1、基础诊断考点突破课堂总结第2讲 空间点、线、面之间的位置关系基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.平面的基本性质及其简单应用(证明一些空间图形的位置关系的简单命题)，A级要求；2.空间点、线、面的位置关系，A级要求基础诊断考点突破课堂总结1平面的基本性质公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的两点一条直线知 识 梳 理基础诊断考点突破课堂总结公理3：经过的三点，有且只有一个平面推论1 经过一条直线和有且只有一个平面；推论2 经过，有且只有一个平面；推论3 经过，有且只有
2、一个平面不在同一条直线上这条直线外的一点两条相交直线两条平行直线基础诊断考点突破课堂总结2空间中两直线的位置关系(1)位置关系的分类 共面直线异面直线：不同在一个平面内平行 相交任何 基础诊断考点突破课堂总结(2)异面直线所成的角定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与 b所成的叫做异面直线 a与 b 所成的角(或夹角)范围：.(3)平行公理和等角定理平行公理：平行于的两条直线互相平行等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角锐角(或直角)0，2同一条直线 相等或互补 基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结3空间直线与平面、平
3、面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有、三种情况(2)平面与平面的位置关系有、两种情况相交平行在平面内平行相交基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)梯形可以确定一个平面()(2)圆心和圆上两点可以确定一个平面()(3)已知a，b，c，d是四条直线，若ab，bc，cd，则ad.()(4)两条直线a，b没有公共点，则a与b是异面直线()基础诊断考点突破课堂总结2已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么关于c与b位置关系，下列说法正确的是_(填序号)一定是异面直线；一定是相交直线；不可能是平行直线；不可能是相交直线解析 由已知得直线c与b可能为
4、异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若bc，则ab，与已知a，b为异面直线相矛盾答案 基础诊断考点突破课堂总结3下列命题中正确的个数为_ 经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合解析 经过不共线的三点可以确定一个平面，不正确；两条平行线可以确定一个平面，正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，正确；命题中没有说明三个交点是否共线，不正确答案 2基础诊断考点突破课堂总结4(2014广东卷改编)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，给出以下结论：l1
5、l4；l1l4；l1与l4既不垂直也不平行；l1与l4的位置关系不确定其中一定正确的是_(填序号)答案 解析 l1l2l2l3l1l3l3l4l1l4或 l1与 l4相交或 l1与 l4异面故 l1 与 l4 的位置关系不确定基础诊断考点突破课堂总结5(苏教版必修2P29例1改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，A1D1的中点，则A1B与EF所成角的大小为_基础诊断考点突破课堂总结解析 如图，连接 B1D1，D1C，B1C.由题意知 EF 是A1B1D1的中位线，所以 EFB1D1，又 A1BD1C，即B1D1C(或其补角)为异面直线 A1B 与 EF 所成的角因为
6、D1B1C 为正三角形，所以B1D1C3.故 A1B 与 EF 所成角的大小为3.答案 3基础诊断考点突破课堂总结考点一 平面基本性质的应用【例1】(1)给出以下四个命题：不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面其中正确命题的个数是_(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1 的 中 点，那 么 正 方 体 的 过 P，Q，R 的 截 面 图 形 是_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)正确，假设其中有三点共线，则
7、该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线；不正确，从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；不正确，共面不具有传递性；不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在同一个平面上，如空间四边形基础诊断考点突破课堂总结(2)如图所示，作RGPQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB延长线交于M，且QP反向延长线与CD延长线交于N，连接MR交BB1于E，连接PE，则PE，RE为截面与正方体的交线，同理连接NG交DD1于F，连接QF，FG，则QF，FG为截面与正方体的交线，截面为六边形PQFGRE.答案(1)1(2)六边形基础诊断考点突破
8、课堂总结规律方法(1)公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2是证明三线共点或三点共线的依据；公理3及其推论是判断或证明点、线共面的依据要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理(2)画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置基础诊断考点突破课堂总结【训练1】如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形的序号是_基础诊断考点突破课堂总结解析 可证中的四边形PQRS为梯形；中，如图所示，取A1A和BC的中点分别为M，N，可证明PMQNRS为
9、平面图形，且PMQNRS为正六边形；中，可证四边形PQRS为平行四边形；中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P，Q，R，S四点不共面答案 基础诊断考点突破课堂总结考点二 空间两条直线的位置关系【例2】如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_基础诊断考点突破课堂总结解析 把正四面体的平面展开图还原如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DEMN.答案 基础诊断考点突破课堂总结规律方法 空间中两直线位
10、置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决基础诊断考点突破课堂总结【训练2】(2014余姚模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，给出以下结论：MN与CC1垂直；MN与AC垂直；MN与BD平行；MN与A1B1平行其中错误的结论是_(填序号)基础诊断考点突破课堂总结解析 如图，连接C1D，BD，AC，在C1DB中，MNBD，故正确；CC1平面ABCD，CC1BD，MN与CC1垂直，故正确；
11、ACBD，MNBD，MN与AC垂直，故正确；A1B1与BD异面，MNBD，MN与A1B1不可能平行，故错误答案 基础诊断考点突破课堂总结考点三 求异面直线所成的角【例3】(2014潍坊一模)已知三棱锥ABCD中，ABCD，且直线AB与CD所成的角为60，点M，N分别是BC，AD的中点，则直线AB和MN所成的角为_深度思考 求异面直线所成的角常采用“平移直线法”，你是不是用的这种方法？但还可以有一种不错的方法：补形法将该三椎锥放在长方体中，不妨试一试？基础诊断考点突破课堂总结解析 法一 如图，取 AC 的中点 P，连接 PM，PN，则 PMAB，且 PM12AB，PNCD，且 PN12CD，所以
12、MPN(或其补角)为 AB 与 CD 所成的角则MPN60或MPN120，若MPN60，因为 PMAB，所以PMN(或其补角)是 AB 与 MN 所成的角基础诊断考点突破课堂总结又因为ABCD，所以PMPN，则PMN是等边三角形，所以PMN60，即AB与MN所成的角为60.若MPN120，则易知PMN是等腰三角形所以PMN30，即AB与MN所成的角为30.综上直线AB和MN所成的角为60或30.基础诊断考点突破课堂总结法二 由ABCD，可以把该三棱锥放在长方体 AA1BB1C1CD1D中进行考虑，如图，由M，N分别是BC，AD的中点，所以MNAA1，即BAA1(或其补角)为AB与MN所成的角基
13、础诊断考点突破课堂总结连接A1B1交AB于O，所以A1B1CD，即AOA1(或其补角)为AB与CD所成的角所以AOA160或120，由矩形AA1BB1的性质可得BAA160或30.所以直线AB和MN所成的角为60或30.答案 60或30规律方法 求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移基础诊断考点突破课堂总结【训练3】若例3中的条件“AB与CD成60的角”改为“ABCD”，其余条件不变，则直线AB与MN所成的角为_即AB与MN所成的角为45.答案 45解析 取 AC 的中点 P，连接 PM，PN，
14、则 PM 綊12AB，所以MPN(或其补角)为 AB 与 CD 所成的角，由于 ABCD，所以MPN90.又 ABCD，所以 PMPN，从而PMN45，基础诊断考点突破课堂总结思想方法1主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上或选择某两点确定一条直线，然后证明其他点都在这条直线上基础诊断考点突破课堂总结2判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不
15、经过该点B的直线是异面直线(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面3求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解基础诊断考点突破课堂总结易错防范1正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”2不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件3两条异面直线所成角的范围是0，2.4两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角