1、专题能力训练12空间中的平行与垂直(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.给出下列四个命题:分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线;如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;垂直于同一直线的两条直线相互平行;如果两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中为真命题的是() A.B.C.D.2.(2017浙江吴越联盟第二次联考)已知直线a,b以及平面,则下列命题正确的是()A.若a,b,则abB.若a,b,则abC.若ab,b,则aD.若a,b,则3.如图所示,在四边形ABCD中,ADBC,
2、AD=AB,BCD=45,BAD=90,将ABD沿BD折起,使得平面ABD平面BCD,构成四面体A-BCD,则在该四面体中,下列说法正确的是()A.平面ABD平面ABCB.平面ACD平面BCDC.平面ABC平面BCDD.平面ACD平面ABC4.将正方形ABCD沿对角线AC折成120的二面角,则折后的直线BD与平面ABC所成角的正弦值为()ABCD5.平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()ABCD6.在四面体ABCD中,AB=CD,AC=BD,AD=BC,以下判断错误的是()A.该四面体的三组对棱的中点
3、连线两两垂直B.该四面体的外接球球心和内切球球心重合C.该四面体的各面是全等的锐角三角形D.该四面体中任意三个面两两所成二面角的正弦值之和为17.如图,在四边形ABCD中,AB=BD=DA=2,BC=CD=现将ABD沿BD折起,当二面角A-BD-C处于过程中,直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是()ABCD8.(2017浙江绍兴一模)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AB的中点为P,若光线从点P出发,依次经三个侧面BCC1B1,DCC1D1,ADD1A1反射后,落到侧面ABB1A1(不包括边界)上,则入射光线PQ与侧面BCC1B1所成角的正切值的范围是()ABCD二、填空题(本
4、大题共6小题,每小题5分,共30分)9.设l是直线,是两个不同的平面,则下列说法正确的是.若l,l,则;若l,l,则;若,l,则l;若,l,则l.10.如图,AB为圆O的直径,点C在圆周上(异于点A,B),直线PA垂直于圆O所在的平面,点M为线段PB的中点.有以下四个命题:PA平面MOB;MO平面PAC;OC平面PAC;平面PAC平面PBC.其中正确的命题是(填上所有正确命题的序号).11.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)12.(2017浙江“超级全能生”3月联考
5、)在矩形ABCD中,AB=,BC=1,将ABC与ADC沿AC所在的直线进行随意翻折,在翻折过程中直线AD与直线BC所成的角的范围(包含初始状态)为.ABCD13.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A=2,底面是边长为1的正方形,E,F,G分别是棱BB1,AA1,AD的中点,则平面A1DE与平面BGF的位置关系是(填“平行”或“相交”).14.如图,矩形ABCD的边AB=a,BC=2,PA平面ABCD,PA=2,现有数据:a=;a=1;a=;a=4,当BC边上存在点Q,使PQQD时,可以取(填正确的序号).三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或
6、演算步骤)15.(本小题满分15分)如图,在四棱锥E-ABCD中,平面CDE平面ABCD,DAB=ABC=90,AB=BC=1,AD=ED=3,EC=2.(1)证明AB平面BCE;(2)求直线AE与平面CDE所成角的正弦值.16.(本小题满分15分)如图,AB=BE=BC=2AD=2,且ABBE,DAB=60,ADBC,BEAD,(1)求证:平面ADE平面BDE;(2)求直线AD与平面DCE所成角的正弦值.参考答案专题能力训练12空间中的平行与垂直1.D解析 分别与两条异面直线都相交的两条直线,可能相交也可能异面,故A错误;根据面面垂直的判定定理,可知当一个平面经过另一个平面的垂线时,这两个平
