1、专题能力训练18概率与概率分布(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.(2017浙江金华十校期末)有各不相同的5个红球、3个黄球、2个白球,事件A:从红球和黄球中各选1个球,事件B:从所有球中选取2个球,则事件A发生是事件B发生的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不输的概率为()ABCD3.同时掷两个骰子,则向上的点数之差的绝对值为4的概率是()ABCD4.中秋节放假,甲回老家过节的概率为,乙、丙回老家过节的概率分别为假定三人的行动相互之间没有
2、影响,那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为()ABCD5.在高三的一个班中,有的学生数学成绩优秀,若从班中随机找出5名学生,那么数学成绩优秀的学生数B,则P(=k)取最大值的k值为()A.0B.1C.2D.36.随机变量X的取值为0,1,2,若P(X=0)=,E(X)=1,则D(X)=()ABCD7.随机变量X的分布列如下表,且E(X)=2,则D(2X-3)=()X02aPpA.2B.3C.4D.58.(2017浙江绍兴一模)已知p0,q0,随机变量的分布列如下:pqPqp若E()=,则p2+q2=()ABCD.1二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.围棋盒子中有多粒黑子和
3、白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为,都是白子的概率是,则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是.10.集合A=2,3,B=1,2,3,从A,B中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是.11.盒中有大小相同的5个白球和3个黑球,从中随机摸出3个小球,记摸到黑球的个数为X,则P(X=2)=,E(X)=.12.某人喜欢玩有三个关卡的通关游戏,根据他的游戏经验,每次开启一个新的游戏,这三个关卡他能够通关的概率分别为(这个游戏的游戏规则是:如果玩者没有通过上一个关卡,他照样可以玩下一个关卡,但玩该游戏的得分会有影响),则此人在开启一个这种新的游戏时,他能够通过两个关卡的概率为,设X表示他能够通过此
4、游戏的关卡的个数,则随机变量X的数学期望为.13.设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.30.3若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则E(Y)=,D(Y)=.14.已知离散型随机变量X的分布列为X012Pa则变量X的数学期望E(X)=,方差D(X)=.三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)2017年3月,智能共享单车项目正式登陆某市,两种车型(“小绿车”“小黄车”)采用分时段计费的方式,“小绿车”每30分钟收费0.5元(不足30分钟的部分按30分钟计算);“小黄车”每30分钟收费1元(不足30分钟
5、的部分按30分钟计算).有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行(各租一车一次).设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为,三人租车时间都不会超过60分钟.甲、乙均租用“小绿车”,丙租用“小黄车”.(1)求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率;(2)设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量,求的分布列和数学期望.16.(本小题满分15分)从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中,每摸出2个球为一次试验,直到摸出的球中有红球(不放回),则试验结束.(1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率;(2)记试验次数为X,求X的分布列及数学期望E(X).参考答案专题能力训练18概率
6、与概率分布1.A解析 事件A:从红球和黄球中各选1球,能推出事件B:从所有球中选取2球,是充分条件;事件B:从所有球中选取2球,推不出事件A:从红球和黄球中各选1球,不是必要条件.故选A.2.A解析 令A=“甲、乙下成和棋”,B=“甲获胜”,C=“甲输”,则=“甲不输”.P(A)=,P(B)=,P(C)=1-.P()=1-.故甲不输的概率为.3.C解析 同时抛掷两个骰子,向上的点数共有36个结果,其中点数之差的绝对值为4的结果有(1,5),(5,1),(2,6),(6,2),共4个,所求概率为,故选C.4.B解析 “甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C
7、)=,所以P()=,P()=,P()=,由题意知,A,B,C相互独立.所以三人都不回老家过节的概率为P()=P()P()P()=.故至少有一人回老家过节的概率为P=1-.5.B解析 由解得k,因为k为自然数,所以k的最大值为1.故选B.6.B解析 设P(X=1)=p,P(X=2)=q,E(X)=0+p+2q=1,又+p+q=1,由得p=,q=,D(X)=(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2=.故选B.7.C解析 p=1-,E(X)=0+2+a=2a=3,D(X)=(0-2)2+(2-2)2+(3-2)2=1,D(2X-3)=22D(X)=4.8.C解析 p0,q0,E()=,由随机变量的分
8、布列的性质得p2+q2=(q+p)2-2pq=1-.故选C.9.解析 由题意知,所求概率P=.10.解析 从A,B中各取一个数,有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6种情况,其中和为4的有两种情况(2,2),(3,1),故所求事件的概率P=.11.解析 P(X=2)=,由P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=3)=,的分布列为0123pE(X)=.12.解析 随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.又P(X=2)=,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=3)=.所以,随机变量X的分布列为X0123P所以随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2+3.
9、13.5.88.96解析 E(X)=0+10.1+20.1+30.3+40.3=2.4,D(X)=2.24.E(Y)=2E(X)+1=5.8;D(Y)=22D(X)=8.96.14.1解析 a+=1,解得a=,所以期望E(X)=0+1+2=1,D(X)=(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2.15.解 (1)由题意得,甲、乙、丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为.记甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件A,则P(A)=.答:甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为.(2)可能取值有2,2.5,3,3.5,4;P(=2)=;P(=2.5)=;P(=3)=;P(=3.5)=;P(=4)=.甲、乙、丙三人所付的租车费用之和的分布列为22.533.54P所以E()=2+2.5+3+3. 5+4.16.解 (1)记“第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球”为事件A,则P(A)=.(2)由题知X的可能取值为1,2,3,4,则P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.所以X的分布列为X1234P所以E(X)=1+2+3+4.