1、1.5.2 汽车行驶的路程 汽车行驶的路程 内容：汽车行驶的路程应用:1.求汽车行驶的路程2.“以不变代变”和“无穷逼近”思想 本课主要学习求汽车行驶的路程过程步骤：分割、近似代替、求和、取极限。以汽车行驶的图片引入新课。通过合作交流，对求汽车行驶的路程过程的“四步曲”这一过程和“以不变代变”这一思想的理解.探寻将变速问题转化为小区间上的匀速问题，及“以不变代变”和“无穷逼近”的数学思想的运用.探索如何运用每个小区间上的任一点处的速度代替整个小区间上的速度.本课选用了一个例题和一个练习，以次来巩固求汽车行驶的路程过程步骤和“以不变代变”和“无穷逼近”的数学思想，为由求变速直线运动的路程问题探寻
2、定积分的概念做好铺垫.1.用极限逼近思想求曲边梯形面积的基本步骤是什么？分割近似代替求和取极限 2.若已知物体的运动路程s与时间t的函数关系：sf(t)，如何求物体在某时刻t0的瞬时速度？vf(t0)3.若已知物体的运动速度v与时间t的函数关系：vf(t)，那么f(t0)的含义是什么？f(t0)表示加速度 反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体的速度的问题 汽车以速度v作匀速直线运动，经过时间t所行驶的路程为多少？如果汽车作变速直线运动，那么在相同时间内所行驶的路程相等吗？svt 不相等汽车行驶的路程 已
3、知汽车作变速直线运动，在时刻t(单位：h)的速度为v(t)t22(单位：km/h)，那么它在0t1这段时间内行驶的路程s是多少？1SD2SDO v t 12g g g gg3SDjSD1nS-D1n2n3njn上图中:所有小矩形的面积之和,其极限就是由直线x=0,x=1和曲线v(t)=-t2+2所围成的曲边梯形的面积.即路程S.解：1分割 在时间区间0,1 上等间隔地插入1n 个点，将区间0,1 等分成 n 个小区间：10,n，1 2,n n，1,1nn 记第 i 个区间为1,(1,2,)iiinnn，其长度为11iitnnn 把汽车在时间段10,n，1 2,n n，1,1nn上行驶的路程分别
4、记作：1S，2S，nS 显然，1niiSS（2）近似代替 当 n 很大，即t 很小时，在区间1,iinn上，可以认为函数 22v tt 的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1in 处的函数值2112iivnn，从物理意义上看，即使汽车在时间段1,iinn(1,2,)in上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻1in 处的速度2112iivnn 作匀速直线运动 即使汽车在时间段即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积iS近似的代替iS，则有 21112iiiiSSvtnnn 2112(1,2,)iinnnn （3）求和 由得，21111112nnnniiii
5、iiSSvtnnnn =221111102nnnnnn =22231 1212nn=3121126nnnn=11111232nn 从而得到 S 的近似值 11111232nSSnn （4）取极限当趋 向 于 无 穷 大 时，即趋 向 于 0 时，趋向于，从而有 在每个小区间上，如果认为汽车近似于以右端点时刻对应的速度作匀速直线运动，那么汽车在前述各时段内行驶的路程的近似值分别为多少？211()2,nn-+?221()2,nn-+?L211()2,nnn-+?11.n汽车在0t1时段内行驶的路程如何计算？其结果是什么？3(1)(21)216nnnnnsnn-=-+5lim()3nnsskm 由直
6、线t0，t1，v0和曲线vt22围成一个曲边梯形，那么图中各小矩形的面积有什么物理意义？t y O 2 1 yt22 汽车在各时段内行驶的路程的近似值.汽车在0t1时段内行驶的路程，在数值上与这个曲边梯形的面积有什么关系？相等 思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程 S 与由直线0,1,0ttv和曲线22vt 所围成的曲边梯形的面积有什么关系？结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程limnnSS在数据上等于由直线0,1,0ttv和曲线22vt 所围成的曲边梯形的面积 一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为 vv t，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以
7、不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在 at b 内所作的位移 S 练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力 F xkx（k 为常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长 b 所作的功 所以得到弹簧从平衡位置拉长b 所作的功为：22kb 2lim2nnkbWW111222221 11 ()(1)1 (1)(1)22nniinniiniWWWibibFbkbnnnnkbkbnnkbinnn解解：将物体用常力 F 沿力的方向移动距离 x，则所作的功为WF x （1）分割 在区间0,b 上等间隔地插入1n 个点，将区间0,1 等分成 n 个小区间：0,bn，2,bbnn，1,nb bn
8、记第i 个区间为 1,(1,2,)ib i binnn，其长度为1ibi bbxnnn 把在分段 0,bn，（2）近似代替 有条件知：11iibib bWFxknnn (1,2,)in2,bbnn，1,nb bn上所作的功分别记作：1W，2W，nW（3）求和 111nnniiiib bWWknn=220 121kbnn 22211122n nkbkbnn 从而得到W 的近似值 2112nkbWWn（4）取极限 2211limlimlim122nninnnikbkbWWWn 所以得到弹簧从平衡位置拉长 b 所作的功为：22kb 1.求变速直线运动的物体在某时段内所走过的路程，可以用“以匀代变”和“极限逼近”的数学思想求解，其操作步骤仍然是：分割近似代替求和取极限.2.在平面直角坐标系中，若横轴表示时间，纵轴表示速度，那么求变速直线运动的物体在某时段内所走过的路程，可转化为求曲边梯形的面积，二者对立统一.121lim()lim()nninniSSSSfx2()2/01tv ttkm hthkm 1.如汽车做变速直线运动，在时刻 的速度为（单位：），那么它在（单位：）这段时间内行驶的路程S（单位：）是多少？11lim()nniivnn222222112lim(222)nnnnnn2222112lim(2)nnnnn2(1)(21)lim26nnnn152332.P50 A组 2