1、2.5第一课时 等比数列的前项和公式一、课前准备1.课时目标搞清等比数列前项和的公式的推导过程，记住等比数列求和公式是由两种情况，在不能确定等比数列的公比时，要进行讨论，应用等比数列求和公式时，注意确定首项，公比与项数.特别注意的是不能确定公比是否为1的情况，要对公比进行讨论.等比数列求和公式的推导是数列求和的一种方略.2.基础预探（1）等比数列的前项和公式有两种即和.（2）等比数列前项和公式的推导过程就是数列求和的一种方法即.（3）等比数列的前项和公式可以看作一个常数列与一个的差。（4）当等比数列的公比时，前项和公式有两种，当已知时，则用公式较好，当已知时，应用公式较好.二、基础知识习题化1
2、.设等比数列的前项和为，若，则下列式子中，数值不能确定的是（）2. 设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为.3. 已知正项数列为等比数列且是与的等差中项，若，则该数列的前5项的和为（）A. B.31 C. D.以上都不正确4.设等比数列的公比为=2，前项和为，则A.2 B.4 C. D. .三、学法指导等比数列的求和公式的推导过程是数列求和的一种方法叫做错位相减法，注意掌握解题的指导思想遇到等差与等比数列积求和一般采用上述的解法.对于等比数列求和注意要进行讨论，在没有确定等比数列的公比时，注意分两种情况即当时，当时，分别求解.等比数列求和公式涉及到五个量，已知其中的三个量就可以求
3、出另外的两个量，注意灵活应用公式求解，对于等比数列的前和可以变形为的形式，一般满足上述结果的是等比数列.四、典例导析变式练习题型1 等比数列求和公式例 1 求下列等比数列的前8项的和：（1）（2）.思路导析：本题目是让学生熟悉公式，第（1）小题是对等比数列的前项的和公式的直接应用；第（2）小题已知，还缺少一个已知条件，由题意显然可以通过解方程求得公比.题目中要求，一方面是为了简化计算，另一方面是想提醒学生既可为正数，又可为负数.本题中，由条件可得，再由可得.将所得的值代入公式就可以了.解：（1）当时，.（2）由，可得，又由，可得，于是当时，.规律总结：通过本题让学生熟悉方程思想，再次让学生明确
4、，等比数列的通项公式与前项的和公式中共5个量：5个量中已知任意三个就可以求出其余的两个，其中为最基本得两个量.同时提醒学生注意，由于等比数列涉及到指数问题，有时解题计算会很繁琐，要注意计算化简中的技巧，灵活运用性质.变式训练1.设等比数列的前项和为，若，求数列的公比.题型2 错位相减求和2.求数列的前项和.思路导析：观察数列的特点，其形式是型数列，且是等差数列，是等比数列.根据等比数列求和公式的推导方法，可采用错位相减进行求和.解：当时，数列变为，则.当时，有， ， -，得，.又，.规律总结：通过本例，在解题时要善于识别题目类型，善于分类讨论.在应用错位相减时，写出的“”与“”的表达式应特别注
5、意将两式“同相对齐”，以便于下一步准确写出“”的表达式.，注意对进行讨论.变式训练2.求数列的前项和.题型3 等比数列中奇数项与偶数项问题例3 设等比数列的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第三项与第四项和的9倍，问数列的前多少项和最大？.思路导析：利用等比数列的前项的和，求出首项与公比，再求最值解：设公比为，项数为，依题意有，化简，得，解得设数列的前项和为，则.可见，当时，最大.而，故数列的前5项和最大.规律总结：在等比数列的奇数项与偶数项分别组成等比数列，利用等差与等比数列的性质解题可以简化解题方法.变式训练3等比数列的公比, 已知=1，则的
6、前4项和= 五、随堂练习1. 设公差不为零的等差数列，且成等比数列，则数列的前项和.2. 等差数列中，那么数列 的前项和等于（）.A. B. C. D. 3. 等比数列的前项和为，且成等差数列，若，则.A.7 B.8 C.15 D.164.在等比数列中，已知对于任意，有，则_.5.已知等比数列满足，且，则当时， 6. 已知等差数列的前项和为，且.（1） 求数列的通项公式；（2） 设，求数列的前项和六、课时作业1.若数列的前项的和，那么这个数列的通项公式为（ ）（A）（B）（C）（D）2. 等比数列的公比为，前n项和为Sn，如S2，成等比数列，则其公比为（ ）A B C D 3.在数列中，且，则
7、_。4.数列1，2，3，4，的前n项和为 . 5已知数列构造一个新数列此数列是首项为1，公比为的等比数列。（1）求数列的通项 （2）求数列的前n项和 6 .已知数列满足是数列的前项和，对任意的，有.（1） 求数列的通项公式；（2） 记，求数列的前项和.参考答案一、2.基础预探（1）【当时，当时，】（2）【错位相减求和】（3）【等比数列】（4）；二、基础知识习题化1. 解析：，不能确定2. 解析：当时，即不成立；当时，即.3. 解析：B 由是与的等差中项得，设等比数列的公比为，即，解得（舍去），从而，所以数列的前5项的和，故选B.4.解：C由四、典例导析变式练习1. 解：若，则，.显然与题设矛盾
8、，故.由，得，整理，得，即，故，2. 解：， 当时，； 当时，. 当时，.规律总结：利用等比数列的前项和公式解题时，一定要注意公比的取值，分两种情况讨论.3. 答案：解：由得：，即，解得：q2，又=1，所以，。五、随堂练习1. 解析：，即，故选2. 解析：A 由，得即.，.设， ， -得，即.故选A.3. 解析：C 设等比数列的公比为，依题意有，即.又，因此有，故选C.4. 答案：解：因为，所以，所以5. 答案：解：由得，则， .6.解：（1）设等差数列的首项为，公差为，由题意得，解得.（2），.六、课时作业1. 答案D 解： 当时，所以选D2. 答案：A 解：由等比数列的和的可知，S2，三项仍成等比，公比为3. 答案：2600 解：当n为奇数时，；当n为偶数时，。所以 ；，所以50.4. 解：前项的和为.5. 解：（1）= （2）= 6. 解：（1）两式相减得.所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，所以.（2），则， ， -得.