1、2020-2021学年度第一学期高二年级期中考试数学科试卷命题人： 考生注意：本卷共四大题，22小题，满分150分，考试时间120分钟一、单项选择题：（本大题8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）1下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是 Aab0 Babbc”是“ab”的必要条件 B存在一个实数x，使等式x2x80成立C“acbc”是“ab”的必要条件 D“acbc”是“ab”的充分条件11.在中，则的面积可以是AB1 C D12. 若正实数a，b满足a+b1，则下列选项中正确的是Aab有最大值B有最大值CD有最小值三、填空题: (本大题共4小
2、题，每小题5分，满分20分，把正确的答案写在答题卡对应的位置上)13. 的和是_14命题：的否定是:_. 15. 的内角的对边分别为，若的面积为，则_16. 设，函数，的最小值是，最大值是，则+的值为_三、解答题 ( 本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤)17（本题满分10分）等差数列的前项和记为，已知，。(1)求通项； (2)若，求。 18（本题满分12分）在中，分别为内角，的对边，且（）求的大小；（）求的最大值19. （本题满分12分）已知不等式ax23x64的解集为x|xb(1)求a，b；(2)解不等式ax2(acb)xbc0 Babbc”是“ab”的必
3、要条件 B存在一个实数x，使等式x2x80成立C“acbc”是“ab”的必要条件 D“acbc”是“ab”的充分条件11.在中，则的面积可以是（ AD ）AB1 C D【解析】因为，由余弦定理得，所以，所以，或，所以由的面积公式得或12. 若正实数a，b满足a+b1，则下列选项中正确的是（ABC）Aab有最大值B有最大值CD有最小值解：对于选项A：ab（）2（当且仅当ab时取“），故选项A正确；对于选项B：（）2a+b+2a+b+a+b2，（当且仅当ab时取“），故选项B正确；对于选项C：正实数a，b满足a+b1，ab2a11，3ab31，故选项C正确；对于选项D：a+b1，（）（a+b）33
4、+2（当且仅当时取“），故选项D错误故选：ABC二、填空题: (本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把正确的答案写在答题卡对应的位置上)13. 的和是_1022(另写为也对)14命题：的否定是:_. 15. (2018全国III卷)的内角的对边分别为，若的面积为，则_16. 设，函数，的最小值是，最大值是，则+的值为_5_【分析】根据已知条件确定在，上单调递增，根据若在区间，上的最小值为，最大值为，可得，为方程的两根，即可求、的值【解答】解: 在，上单调递增在区间，上的最小值为，最大值为，（a），（b），为方程的两根由，得，所以+=5三、解答题, 本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的
5、文字说明、证明过程和演算步骤17（本题满分10分）等差数列的前项和记为，已知，。(1)求通项； (2)若，求。 解：（1）因为，。所以2分解得4分所以 5分 （2） 6分 8分 及（舍去） 10分 注：没写公式解对了，不扣分18（本题满分12分）在中，分别为内角，的对边，且（）求的大小；（）求的最大值解：（）由已知，根据正弦定理得，即 2分 由余弦定理得，4分 故 ， 6分 （）由（）得：10分 故当时，取得最大值1。12分 19. （本题满分12分）已知不等式ax23x64的解集为x|xb(1)求a，b；(2)解不等式ax2(acb)xbc4的解集为x|xb，所以x11与x2b是方程ax23
6、x20的两个实数根，且b12分 由根与系数的关系，得 4分 解得 6分 (另解代入列方程组也一样标准)(2)原不等式化为：x2(2c)x2c0，即(x2)(xc)2时，不等式的解集为x|2xc； 10分 当c2时，不等式的解集为x|cx2； 11分 当c2时，不等式的解集为 12分 20. (本小题12分)某学校拟建一块周长为400m的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？解：设中间矩形区域的长，宽分别为x m，y m，中间的矩形区域面积为S，则半圆的周长为， .2分因为操场周长为400，所以2
7、x2400， 即2xy400(0x200,0y)， .5分所以Sxy(2x)(y)2， .9分由解得 所以当且仅当时等号成立，.11分答:即把矩形的长和宽分别设计为100 m和m时，矩形区域面积最大. .12分21. (本小题12分)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OA的直线，使得直线与椭圆C有公共点，且直线OA与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。解:（1）依题意，可设椭圆C的方程为，.1分且可知左焦点为F（-2，0），从而有，解得， .3分又，所以， .4分故椭圆C的方程为。 .5
8、分（2）假设存在符合题意的直线，其方程为，.6分由得， .8分因为直线与椭圆有公共点，所以有，解得， .10分另一方面，由直线OA与的距离4可得：，从而，.11分由于，所以符合题意的直线不存在。.12分22（本题满分12分）已知数列的前项n和为与的等差中项是.(1)证明数列为等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数k的最大值解：(1)因为和的等差中项是，所以，即， 2分由此得， 3分即， 4分又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 5分(2)由(1)得，即， 6分所以，当时，8分又时，也适合上式，所以. 9分(3)要使不等式对任意正整数n恒成立，即k小于或等于的所有值又因为是单调递增数列， 10分且当时，取得最小值， 11分要使k小于或等于的所有值，即， 所以实数k的最大值为1 12分