可建立不等式，即可求解解答：解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本，利用月处理成本除以月处理量，即（4分）因为，（6分）当且仅当，即x=200时，才能使每吨的平均处理成本最低（8分）（2）设该单位每月获利为S（元），则单位每月获利为处理二氧化碳得到可利用的化工产品价值减去月处理成本S=300xy=300x（x2200x+40000）=x2+500x400000（10分）100x400（12分）由题意可知0x300，所以当100x300时，该单位每月不亏损（14分）点评：本题考查函数模型的构建，考查学生的阅读能力，考查解不等式，同时考查基本不等式的运用，建立函数模型是关键22（16分）
29、已知函数f（x）=2x+a2x，x（1，1），其中常数a0（1）a=1时，求f（x）的最小值（2）讨论函数的奇偶性（3）若f（x+1）f（2x）恒成立，求实数a的取值范围考点：函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的判断 专题：函数的性质及应用分析：（1）把a=1代入函数解析式，利用基本不等式求最值；（2）分a=1，a=1，a1讨论函数的奇偶性；（3）由已知求得x的范围，把f（x+1）f（2x）转化为2x+1+a2x122x+a22x，换元后分离变量得答案解答：解：（1）当a=1时，f（x）=2x+2x2，当且仅当2x=2x，即x=0时f（x）取最小值2；（2）f（x）=2x+a2
30、x，f（x）=2xa2x，当a=1时，f（x）=f（x），f（x）为偶函数；当a=1时，f（x）=f（x），f（x）为奇函数；当a1时，f（x）为非奇非偶函数（3）由，得由f（x+1）f（2x）恒成立，得2x+1+a2x122x+a22x，令，有，即，1，则a2点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了函数奇偶性的判断，考查了数学转化思想方法，训练了利用分离参数法求参数的范围，是中档题23（18分）设函数y=f（x）为定义在R上的奇函数，f（x+2）=f（x）当x1，0时，f（x）=f0（x）=x3（1）当x1，3时，求y=f1（x）的解析式；（2）记y=f（x），x（4k1，4k+1，kZ为y=
31、fk（x），求y=fk（x）及其反函数y=（x）的解析式；（3）定义g（x）=2k+（1）kf（x），其中x2k1，2k+1，探究方程g（x）b=0（b0）在区间2013，2013上的解的个数考点：根的存在性及根的个数判断；函数解析式的求解及常用方法；反函数 专题：函数的性质及应用分析：（1）转化为1，0时求解，（2）根据反函数概念求解，（3）运用图象求解，分类讨论解答：解：（1）当x0，1时，x1，0，f（x）=f（x）=x3，（1x1）；（2）f（x+2）=f（x），可得f（x+4）=f（x+2）=f（x）则f（x）的周期为4；当x1，3时，x21，1，有f（x）=f（x2）=（x2）3当
32、x4k1，4k+1时，x4k1，1，有fk（x）=f（x4k）=（x4k）3x4k=，即y=f1k（x）=4k+，（1x1）（3）由f（x+2）=f（x）=f（x）可得f（x）的对称轴为x=1，所以f（x）的图象如下：接下来求解f（x）在2k1，2k+1上的解析式：当k为偶数时，2k为其周期，x2k1，1所以f（x）=f（x2k）=（x2k）3当k为奇数时，2k2为其周期，x（2k2）1，3所以f（x）=f（x2k）=（x（2k2）3=f（x2k）=（x2k）3，综上f（x）=（1）k（x2k）3，g（x）=2k+（x2k）3，x2k1，2k+1，kz所以将y=x3，向右移动2k个单位，再向上移动2k个单位即可得到g（x）的图象；显然g（x）是连续的递增函数，当0bg=2013时，方程g（x）b=0在区间2013，2013上有一解，当b2013时，方程g（x）b=0，在区间2013，2013上无点评：本题考查了函数的性质，定义，图象运用，属于中档题