1、章末综合提升 第三章 圆锥曲线的方程 巩固层知识整合 NO.1提升层题型探究 NO.2类型1 类型2 类型3 类型4 类型1 圆锥曲线的定义及应用1圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略 2研究与圆锥曲线有关的两点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决问题【例1】(1)已知动点M的坐标满足方程5x2y2|3x4y12|，则动点M的轨迹是()A椭圆 B双曲线C抛物线D以上都不对
2、(2)双曲线16x29y2144的左、右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|PF2|64，则F1PF2_.(1)C(2)60(1)把轨迹方程5 x2y2|3x4y12|写成 x2y2|3x4y12|5.动点M到原点的距离与它到直线3x4y120的距离相等点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x4y120为准线的抛物线(2)双曲线方程16x29y2144，化简为x29y2161，即a29，b216，所以c225，解得a3，c5，所以F1(5,0)，F2(5,0)设|PF1|m，|PF2|n，由双曲线的定义知|mn|2a6，又已知mn64，在PF1F2中，由余弦定理知 cosF1PF2|
3、PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|m2n22c22mn mn22mn4c22mn3626442526412.所以F1PF260.跟进训练1若A(3,2)，F为抛物线y22x的焦点，P为抛物线上任意一点，则|PF|PA|的最小值为_72 设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|PD|，要求|PA|PF|取得最小值，即求|PA|PD|取得最小值，当D，P，A三点共线时|PA|PD|最小，为31272.类型2 圆锥曲线的方程 求圆锥曲线方程的常用方法：(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹
4、方程(2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数【例2】(1)已知双曲线 x2a2 y2b2 1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为()Ax24y21
5、21Bx212y241Cx23y291Dx29y231(2)在圆x2y24上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D当点P在圆上运动时，动点M满足PD 2MD，动点M形成的轨迹为曲线C求曲线C的方程(1)C 法一：因为双曲线 x2a2 y2b2 1(a0，b0)的离心率为2，所以 ca2，c2a2b2，解得c2a，b 3a.所以双曲线的渐近线方程为ybax 3x.依题意，不妨设Ac，b2a，Bc，b2a 到直线y 3x的距离分别为d1，d2，因为d1d26，所以3cb2a23cb2a26，所以2 3a3a22 3a3a26，解得a3，所以b3，所以双曲线的方程为x23y291，故选C 法二：因
6、为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为2，所以ca2，c2a2b2，解得c2a，b 3a，如图所示，由d1d26，即|AD|BE|6，可得|CF|3，故b3，所以a3，所以双曲线的方程为x23y291.(2)解 法一：由PD 2MD，知点M为线段PD的中点，设点M的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(x,2y)因为点P在圆x2y24上，所以x2(2y)24，所以曲线C的方程为x24y21.法二：设点 M 的坐标为(x，y)，点 P 的坐标是(x0，y0)，由PD 2MD，得 x0 x，y02y，因为点 P(x0，y0)在圆 x2y24 上，所以 x20y204，(*)把 x0 x，y
7、02y 代入(*)式，得 x24y24，所以曲线 C 的方程为x24y21.跟进训练2(1)以直线3xy0为渐近线，一个焦点坐标为F(0,2)的双曲线方程是()Ay2x231Bx2y231Cx23y21Dy23x21(2)已知双曲线 x2a2 y2b2 1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为 3，求抛物线的标准方程(1)D 设双曲线方程为3x2y2(0)，因为焦点在y轴上，所以方程可化为 y2 x231，由条件可知 3 4，解得3.所以双曲线方程为3x2y23，即y23x21.(2)解 由已知得ca2，所
8、以a2b2a24，解得ba 3，即双曲线的渐近线方程为y 3x.由题意得，抛物线的准线方程为xp2，可设Ap2，3p2，Bp2，3p2，从而AOB的面积为12 3pp2 3，解得p2或p2(舍)所以抛物线的标准方程为y24x.类型3 圆锥曲线的性质及应用1本类问题主要有两种考查类型：(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点(2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量”2圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养【例3】(1)如图，F1，F2是椭圆C1：x24y21与双曲线C2的公共焦点，A，
9、B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A 2B 3C32D 62(2)已知ab0，椭圆C1的方程为 x2a2 y2b2 1，双曲线C2的方程为x2a2 y2b2 1，C1与C2的离心率之积为32，则C2的渐近线方程为_(1)D(2)x2 y0(1)由椭圆可知|AF1|AF2|4，|F1F2|2 3.因为四边形AF1BF2为矩形，所以|AF1|2|AF2|2|F1F2|212，所以2|AF1|AF2|(|AF1|AF2|)2(|AF1|2|AF2|2)16124，所以(|AF2|AF1|)2|AF1|2|AF2|22|AF1|AF2|1248，所
10、以|AF2|AF1|2 2，因此对于双曲线有a 2，c 3，所以C2的离心率eca 62.(2)设椭圆 C1 和双曲线 C2 的离心率分别为 e1 和 e2，则 e1 a2b2a，e2 a2b2a.因为 e1e2 32，所以 a4b4a2 32，即ba414，所以ba 22.故双曲线的渐近线方程为ybax 22 x，即x 2y0.跟进训练3(1)已知椭圆 x2a2 y2b2 1(ab0)的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若ABO的面积是3 c2，则此椭圆的离心率是()A12B 32C 22D 33(2)已知双曲线 x2a2 y2b2 1(a0，b0)的焦距为2c，右顶点
