1、BC以为底边的等腰三角形()(2)0.1.OABCOBOCOBOCOAABC已知 为平面上的定点，、是平面上不共线的三点若，则的形状是()(2)1()2()21()2()(2)=2=0OBOCOBOCOACBABACCBABACMCBAMABACOBOCOBOCOACB AM设为的中点解，则有所以析：2,41,57,11,2.2.OAOBOMPOMPA PBOP已知坐标平面内，是直线上一动点，当取最小值时，2,21,527,1 252012.282,4OPtOMtttPA PBtttttttPA PBOPR设，则当时，有最小析值，所以解：15 23455233.qb已知，、的夹角为，则以，为邻
2、边的平行四边形过、起点的对角线长为 pqp qappqab222225236.|6361236(2 2)12 2 23 cos459 225|15.ABADACABADACAC 如图，设，则所以，所以解析：apqbpqabpqpqpp qq602224.ABCabcABCCA CBcabC三边长为，对应角为，已知，则 2222222222cos2cos21cos(0).23CA CBcababCcabababCaabbCCC由得，又，所以解，析:1.5 400 m20 km/h12 km/hmin5.ABB一条河宽为，一船从 出发航行垂直到达河正对岸的 处，船速为，水速为，则船到达 处所需时间
3、为1222|20|12.|201216 km/h800 m/min38004001.5 min3vvvt船速与河水流速的合速度是船的实际航行速度，如图则，根据勾股定理，得所以解析：平面向量与三角函数 (sin1)(cos2)(0)41/tan172,sin(2)841(2010南京期末卷)已知，若，求的值；若求【例的值】ababa b 11/2sincostan.217172sin cos2,881sin2(0)44152(0)cos2,4422sin(2)sin2cos24222121523024248aba b因为，所以，则因为，所以 ，因为，所以，所以【解析】本题是以平面向量的知识为平台
4、，考查了三角函数的恒等变换及相关运算，向量与三角函数的结合，既符合在知识的“交汇处”命题，又加强了对双基的考查 3,00,3(cossin)1/tan2113(0)ABCOOCABOAOCOBOC【变式已知，为原点若，求的值；练习】若，且，求与的夹角的大小 221(cossin)0,33,0(3,3)/3cos3sin0tan1.2(3cossin)(3cos)sin131cos.2OCABOCABOA OC，因为，所以【，所以因为，所以，所以解析】(0)3313sin,(,).2223 332cos.320.6COB OCOB OCOB OC又，所以 ，则所以所以、的夹角为，则又，所以 平面
5、向量在几何中的应用【例2】如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点，四边形PECF是矩形证明：(1)PAEF；(2)PAEF.122220,1()(1)(0)22222222(,1)(1).2222DDCxDPAPEFPAEF以 为坐标原点，所在的直线为 轴建立如图【证明】所示的坐标系设正方形的边长为，则，于是，-2222222211212222121,22.22222()11()22222222110 02222.PAEFPAEFPAEFPA EFPAEFPAEF 因为，所以,所以因为 ，所以，所以向量是解决图形问题的有力工具，而向量的坐标运算又是为图形问题转化为代数问题创造了条
6、件，实现了形向数的转化本题中，由于四边形ABCD是正方形，因此可以用坐标法解题用平面向量证明平面几何问题时，要根据题目的条件选择用基向量法还是用坐标法【变式练习2】已知ABC中，C为直角，CACB，D是CB的中点，E是AB上的点，且AE2EB，求证：ADCE.2222()()2 222 2203223220.33.aAD CEACCD CAAEAC CACD CAAC AECD AEaaaaaaaaADCE 设此等腰直角三角形的直角边为，则 所以，【证明】平面向量在物理中的应用【例3】如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在 水 平 杆 子 AB 上，ACW 150，BCW120，求A和B处所
