1、第1章1.1第2课时1.1.2弧度制课前准备温故知新：过去我们学习过用角度制来度量角，这种度量角的方法很好理解，但给出的弧长公式较繁杂，不是很简洁。既然长度和重量等都有多种度量制，那么角度是不是会有更简洁的度量方法呢？研究发现，圆的弧长与半经的比值的大小只与所对圆心角的大小直接相关，而与圆的半经和弧长不直接相关。 这就为我们设计度量角的新方法提供了方便。学习目标：了解弧度制.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.同时要求同学们熟记特殊角的弧度数掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式培养同学们运用弧度制解决具体问题的意识和能力课前思索：如何解决角度制下公式的烦琐问题？弧度制的
2、引入对解决与角相关问题的优越性在那里？角度制下的角与弧度制下的角如何互化？课堂学习一、学习引领1角度制：过去同学们研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1的角是如何定义的？实际上是规定周角的作为1的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，有了它，可以计算弧长，公式为这种度量角的方法便于理解，但在使用时还是有不方便的地方，这就导致能不能用更为简洁的形式度量角的思考。2弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角；正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数为零。弧度制的建立将角度与实数建立起一一对应关系。3为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？即这个比值是否与
3、所取的圆的半径大小有关呢？ 如图，设为的角，圆弧和的长分别为和，点和到点的距离（即圆半径）分别为和，由己学过的弧长公式可得：，于是上式表明，以角为圆心角所对的弧长与其半径的比值，由的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅与角的大小有关4扇形的弧长与面积公式：弧长公式为，面积为，其中为扇形所对应圆的半径；为扇形的中心角。另外任一已知角的弧度数的绝对值，其中为以角为圆心角时所对应的的圆弧长，为圆的半径。5弧度制与角度制相比，是否具有优点呢?同学们知道在用角度制表示角的时候，人们总是十进制、六十进制并用的比如角33352，其中33、35、2都是十进数，而度、分、秒之间的关系是六十进（退）位的所以，为了
4、找出与角对应的实数，要经过复杂的计算，这就不是很方便了在用弧度表示角的时候，人们只用十进制，所以容易找出与角对应的实数另外，弧度制下的弧长公式l|r，比角度制下的弧长公式 ，具有更为简洁的形式还有，如果已知圆心角等于弧度，那么用弧度制下扇形面积公式S|r2求扇形面积，也比用角度制下的公式S更为简洁6弧度制下象限角的表示：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴正半轴重合，角的终边落在第几象限，就称这个角为第几象限角；弧度制下各象限的角的范围如下：第一象限角表示为（或）；第二象限角表示为（或）；第三象限角表示为（或）；第四象限角表示为（或）。弧度制下的轴线角：角的终边落在坐标轴上称为轴线角（轴上角）
5、，这个角不属于任何象限。终边在轴的非负半轴上的角可表示为；终边在轴的非正半轴上的角可表示为；终边在轴的非负半轴上的角可表示为；终边在轴的非正半轴上的角可表示为终边在轴上的角可表示为；终边在轴上的角可表示为；终边在坐标轴上的角可表示为。7终边与角终边对称的角的表示：终边与角的终边关于原点对称的角可以表示为；终边与角的终边关于轴对称的角可以表示为；终边与角的终边关于轴对称的角可以表示为；二、合作探究例1已知下列各个角：，. 将它们化为另一种度量制下的角分别是多少？解 ； ；.点评：弧度制与角度制下角的转换是后续学习三角函数常用的知识要求同学们必须熟练掌握例2用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非
6、负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不含边界)解： OB的终边上找到一个角30，而OA的终边上的角75故所求的区域角的集合为：|2k2k，kZ所求的区域角的集合为：|2k2k，kZ点评：对于角的范围的表示一要注意边界角的正确表示，二要注意不等式两边的角的大小，还不能忘记例3已知扇形的周长为30cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?解：设扇形的圆心角为，半径为r，面积为S，弧长为l，则有l+2r=30 l=30-2r,从而S=lr= (30-2r)r=-r2+15r=-(r-)2+当半径r=cm时，扇形面积的最大值是cm2，这时=2弧度点评：要求扇形的面积
7、的最大值，就应建立扇形面积的函数，而建立函数时，可以将半径r选作自变量.上面解法是利用扇形面积公式建立二次函数，进而求二次函数的最值此题是扇形周长一定时，求扇形的面积的最大值，利用这种法也可以求当扇形的面积一定其周长的最小值问题这就是一题多变，你想了吗？三、课堂练习1已知，则是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角2是第（ ）象限的角。A一B二C三D四3若角与角的终边关于轴对称，则与的关系是_。4判断是第几象限的角.5已知扇形的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积.6如图，单位圆上一点A从点出发，按逆时针方向作匀速圆周运动，已知点A每秒转过角，经过2秒钟到达第三象
8、限，经过14秒钟回到原来的位置，求角的大小.四、课后作业1已知集合，则（ ）.A B C D2已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A2 B C2sin1 Dsin2 3把化成的形式为4若小于的正角的6倍的终边与轴的正半轴重合，求满足条件的所有角的集合。5已知扇形的周长为cm，面积为cm2，求扇形圆心角的弧度数学后反思自我总结知识归纳方法总结错误总结答案与详解三、课堂练习1C提示：。2解析：，与终边相同，的终边在第一象限3提示：与关于轴对称，所以。4解：，与终边相同，而是第二象限的角，故是第二象限的角.5解：设扇形的半径为r，弧长为，则有 扇形的面积6解：设经过14秒钟A转过了圈，设，由弧长公式及已知条件，得 ，即，且已知在第三象限，故，解得由于，或5，故，或 四、课后作业1D解 集合表示第一、二象限和轴上的角及轴非负半轴上的角，由于，所以集合（因为最终结果是找交集的，所以可以用近似值表示），从而借助于坐标系得到，选择D.当然也可以对取值直接找它们的公共区域内的范围2B解析：圆的半径 =, =2 弧长= = 3解：4解：设正角为，由题意得：且，即，由此可得：，即，故，所以，故所求满足条件的所有角的集合为。5解：设扇形所在的圆弧的长为，所在圆的半径为，由题意得消去得，解得或当时，中心角；当时，中心角答：扇形的圆心角为弧度或弧度