7、面一定相互垂直,故B正确;垂直于同一直线的两条直线可能平行也可能相交还可能异面,故C错误;由面面垂直的性质定理,可知当两个平面垂直时,一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直,故D正确.故选D.2.B解析 对于A,若a,b,则ab或a,b相交、异面,不正确;对于B,若a,则经过a的平面与交于c,ac,b,bc,ac,ab,正确;对于C,若ab,b,则a或a,不正确;对于D,若a,b,则,的位置关系不确定,不正确.故选B.3.D解析 因为AD=AB,BAD=90,则DBC=45DBDC,又平面ABD平面BCD,所以DC平面ABDCDAB,结合ABAD,ADCD=D可得AB平面ACD
8、,故平面ACD平面ABC,应选D.4.A解析 设AC的中点为E,由正方形的性质可知,BEAC,DEAC,折起后仍有BEAC,DEAC成立,所以DEB是二面角的平面角,即DEB=120,可得DBE=30,在平面DEB内作DOBE于点O,根据AC平面DEB可得DOAC,从而可得DO平面ABC,DBE是直线DB与平面ABC所成的角,因为DBE=30,所以直线DB与平面ABC所成的角的正弦值为.故选A.5.A解析 平面CB1D1,平面ABCD平面A1B1C1D1,平面ABCD=m,平面CB1D1平面A1B1C1D1=B1D1,mB1D1.平面CB1D1,平面ABB1A1平面DCC1D1,平面ABB1A
9、1=n,平面CB1D1平面DCC1D1=CD1,nCD1.B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即B1D1C等于m,n所成的角.B1D1C为正三角形,B1D1C=60,m,n所成的角的正弦值为.6.D解析 如图,把该四面体ABCD补成一个长方体,四面体ABCD的棱是长方体面上的对角线,由长方体的性质知A,B, C都正确,只有D错误.故选D.7.D解析 如图所示,取BD中点E,连接AE,CE,则AEC即为二面角A-BD-C的平面角,AC2=AE2+CE2-2AECEcosAEC=4-2cosAEC,AEC,AC1,=2cos=()=-2+ABBC=1-,设异面直线AB,CD所成的角为,0c
10、os .故选D.8.C解析 根据线面角的定义,当入射光线在面BCC1B1的入射点离点B距离越近,入射光线PQ与侧面BCC1B1所成角的正切值越大,如图所示,此时tanPHB=,结合选项,可得入射光线PQ与侧面BCC1B1所成角的正切值的范围是.故选C.9.解析 中,或与相交,不正确.中,过直线l作平面,设=l,则ll,由l,知l,从而,正确.中,l或l,C不正确.中,l与的位置关系不确定.故填.10.解析 错误,PA平面MOB;正确;错误,若OC平面PAC,有OCAC,这与BCAC矛盾;正确,因为BC平面PAC.11.DMPC(或BMPC等)解析 由定理可知,BDPC.当DMPC(或BMPC)
11、时,有PC平面MBD.又PC平面PCD,平面MBD平面PCD.12.解析 初始状态直线AD与直线BC成的角为0,翻折过程中当BCBD时,直线AD与直线BC成的角为直角,因此直线AD与直线BC所成的角的范围为.13.平行解析 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱BB1,AA1,AD的中点,所以FGA1D.所以FG平面A1DE.同理FB平面A1DE,又FGFB=F,所以平面BGF平面A1DE.14.解析 如图,连接AQ,因为PA平面ABCD,所以PADQ.又PQQD,所以AQQD.故RtABQRtQCD.令BQ=x,则有,整理得x2-2x+a2=0.由题意可知方程x2-2x+
12、a2=0有正实根,所以0a1.15.(1)证明 DAB=ABC=90,四边形ABCD是直角梯形.AB=BC=1,AD=ED=3,EC=2,CD=,CE2+DC2=DE2,ECCD,平面EDC平面ABCD,平面EDC平面ABCD=DC,CE平面ABCD,CEAB,又ABBC,BCCE=C,AB平面BCE.(2)解 过点A作AHDC,交DC于点H,则AH平面DCE,连接EH,则AEH是直线AE与平面DCE所成角的平面角,DCAH=AB-ABBC,AH=,AE=,sinAEH=,直线AE与平面CDE所成角的正弦值为.16.解 (1)AB=2AD,DAB=60,ADDB,又BEAD,且BDBE=B,AD平面BDE,又AD平面ADE,平面ADE平面BDE.(2)BEAD,ABBE,BE平面ABCD,点E到平面ABCD的距离就是线段BE的长为2.设AD与平面DCE所成角为,点A到平面DCE的距离为d,由VA-DCE=VE-ADC,得dSCDE=|BE|SACD,解得d=,而AD=1,则sin =.故直线AD与平面DCE所成角的正弦值为.