1、课时训练50 轨迹问题【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.两定点A（-2，-1），B（2，-1），动点P在抛物线y=x2上移动，则PAB重心G的轨迹方程是（ ）A.y=x2- B.y=3x2- C.y=2x2- D.y=x2-答案：B解析：设G（x,y），P（x0,y0）则x0=3x，y0=3y+2，代入y=x2得重心G的轨迹方程：3x+2=(3x)2.2.曲线C上任意一点到定点A（1，0）与到定直线x=4的距离之差等于5，则此曲线C是（ ）A.抛物线 B.由两段抛物线弧连接而成C.双曲线 D.由一段抛物线和一段双曲线弧连接而成答案：B解析：设
2、P（x,y）为曲线C上任意一点，由题意，得-|x-4|=5，故y2=故曲线C是由两段抛物线弧连接而成.3.下列命题中，一定正确的是（ ）A.到两定点距离之比为定常数的点的轨迹是椭圆B.到定点F（-c，0）和到定直线x=-的距离之比为（ac0）的点的轨迹是椭圆的左半部分C.到定直线x=-和到定点F（-c，0）的距离之比为（ac0）的点的轨迹是椭圆D.平面上到两定点的距离之比等于常数（不等于1）的点的轨迹是圆答案：D解析：对照椭圆定义可知A、B、C都不对，故知选D.4.一动圆与圆x2+y2=1外切，而与圆x2+y2-6x+8=0内切，那么动圆的圆心的轨迹是（ ）A.双曲线的一支 B.椭圆C.抛物线
3、 D.圆答案：A解析：设动圆圆心为P（x，y），半径为r，又圆（x-3）2+y2=1的圆心为F（3,0）.故|PO|=r+1，|PF|=r-1，故|PO|-|PF|=2.由双曲线定义知P点轨迹是双曲线的右支.5.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点，定点M（-1，2），Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|=|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0答案：D解析：设Q（x，y），则P点（-x-2，-y+4），又点P在直线2x-y+3=0上，故2（-x-2）-（-y+4）+3=0，即：2x-y+5=0.6.设A1、
4、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点P的轨迹方程为( )A.=1 B.=1C.=1 D.=1答案：C解析：设P1、P2两点的横坐标为x=3cos，又A1(-3,0),A2(3,0),P1(3cos,2sin),P2(3cos,-2sin),故直线A1P1和A2P2方程分别为y=(x+3),y=(x-3).设交点P（x，y），则y2=(x2-9)，即=1.7.点M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线x=8的距离的比为，则动点M的轨迹方程为( )A.=1 B.=1C.=1 D.3x2+4y2+8x-60=0答案：D解析：设M为（x
5、，y），则|x-8|=12.整理有：3x2+4y2+8x-60=0.二、填空题（每小题5分，共15分）8.(2010北京西城区一模，12)点P（0，2）到圆C：（x+1）2+y2=1的圆心的距离为_，如果A是圆C上一个动点，=3,那么点B的轨迹方程为_.答案： (x-2)2+(y-6)2=4解析：由圆的方程圆心(c-1,0),则P到圆心的距离d=.设A、B点的坐标分别为（x0,y0）、（x,y）.=（x-x0,y-y0）,=(-x0,2-y0).=3,即（x-x0,y-y0）=(-3x0,6-3y0).A在圆上，（-+1）2+()2=1.即(x-2)2+(y-6)2=4.即为B点的轨迹方程.9
