1、第二章 推理与证明 2.2.1 综合法与分析法 1、了解综合法的思考过程、特点,会用综合法证明题目.2、了解分析法的分析思路,会用分析法证明题目.3、能用分析法分析证题思路,用综合法书写证明过程.应用:1、证明不等式 2、证明等式 内容：本课主要学习综合法与分析法。通过两个引例出发,引入综合法与分析法,通过对比掌握它们证题的特点,并总结出它们之间的区别与联系,为在实际问题中分析问题寻找解题方法做好铺垫.重点:会用综合法和分析法证明问题;了解综合法与分析法的思考过程.难点:根据问题的特点,结合综合法与分析法的思考过程、特点,选择适当的证明方法.本课选用了两个例题。例题设置难易适度,每个例题后有针
2、对性的练习,便于学生巩固和掌握,且第一个例题与变式训练分别用分析法和综合法来证明,让学生真正体会两种方法的优点与作用，另外,第二个例题可以用综合法，也可以用分析法,从而锻炼学生灵活应用方法解决问题的能力.采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解综合法与分析法的应用。通过观看视频，大家一起讨论一下我们应该如何测的恒星之间的距离呢？如何测的恒星之间的距离复习推 理 合情推理（或然性推理）演绎推理（必然性推理）归纳(特殊到一般）类比（特殊到特殊）三段论（一般到特殊）合情推理是发现的方法，演绎推理是数学中严格证明的工具.怎样用演绎推理来证明呢？这是要讲究方法的.今天,我们就来认识一些基本的证明方法 合情
3、推理得到的结论是不可靠的，需要证明.数学中证明的方法有哪些呢？间接证明（反证法）分析法综合法直接证明证明的方法引例一:证明不等式:222()xx xR222 2(1)1 10 xxx 222xx证法1:由2(1)0 x2(1)1 10 x 2220 xx222xx证法2:由证法2是从已经成立的事实出发,经过正确推理,得到要证的结论.-综合法引例二:求证372 5分析:从待证不等式不易发现证明的出发点,因此我们直接从待证不等式出发,分析其成立的充分条件.证明:要证明 372 5,只需证22(37)(2 5),即证102 2120,即证 2 2110,即证215,即证 2125,因为 2125显然
4、成立,所以原不等式成立.在本例中,由于我们很难想到从“210,b0)的证明.a+bab2证明:因为;所以 所以 所以 成立()b20a20a+bab 2a+baba+bab2证明:要证 只需证 只需证 只需证 因为 成立 所以 成立 a+bab2 2a+bab20a+bab()b20a()b20aa+bab2还原成综合法：证明:因为;所以 当且仅当a=b时取等号 所以 所以 成立 证明:要证 只需证 只需证 而 当且仅当 成立 所以 成立 综合法：ababbaa ab bb aa b0a ab bb aa b2()()()()0aabbababab=a bababba0,0ab22abbaab
5、ba，10,0,abababba例、已知求证：22abbaabbaababba3322,a bababa bab设是两个正实数，且，求证：证明：方法一（分析法）证明:要证 只需证 只需证 只需证 即只需证 而由已知条件可知 显然成立，所以命题得证.3322+aba bab22(+)()()a b aabbab ab22aabbab2220aabb2()0abab2()0ab方法二（综合法）证明:即 即 由条件可知 即 ，所以命题得证.22aabbab2220aabbab2()0ab0ab22(+)()()a b aabbab ab3322aba bab例2：在中，三个内角、对应的边分别为a、b
6、、c，且、成等差数列，a、b、c成等比数列，求证为等边三角形 证明：CA2BCB成等差数列、A3BCBAacbcba2成等比数列、accaBaccab22222cos2由余弦定理得0)(222caacacca即ca 是等边三角形ABC解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言。还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来)sin)(cossin(cossincos:222244左边证明右边2cossincos22等式成立2cossincos44，求证：对任意锐角1.知识与技能:(1)综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系
7、列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.(2)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）.(3)综合法与分析法的区别：综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件.2.思想与方法:顺推与逆推的思想.必做题：1.要 证 明 不 等 式672 25成 立，只 需 证明：.2.已知22222aa与 2 2 的大小关系是 .3.已知,a b 是不相等的正数，2abxyab，则xy，的大小关系是_ 4.已 知,a b c 是 不
8、全 相 等 的 正 数，求 证：abcbacacbcba6)()()(222222.22(67)(2 25)22222 22aaxy必做题：4.证明：222,0bcbc a,22()2a bcabc,同理22()2b caabc,22()2c ababc,因 为,a b c 不 全 相 等，所 以222bcbc,222caac,222abab三式不能全取等号，从而、三式也不能全取等号,abcbacacbcba6)()()(222222 选做题：1.用分析法证明：若0a ，则221122aaaa.2.已知函数1yx，222yxxt，11()2tyxx(0)x 的最小值恰好是方程 320 xaxb
9、xc的 三 个 根，其 中 01t 求 证：223ab；选做题答案：1.证明：要证221122.aaaa，只需证221122.aaaa 由0a，所以两边均大于零，因此只需证222211(2)(2)aaaa 只需证222222111144222 2()aaaaaaaa，只需证22121()2aaaa，只需证2222111(2)2aaaa，即证2212aa，它显然成立 原不等式成立 2.证明:三个函数的最小值依次为1，1t，1t，由(1)0f，得1cab 3232()(1)f xxaxbxcxaxbxab 2(1)(1)(1)xxaxab，故方程2(1)(1)0 xaxab 的两根是 1t，1t 故 11(1)tta ，111ttab 由 22(11)(1)tta，可得 222(1)(1)aba.223ab.