7、受力的大小(忽略绳子的重量)1212122110.,.ABf fNffffCf fCFWECWCFf CEf CWf设、处所受力分别为、，的重力用 表示，则 以重力作用点 为、的始点，作平行四边形，使为对角线，则】，析【解180150301801206090.3cos30105 3,21cos6010525 3N5 N.ECWFCWFCECFWECECWCECWAB因为，所以所以平行四边形为矩形所以，所以 处受力为，处受力为利用向量的理论和方法可以有效地解决物理学中的合力、分力、运动学等许多问题，也为数学应用于实际开辟了新的途径0000001,00,1(1,2)|(21)32|32|.03PP
8、QQPQtPQPQPQt两个动点 从开着匀线运动为动点 从发匀线运动为设时时别处则当时时间变练习为1212121212eeeeeeeeee平面上有向量，今有始沿与向量 相同的方向作速直，速度大小；另一，出，沿与向量相同的方向作速直，速度大小、在刻秒【式】，分在、，多少秒？0000(1,2)(21)(21)(1,2)(13)1,00,11,1|2323 1,02 0,13,2|32|13.(1,2)1,1(12)(21)3,2(2 31 2)PQPQtPtttQttt题则时时点为点为12121212eeeeeeee依意，所以，所以在刻，位置，位置，【，解析】00(2 312)(1,2)(123)
9、(12)(1)(3)(3)02.PQttttttPQPQttt所以 ，又，所以 ，解得 2,2(2cos2si.n)1OAABOB 已知，则的取值范围是_22(22 cos)(22sin)104 2(sincos)108sin()42|3 2.OBOAABOB故【解析】2 3 2，等边三角形()20.ABCABCABACBCABC的三个内角、成等差数列，则的形状一定是 22218060.()()()|0|ABCBACABCBABACBCABACABACACABACABABC、成等差数列，则，又，所以，即，所以的形状一定是等解析：边三角形(21)0,108,0)3(.ABCPOAt ABACtP
10、R已知平面直角坐标系内有三个定点，若动点满足：OP，则点 的轨迹方程是_xy10()()(21)12,122121 0.1 12OPxyxytxttxyyt 【解设，则，所以，消去 得 析】4.已知ABC的顶点的直角坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)(1)若c5，求sinA的值；(2)若A是钝角，求c的取值范围 221(34)(34)5(24)6 161coscos,5 2 552 5sin1 cos.52253(3)(4)0.325)3ABACccACAAC ABAAAAB ACccABACAc 因为 ，当 时，所以若 为钝角，则 ，解得显然，此时和不共线故当 为钝角时，的取
11、【解析值范围，】为 125.60.()()12,3(2,1);21xOyxOyPOPxyeexyPxyMNOMMNOxOy如图所示，在平面斜坐标系中，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若其中，是分别与 轴、轴同方向的单位向量，则点的坐标为，若，求与求以 为圆心，为半径的圆在斜坐标系中的方程12ee 2222122212,323(23)412913 12cos601919.22(23)42(42)20 162MOMOMOMONMN ONOMMN为121212121212121212eeeeeeeeeeeeeeeeeeee因，所以，所以 ，所以又，所以【解析，故】82 7.MN，所以
12、 2222222222().()211 0.10.P xyOPxyOPOPxyxyxyxyxyxyxy 设圆点标为则为圆为121212eeeeee上任意一的斜坐，因，所以 ，即 故所求的方程 12211212 11()(?0)(0)20(0)a balb llx yx yaba bx xy yR向量在几何中的应用证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行 共线 的充要条件：，且或 证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的充要条件：或 3,|4夹问题夹线长证线线运a ba bab 求角，往往利用向量的角公式求段的度或明段相等，可以用向量的模，向量的性算2向量在物理中的应用向量有着丰富的物理背景，如物理中的重力、浮力、弹力、速度、加速度等都是既有大小又有方向的量力的做功是向量数量积的物理背景向量的加法运算、平面向量的正交分解、平面向量的数量积等与相应的物理问题建立联系；向量加法的三角形法则和平行四边形法则与位移的合成、力的合成、速度的合成相联系向量在解决相关物理问题中有重要作用注意两个方面的问题，一方面是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象