1、2020-2021学年上海市复旦附中高二（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1不等式1的解集为 2设集合Ay|y3x，xR，Bx|y，xR，则AB 3若，则 4若复数z满足，其中i为虚数单位，则z 5设函数f（x） 若函数g（x）f（x）k存在两个零点，则实数k的取值范围是 6已知某圆锥的体积是12，底面半径等于3，则该圆锥的侧面积为7x（x2）5展开式中的x4项的系数为 85名志愿者进入3个不同的场馆参加工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为 9若数列an的通项公式，则 10已知数列an的前n项和，若不等式2n2n3（5）an对任意nN*恒成立，则的取值范围为 11已知不等式在x0
2、，1上恒成立，则实数a的取值范围为 12若关于x的不等式的解集为R，且存在实数x0，使得，则a的取值集合为 二、选择题13下列命题中，错误的是（）A一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B平行于同一平面的两个不同平面平行C如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D若直线l不平行平面，则在平面内不存在与l平行的直线14某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积（单位：cm）为（）A32B36C40D4815已知双曲线C：1（a0，b0），方向向量为（1，1）的直线与C交于两点A、B，若线段AB的中点为（4，1），则双曲线C的渐近线方程是（）A2xy
3、0Bx2y0Cxy0Dxy016已知数列an的通项公式为，a5是数列an的最小项，则实数a的取值范围是（）A40，25B40，0C25，25D25，0三、解答题17在ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（）求角B的大小；（）求cos2sincos的取值范围18在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入G（x）（万元）与年产量x（万台）满足如下关系式：（1）写出年利润W（x）（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式；（利润
4、销售收入成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润19在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD相交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60（1）求四棱锥PABCD的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）20已知函数f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）f（ax）b恒成立，则称f（x）为“J函数”（1）判断函数f1（x）x，是否是“J函数”；（2）若g（x）tanx是一个“J函数”，求出所有满足条件的有序实数对（a，b）；（3）若定义域为R的函数f（
5、x）是“J函数”，且存在满足条件的有实数对（0，1）和（1，4），当x0，1时，f（x）的值域为1，2，求当x2020，2020时，函数f（x）的值域21已知正项数列an的前n项和为Sn，且（1）求数列an的通项公式；（2）若，数列bn的前n项和为Tn，求Tn的取值范围；（3）若（nN*），从数列cn中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列参考答案一、填空题1不等式1的解集为 （，）（6，+）解：不等式1，即 0，即 （x6）（2x3）0，求得x或 x6，故答案为：（，）（6，+）2设集合Ay|y3x，
6、xR，Bx|y，xR，则AB解：因为集合Ay|y3x，xRy|y0，Bx|y，xRx|，所以AB故答案为：3若，则解：，sinx3cosx，tanx3，sinxcosx故答案为：4若复数z满足，其中i为虚数单位，则z1+2i解：设za+bi（a，bR），则abi，代入得2（a+bi）+abi3+2i，即3a+bi3+2i，a1且b2z1+2i故答案为：1+2i5设函数f（x） 若函数g（x）f（x）k存在两个零点，则实数k的取值范围是（0，1解：由 g（x）f（x）k0，得f（x）k令yk与yf（x），作出函数yk与yf（x）的图象如图：当x0时，0f（x）1，当x0时，f（x）R，要使函数g
7、（x）f（x）k存在两个零点，则k（0，1故答案为：（0，16已知某圆锥的体积是12，底面半径等于3，则该圆锥的侧面积为 15解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，则，解得h4，所以，故圆锥的侧面积为15故答案为：157x（x2）5展开式中的x4项的系数为40解：（x2）5展开式中的通项公式为 Tr+1（2）rx5r，x（x2）5展开式中的通项公式为 Tr+1x（2）rx5r（2）rx6r，令6r4，求得r2，x4项的系数为（2）240，故答案为：4085名志愿者进入3个不同的场馆参加工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为 解：5名志愿者进入3个不同的场馆的方法数为35243种，每个场
8、馆至少有一名志愿者的情况可分两类考虑：第一类，一个场馆去3人，剩下两场馆各去1人，此类的方法数为310260种；第2类，1个场馆去1人，剩下两场馆各2人，此类的方法数为90种，所以每个场馆至少有一名志愿者的概率为P故答案为：9若数列an的通项公式，则解：数列an的通项公式，可得Sn2+4+6+（1），6+（1）6+故答案为：10已知数列an的前n项和，若不等式2n2n3（5）an对任意nN*恒成立，则的取值范围为 （，）解：当n1时，有，得a14，当n2时，两式相减得，即，又，数列是以2为首项，1为公差的等差数列，则，不等式2n2n3（5）an等价于5，记，n2时，当n3时，1，则，5，即5，
9、的取值范围是：（，）故答案为：（，）11已知不等式在x0，1上恒成立，则实数a的取值范围为 a0且a1解：当0x1时，0，|a|0恒成立，此时aR；当x0或1时，0，|a|0恒成立，只需a0，可得a0且a1综上可得，a的取值范围是a0且a1故答案为：a0且a112若关于x的不等式的解集为R，且存在实数x0，使得，则a的取值集合为 解：由题意可得，f（x）|x+1|+|ax+1|的最小值为，f（x）的图像是一条折线，f（x）的最小值在折点处，即满足x+10或 ax+10，函数f（x）才可能取到最小值，当a0时，f（x）|x+1|+11，当x1时，f（x）的最小值为1，故a0，当x1时，则|a+1
10、|，解得a或，f（x） 或，f（x）的最小值为，当x时，则，解得a2或，或，a2，综上所述，a的取值集合为故答案为：二、选择题13下列命题中，错误的是（）A一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B平行于同一平面的两个不同平面平行C如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D若直线l不平行平面，则在平面内不存在与l平行的直线解：由直线与平面相交的性质，知一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交，故A正确；由平面平行的判定定理知，平行于同一平面的两个不同平面平行，故B正确；由直线与平面垂直的判定定理，知如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于