11、为A，抛物线x22py(p0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|c，则双曲线的渐近线方程为_(1)A(2)xy0(1)12ab 3c2，即a2(a2c2)12c4，所以(a23c2)(a24c2)0，所以a24c2，a2c，故eca12.(2)c2a2b2，由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c知，双曲线过点c，p2，即c2a2 p24b21.由|FA|c，得c2a2p24，由得p24b2.将代入，得c2a22.a2b2a22，即ba1，故双曲线的渐近线方程为yx，即xy0.类型4 圆锥曲线的综合问题1圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定值、最值问题，解决的基本思
12、路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解 2圆锥曲线的综合问题的解决培养学生的逻辑推理和数学运算素养【例4】已知抛物线C：y22px(p0)经过点P(2,2)，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)若OAOB，求AOB面积的最小值解(1)由抛物线C：y22px经过点P(2,2)知4p4，解得p1.则抛物线C的方程为y22x.抛物线C的焦点坐标为12，0，准线方程为x12.(2)由题意知，直线AB不与y轴垂直，设直线AB：xtya，由xtya，y22x，消去x，得y22ty2a0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y
13、1y22t，y1y22a.因为OAOB，所以x1x2y1y20，即y21y224 y1y20，解得y1y20(舍去)或y1y24.所以2a4，解得a2.所以直线AB：xty2.所以直线AB过定点(2,0)SAOB122|y1y2|y21y222y1y2 y21y228 2|y1y2|84.当且仅当y12，y22或y12，y22时，等号成立 所以AOB面积的最小值为4.跟进训练4设椭圆C：x2a2 y2b21(ab0)，右顶点是A(2,0)，离心率为12.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆交于两点M，N(M，N不同于点A)，若 AM AN0，求证：直线l过定点，并求出定点坐标解(1)右顶
14、点是A(2,0)，离心率为12，所以a2，ca12，c1，则b 3，椭圆的标准方程为x24y231.(2)当直线MN斜率不存在时，设lMN：xm，与椭圆方程 x24 y23 1联立得：|y|31m24，|MN|231m24，设直线MN与x轴交于点B，|MB|AB|，即31m24 2m，m27或m2(舍)，直线lMN过定点27，0；当直线MN斜率存在时，设直线MN斜率为k，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则直线MN：ykxb(k0)，与椭圆方程x24y231联立，得(4k23)x28kbx4b2120，x1x2 8kb4k23，x1x24b2124k23，y1y2(kx1b)(kx2b)k2
15、x1x2kb(x1x2)b2，(8kb)24(4k23)(4b212)0，kR，AM AN0，则(x12，y1)(x22，y2)0，即x1x22(x1x2)4y1y20，7b24k216kb0，b27k或b2k，直线lMN：ykx27 或yk(x2)，由直线yk(x2)不合题意，直线过定点27，0，综上知直线过定点27，0.体验层真题感悟 NO.31(2020全国卷)已知A为抛物线C：y22px(p0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p()A2 B3 C6 D9C 法一：因为点 A 到 y 轴的距离为 9，所以可设点 A(9，yA)，所以 y2A18p.又点 A 到焦点
16、p2，0 的距离为 12，所以9p22y2A12，所以9p2218p122，即 p236p2520，解得 p42(舍去)或 p6.故选 C 法二：根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x p2 的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以 p2 129，解得p6.故选C2(2020全国卷)设O为坐标原点，直线xa与双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A4B8 C16D32B 由题意知双曲线的渐近线方程为ybax.因为D，E分别为直线xa与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D(a，b)，E(a，b)，所以SO
17、DE 12 a|DE|12 a2bab8，所以c2a2b22ab16，所以c4，所以2c8，所以C的焦距的最小值为8，故选B3(2020全国卷)已知椭圆C1：x2a2y2b21(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合，过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|43|AB|.(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|5，求C1与C2的标准方程解：(1)由已知可设C2的方程为y24cx，其中c a2b2.不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为b2a，b2a；C，D的纵坐标分别为2c，2c，故|AB|2b2a，|CD|4c.由|CD|43|AB|得4c8b23a，即3ca22ca2.解得ca2(舍去)，ca12.所以C1的离心率为12.(2)由(1)知a2c，b 3c，故C1：x24c2 y23c21.设M(x0，y0)，则 x204c2 y203c21，y204cx0，故 x204c24x03c 1.由于C2的准线为xc，所以|MF|x0c，而|MF|5，故x05c，代入得 5c24c2 45c3c1，即c22c30，解得c1(舍去)，c3.所以C1的标准方程为x236y2271，C2的标准方程为y212x.点击右图进入 章 末 综 合 测 评 谢谢观看 THANK YOU!
