1、基础诊断考点突破课堂总结第7讲 抛物线基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.抛物线的实际背景，抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，A级要求；2.抛物线的定义，几何图形，标准方程及简单的几何性质，B级要求基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的(2)其数学表达式：MFd(其中d为点M到准线的距离)相等准线基础诊断考点突破课堂总结2抛物线的标准方程与几何性质图形y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)标准方程p 的几何意义：焦点 F 到
2、准线 l 的距离基础诊断考点突破课堂总结续表顶点O(0,0)对称轴y0 x0焦点Fp2，0Fp2，0F0，p2F0，p2离心率e1准线方程xp2xp2yp2yp2范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR性质开口方向向右向左向上向下基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是xa4.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫
3、做抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为2a.()基础诊断考点突破课堂总结2(2014安徽卷改编)抛物线y14x2的准线方程是_解析 由y 14 x2，得x24y，焦点在y轴正半轴上，且2p4，即p2，因此准线方程为yp21.答案 y1 基础诊断考点突破课堂总结3(2014新课标全国卷改编)已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，AF54x0，则x0_.解析 由y2x，得2p1，即p12，因此焦点F14，0，准线方程为l：x 14.设A点到准线的距离为d，由抛物线的定义可知dAF，从而x01454x0，解得x01.答案 1 基础诊断考点突破课堂总结4(2014
4、上海卷)若抛物线y22px的焦点与椭圆 x29 y25 1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_解析 c2954，c2，椭圆 x29 y25 1的右焦点为(2,0)，p22，即抛物线的准线方程为x2.答案 x2 基础诊断考点突破课堂总结5(苏教版选修21P52T7改编)动圆过点(1,0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_解析 设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.答案 y24x基础诊断考点突破课堂总结考点一 抛物线的定义及应用 【例1】(1)F是抛物线y22x的焦点，A，B是抛物线上的两点
5、，AFBF6，则线段AB的中点到y轴的距离为_(2)已知点P是抛物线y24x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(4，a)，则当|a|4时，PAPM的最小值是_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)如图，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为D，E，由AFBF6及抛物线的定义知ADBE6，所以线段AB的中点到准线的距离为12(ADBE)3.又抛物线的准线为x12，所以线段AB的中点到y轴的距离为52.基础诊断考点突破课堂总结(2)将x4代入抛物线方程y24x，得y4，|a|4，所以A在抛物线的外部，如图由题意知F(1,0)，抛物线上点P到准线l：x1的距离为PN，由定义知，PAPMPAPN
6、1PAPF1.当A，P，F三点共线时，PAPF取最小值，此时PAPM也最小，最小值为AF1 9a21.答案(1)52(2)9a21基础诊断考点突破课堂总结规律方法 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径基础诊断考点突破课堂总结【训练1】已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为_解析 抛物线y22x的焦点为F12，0，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距
7、离，因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点F到点(0,2)的距离因此所求的最小值等于12222 172.答案 172基础诊断考点突破课堂总结考点二 抛物线的标准方程和几何性质【例2】(1)已知双曲线C1：x2a2 y2b21(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为_(2)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若AF3，则AOB的面积为_基础诊断考点突
8、破课堂总结 解析(1)x2a2y2b21 的离心率为 2，ca2，即c2a2a2b2a24，ba 3.x22py 的焦点坐标为0，p2，x2a2y2b21 的渐近线方程为 ybax，即 y 3x.由题意得p21 322，p8.故 C2 的方程为 x216y.基础诊断考点突破课堂总结(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)，如图所示，AFx113，x12，y12 2.设AB的方程为x1ty，由y24x，x1ty 消去x得y24ty40.y1y24.y2 2，x212，SAOB121|y1y2|3 22.答案(1)x216y(2)3 22基础诊断考点突破课堂总结规律方法(
9、1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】(1)(2014辽宁卷改编)已知点 A(2,3)在抛物线 C：y22px 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为_(2)(2014兰州一模)已知圆 x2y2mx140 与抛物线 y14x2的准线相切，则 m_.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由点 A
10、(2,3)在抛物线 C：y22px 的准线上，得焦点F(2,0)，kAF32234.(2)抛物线的标准方程为 x24y，所以准线为 y1.圆的标准方程为xm22y2m214，所以圆心为m2，0，半径为 m212.所以圆心到直线的距离为 1，即 m2121，解得 m 3.答案(1)34(2)3基础诊断考点突破课堂总结考点三 直线与抛物线的位置关系 【例 3】(2014广州综合测试)已知点 A(2,1)在抛物线 E：x2ay上，直线 l1：ykx1(kR，且 k0)与抛物线 E 相交于 B，C 两点，直线 AB，AC 分别交直线 l2：y1 于点 S，T.(1)求 a 的值；(2)若 ST2 5，
11、求直线 l1 的方程解(1)点 A(2,1)在抛物线 E：x2ay 上，a4.基础诊断考点突破课堂总结(2)由(1)得抛物线 E 的方程为 x24y.设点 B，C 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，依题意得 x214y1，x224y2，由ykx1，x24y消去 y，得 x24kx40，解得 x1,24k4 k2122k2 k21.x1x24k，x1x24.基础诊断考点突破课堂总结直线 AB 的斜率 kABy11x12x214 1x12x124，故直线 AB 的方程为 y1x124(x2)令 y1，得 x28x12(由题意知 x120)，点 S 的坐标为28x12，1.同理可得点 T
12、的坐标为28x22，1基础诊断考点突破课堂总结ST28x1228x22 8x1x2x12x228x1x2x1x22x1x24 8x1x28kx1x2k.ST2 5，|x1x2|2 5|k|.由|x1x2|2(x1x2)24x1x2，得 20k216k216，解得 k2 或 k2，直线 l1 的方程为 y2x1 或 y2x1.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式ABx1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式基础诊断考
13、点突破课堂总结【训练 3】已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过 F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2p2，x1x2p24；(2)1AF 1BF为定值基础诊断考点突破课堂总结证明(1)由已知得抛物线焦点坐标为p2，0.由题意可设直线方程为 xmyp2，代入 y22px，得 y22p(myp2)，即 y22pmyp20.(*)则 y1，y2 是方程(*)的两个实数根，所以 y1y2p2.因为 y212px1，y222px2，所以 y21y224p2x1x2，所以 x1x2y21y224p2 p44p2p24.基础诊断考点突破课堂总结(2)
14、1AF 1BF1x1p21x2p2x1x2px1x2p2x1x2p24.因为 x1x2p24，x1x2ABp，代入上式，得 1AF 1BFABp24 p2ABpp242p(定值).基础诊断考点突破课堂总结思想方法1抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率)2抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性，故二者可相互转化，这一转化在解题中有着重要作用基础诊断考点突破课堂总结3抛物线的焦点弦：设过抛物线 y22px(p0)的焦点的直线与抛物线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
15、(1)y1y2p2，x1x2p24；(2)若直线 AB 的倾斜角为，则 AB 2psin2；ABx1x2p；(3)若 F 为抛物线焦点，则有 1AF 1BF2p.基础诊断考点突破课堂总结易错防范1认真区分四种形式的标准方程(1)区分yax2(a0)与y22px(p0)，前者不是抛物线的标准方程(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2mx或x2my(m0)2直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件；由于抛物线及双曲线问题的特殊性，有时借助数形结合可能会更直观、更方便，当直线与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行时，都只有一个交点，但此时并非相切.