11、平面，故C正确；若直线l不平行平面，则当l时，在平面内存在与l平行的直线，故D不正确故选：D14某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积（单位：cm）为（）A32B36C40D48解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA底面ABC则BCPC该几何体的表面积S故选：A15已知双曲线C：1（a0，b0），方向向量为（1，1）的直线与C交于两点A、B，若线段AB的中点为（4，1），则双曲线C的渐近线方程是（）A2xy0Bx2y0Cxy0Dxy0解：设方向向量为（1，1）的直线方程为yx+m，联立，消去y，得：（b2a2）x22a2mxa2m2a2b20
12、，设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为（4，1），x1+x28，y1+y28+2m2，解得m3，a2b，双曲线C的渐近线方程为yx，即x2y0故选：B16已知数列an的通项公式为，a5是数列an的最小项，则实数a的取值范围是（）A40，25B40，0C25，25D25，0解：由条件有对任意的nN*，由ana5恒成立，即，整理得当n4时，不等式化简为a5n（n6）恒成立，所以a25；当n6时，不等式化简为a5n（n6）恒成立，所以a0；综上：25a0故选：D三、解答题17在ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（）求角B的大小；（）求cos2sincos的取值范
13、围解：（1）由得即2sinAcosBsin（B+C），即2sinAcosBsinA，又A为三角形内角，sinA0，所以cosB，从而B；（2）cos2sincos，+，所以 cos2sincos的取值范围为（）18在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入G（x）（万元）与年产量x（万台）满足如下关系式：（1）写出年利润W（x）（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式；（利润销售收入成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大
14、？并求最大利润解：（1）（2）当0x20时，W（x）2x2+100x502（x25）2+1200，W（x）maxW（20）1150，当x20时，当且仅当，即x29时等号成立，W（x）W（29）1360，13601150，当年产量为29万台时，该公司获得的利润最大为1360万元19在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD相交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60（1）求四棱锥PABCD的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）解：（1）在四棱锥PABCD中，由PO平面ABCD，得PBO是PB与平面
15、ABCD所成的角，PBO60在RtAOB中BOABsin301，由POBO，于是，POBOtan60，而底面菱形的面积为2四棱锥PABCD的体积V22（2）解法一：以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系在RtAOB中OA，于是，点A、B、D、P的坐标分别是A（0，0），B（1，0，0），D（1，0，0），P（0，0，）E是PB的中点，则E（，0，）于是（，0，），（0，）设与的夹角为，有cos，arccos，异面直线DE与PA所成角的大小是arccos；解法二：取AB的中点F，连接EF、DF由E是PB的中点，得EFPA，FED是异面直线DE与PA所
16、成角（或它的补角），在RtAOB中AOABcos30OP，于是，在等腰RtPOA中，PA，则EF在正ABD和正PBD中，DEDF，cosFED异面直线DE与PA所成角的大小是arccos20已知函数f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）f（ax）b恒成立，则称f（x）为“J函数”（1）判断函数f1（x）x，是否是“J函数”；（2）若g（x）tanx是一个“J函数”，求出所有满足条件的有序实数对（a，b）；（3）若定义域为R的函数f（x）是“J函数”，且存在满足条件的有实数对（0，1）和（1，4），当x0，1时，f（x）的值域为1，2，求当x2020，2020时，函数f（x）
17、的值域解：（1）函数f1（x）x，因为（ax）（a+x）a2x2b不可能恒成立，故f1（x）不是“J函数”；函数，因为2ax2a+x22ab恒成立，故f2（x）是“J函数”；（2）因为g（x）tanx是一个“J函数”，所以g（a+x）g（ax）恒成立，则tana1，解得，又b1，故所有的有序实数对为；（3）由题意，f（x）f（x）1，f（1+x）f（1x）4，故f（x+1），当x0，1时，f（x）的值域为1，2，故x1，0时，f（x）的值域为，1，所以x1，1时，f（x）的值域为，2，故x1，3时，f（x）的值域为2，8，x3，5时，f（x）的值域为23，25，x3，1时，f（x）的值域为23
18、，21，x5，3时，f（x）的值域为25，23，以此类推，可得当x2020，2020时，函数f（x）的值域为22020，2202021已知正项数列an的前n项和为Sn，且（1）求数列an的通项公式；（2）若，数列bn的前n项和为Tn，求Tn的取值范围；（3）若（nN*），从数列cn中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列解：（1）当n1时，由得，得a11，当n2时，由得，两式相减得，即（an+an1）（anan12）0，数列an各项均为正数，anan12，数列an是以1为首项，2为公差的等差数列，数列a
19、n的通项公式为an2n1；（2）由（1）知，令，则，f（n）是单调递增函数，数列Tn递增，又，Tn的取值范围为；（3），设奇数项取了s项，偶数项取了k项，其中s，kN+，s2，k2，因为数列cn的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相等的项必定一个是奇数，一个是偶数，假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数，设抽出的三个偶数从小到大依次为2i，2j，2p（1ijp），则为奇数，而i1，j2，则2j1为偶数，2i1为奇数，所以i1，又为奇数，而j2，p3，则2j1，2p1均为偶数，矛盾，又k2，k2，即偶数项只有两项，则奇数项最多有3项，即s+k的最大值为5，设此等差数列为d1，d2，d3，d4，d5，则d1，d3，d5为奇数，d2，d4为偶数，且d22，由d1+d32d24得d11，d33，此数列为1，2，3，4，5同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，1综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为1，2，3，4，5或5，4，3，2，1
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