1、单元评估验收(二) (时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2015四川卷)向量a(2，4)与向量b(x，6)共线，则实数x()A2 B3 C4 D6解析：因为ab，所以264x0，解得x3.答案：B2已知在ABCD中，(2，8)，(3，4)，则()A(1，12) B(1，12)C(1，12) D(1，12)解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以(1，12)答案：B3()()化简后等于()A. B.C. D.解析：原式.答案：C4设点A(1，2)，B(2，3)，C(3，1)，且23，则点D的
2、坐标为()A(2，16) B(2，16)C(4，16) D(2，0)解析：设D(x，y)，由题意可知(x1，y2)，(3，1)，(1，4)，所以232(3，1)3(1，4)(3，14)，所以所以答案：A5点C在线段AB上，且，若，则等于()A BC D解析：因()，所以，即，所以.答案：C6设非零向量a、b、c满足|a|b|c|，abc，则向量a、b的夹角为()A150 B120C60 D30解析：设向量a、b夹角为，|c|2|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos ，则cos .又0，180，所以120.答案：B7(2015课标全国卷)设D为ABC所在平面内一点，3，则()A.B.C.D
3、.解析：().答案：A8若四边形ABCD满足0，()0，则该四边形一定是()A正方形 B矩形C菱形 D直角梯形解析：由0即可得四边形ABCD为平行四边形，由()0即0可得，所以四边形一定是菱形答案：C9已知向量a(2，1)，ab10，|ab|，则|b|()A0 B2 C5 D25解析：因为a(2，1)，则有|a|，又ab10，又由|ab|，所以|a|22ab|b|250，5210|b|250.所以|b|5.答案：C10(2015安徽卷)ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论正确的是()A|b|1 BabCab1 D(4ab)解析：在ABC中，由2ab2ab，得
4、|b|2.又|a|1，所以ab|a|b|cos 1201，所以(4ab)(4ab)b4ab|b|24(1)40，所以(4ab).答案：D11在ABC中，ABBC3，ABC60，AD是边BC上的高，则的值等于()A B. C. D9解析：分别以BC，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，根据已知条件可求得以下几点坐标：A，D(0，0)，C，所以，所以.答案：C12已知A，B，C是锐角ABC的三个内角，向量p(sin A，1)，q(1，cos B)，则p与q的夹角是()A锐角 B钝角C直角 D不确定解析：因为ABC为锐角三角形，所以AB，所以AB，且A，B，所以sin Asinco
5、s B，所以pqsin Acos B0，故p，q的夹角为锐角答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13(2014湖北卷)若向量(1，3)，|，0，则|_解析：因为(1，3)，又|又0，所以AOB90，所以AOB等腰直角三角形，且|2.答案：214(2015北京卷)在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_解析：因为2，所以.因为，所以()，因为().又xy，所以x，y.答案：15若a(2，3)，b(4，7)，ac0，则c在b方向上的投影为_解析：ac(2，3)c0，所以c(2，3)，设c与b夹角为，则c在b方向上的投影为|c|cos |c|.
6、答案：16若两个向量a与b的夹角为，则称向量“ab”为“向量积”，其长度|ab|a|b|sin ，若已知|a|1，|b|5，ab4，则|ab|_解析：由|a|1，|b|5，ab4得cos ，又0，所以sin .由此可得|ab|153.答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图所示，平行四边形ABCD中，a，b，H，M是AD，DC的中点，BFBC.试用a，b为基底表示向量与.解：因为平行四边形ABCD中，a，b.H，M是AD，DC的中点，BFBC，所以ba；abbab.18(本小题满分12分)不共线向量a，b的夹角为小于12
7、0的角，且|a|1，|b|2，已知向量ca2b，求|c|的取值范围解：|c|2|a2b|2|a|24ab4|b|2178cos (其中为a与b的夹角)因为0120.所以cos 1，所以|c|5，所以|c|的取值范围为(， 5)19(本小题满分12分)设e1，e2是正交单位向量，如果2e1m e2，n e1e2，5e1e2，若A，B，C三点在一条直线上，且m2n，求m，n的值解：以O为原点，e1，e2的方向分别为x， y轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy，则(2，m)，(n，1)，(5，1)，所以(3，1m)，(5n，0)又因为A，B，C三点在一条直线上，所以，所以30(1m)(5n)0，与m
8、2n构成方程组解得或20(本小题满分12分)在四边形ABCD中，(6，1)，(x，y)，(2，3)，.(1)求x与y的关系式；(2)若，求x、y的值以及四边形ABCD的面积解：如图所示(1)因为(x4，y2)，所以(x4，2y)又因为，(x，y)，所以x(2y)(x4)y0，即x2y0.(2)由于(x6，y1)，(x2，y3)因为，所以0，即(x6)(x2)(y1)(y3)0，所以y22y30，所以y3或y1.当y3时，x6，于是(6，3)，(0，4)，(8，0)所以|4，|8，所以S四边形ABCD|16.当y1时，x2，于是有(2，1)，(8，0)，(0，4)所以|8，|4，S四边形ABCD
9、16.综上可知或S四边形ABCD16.21(本小题满分12分)已知向量a(3，2)，b(2，1)，c(3，1)，tR.(1)求|atb|的最小值及相应的t值；(2)若atb与c共线，求实数t.解：(1)因为a(3，2)，b(2，1)，c(3，1)，所以atb(3，2)t(2， 1)(32t，2t)，所以|atb| ，当且仅当t时取等号，即|at b|的最小值为，此时t.(2)因为atb(3，2)t(2，1)(32t，2t)，又atb与c共线，c(3，1)，所以(32t)(1)(2t)30.解之可得t.22(本小题满分12分)已知三角形ABC是等腰直角三角形，ABC90，D是BC边的中点，BEAD，延长BE交AC于点F，连接DF.求证：ADBFDC(用向量方法证明)证明：如图所示，建立直角坐标系，设A(2，0)，C(0，2)，则D(0，1)于是(2，1)，(2，2)设F(x，y)，由，得0，即(x，y)(2，1)0，所以2xy0.又F点在AC上，则，而(x，2y)，因此2(x)(2)(2y)0，即xy2.由、式解得x，y，所以F，(0，1)，又|cosPDCcos FDC.所以cosFDC，又cosADB，所以cosADBcosFDC，故ADBFDC.