6、.已知定直线l上有三点A、B、C，AB=2，BC=5，AC=7，动圆O恒与l相切于点B，则过点A、C且都与O相切的直线l1、l2的交点P的轨迹是_.答案：去掉两个顶点的双曲线解析：由题设条件可得|PA|-|PC|=3，根据双曲线定义知点P的轨迹为去掉两个顶点的双曲线.10.F1、F2为椭圆的两个焦点，Q是椭圆上任意一点，从某一焦点引F1QF2的外角平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹是_.答案：圆解析：如右图，延长F1P交F2Q于F1，则|OP|=|F1F2|=|F1Q|+|F2Q|)=(|F1Q|+|F2Q|)=2a=a.P点轨迹为圆.三、简答题（1113题每小题10分，14题13分，共43
7、分）11.设抛物线y2=2px的准线l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任意一点，PQl，Q为垂足，求QF与OP的交点M的轨迹方程.解析：设抛物线上点P（2pt2，2pt）（t0），直线OP的方程为：y=x.又Q（-，2pt），F（，0），直线QF的方程y=-2t(x-).它们的交点M（x，y），由方程组由得：y2=-2x(x-)，交点M的轨迹方程y2=-2x(x-).12.(2010湖北重点中学模拟，21)平面直角坐标系中，O为原点，给定两点A（1，0）、B（0，-2），点C满足OC=+，其中、R，且-2=1，（1）求点C的轨迹方程；（2）设点C的轨迹与双曲线=1（a0,b0）交于两点M、N
8、，且以MN为直径的圆过原点，求证：为定值.（1）解析：设C（x，y），因为=+，则（x，y）=（1，0）+（0，-2）-2=1,x+y=1.即点C的轨迹方程为x+y=1.（2）证明：由得：（b2-a2）x2+2a2x2-a2-a2b2=0.由题意,得b2-a20，设M（x1，y1），N（x2，y2）,则：x1+x2=,x1x2=-.因为以MN为直径的圆过原点，=0，即x1x2+y1y2=0,x1x2+(1-x2)(1-x2)=1-(x1+x2)+2x1x2=1+=0,即b2-a2-2a2b2=0,=2为定值.13.(2010湖北十一校大联考，22)已知A、B、D三点不在一条直线上，且A（-2，
9、0），B（2，0），|=2，=（+）,（1）求点E的轨迹方程；（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点.线段MN的中点到y轴距离为且直线MN与点E的轨迹相切，求椭圆的方程.解析：（1）设E（x，y），=（+）=2-.=2（x+2，y）-（4,0）=(2x,2y).又|=2,x2+y2=1(y0).（2）设椭圆方程为：=1，直线 l：y=k(x+2),由于直线l与圆E相切，=1.k=.直线l：y= (x+2).将y=(x+2)代入b2x2+a2y2-a2b2=0,则有（3b2+a2）x2+4a2x+4a2-3a2b2=0.xM+xN=.x中=,|x中|=,5a2=6b2+2a2.a
10、2=2b2.又c2=4,b2=4,a2=8,椭圆方程为=1.14.(2010广东珠海一模，18)已知两定点A（-t,0）和B（t，0），t0.S为一动点，SA与SB两直线的斜率乘积为.（1）求动点S的轨迹C的方程，并指出它属于哪一种常见曲线类型；（2）当t取何值时，曲线C上存在两点P、Q关于直线x-y-1=0对称？解析：（1）设S（x，y），SA的斜率k1=(x-t)，SB斜率k2=(xt),由题意，得(xt),经整理，得-y2=1(xt).点S的轨迹C为双曲线（除去两顶点）.（2）假设C上存在这样的两点P（x1，y1)和Q（x2，y2）,则PQ直线斜率为-1，且P、Q的中点在直线x-y-1=0上.设PQ直线方程为：y=-x+b，由整理得（1-t2）x2+2t2bx-t2b2-t2=0.其中1-t2=0，方程只有一个解，与假设不符.当1-t20时，0，=（2bt2）2-4(1-t2)(-t2b2-t2)=4t2(b2+1-t2)，所以t2b2+1， 又x1+x2=-，所以.代入y=-x+b，得.因为P、Q中点为（）在直线x-y-1=0上，所以有：-1=0，整理得t2=, 解，得-1b0,0t1，经检验，得：当t取（0，1）中任意一个值时，曲线C上均存在两点关于直线x-y-1=0对称.