1、第四十二讲 抛物线 班级_ 姓名_ 考号_ 日期_ 得分_一、选择题：(本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分，将正确答案的代号填在题后的括号内)1设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2ax(a0)的焦点 F，且和 y 轴交于点 A，若OAF(O为坐标原点)的面积为 4，则抛物线方程为()Ay24 By28xCy24xDy28x解析：y2ax 的焦点坐标为a4，0.过焦点且斜率为 2 的直线方程为 y2xa4，令 x0 得：ya2.12|a|4|a|2 4，a264，a8，故选 B.答案：B2已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：x1，抛物线 y24x 上一动点 P 到直线
2、l1和直线 l2 的距离之和的最小值是()A2B3C.115D.3716解析：如图所示，动点 P 到 l2：x1 的距离可转化为 P 到 F 的距离，由图可知，距离和的最小值即 F 到直线 l1 的距离 d|46|32422，故选 A.答案：A3抛物线 y24x 的焦点为 F，准线为 l，经过 F 且斜率为 3的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A，AKl，垂足为 K，则AKF 的面积是()A4B3 3C4 3D8解析：抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0)，准线为 l：x1，经过 F 且斜率为 3的直线 y 3(x1)与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A(3,2 3)，AKl，
3、垂足为 K(1,2 3)，AKF 的面积是 4 3.故选 C.答案：C4若抛物线 y24x 的焦点是 F，准线是 l，则经过点 F、M(4,4)且与 l 相切的圆共有()A0 个B1 个C2 个D4 个解析：经过 F、M 的圆的圆心在线段 FM 的垂直平分线上，设圆心为 C，则|CF|CM|，又圆 C 与 l 相切，所以 C 到 l 距离等于|CF|，从而 C 在抛物线 y24x 上故圆心为 FM 的垂直平分线与抛物线的交点，显然有两个交点，所以共有两个圆，故选C.答案：C5设 F 为抛物线 y24x 的焦点，A、B、C 为该抛物线上三点，若 FAFBFC0，则|FAFBFC等于()A9B6C
4、4D3解析：设 A、B、C 三点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，F(1,0)FAFBFC0，x1x2x33.又由抛物线定义知|FAFBFCx11x21x316，故选 B.答案：B6设抛物线 y22x 的焦点为 F，过点 M(3，0)的直线与抛物线相交于 A，B 两点，与抛物线的准线相交于点 C，|BF|2，则BCF 与ACF 的面积之比SBCFSACF等于()A.45B.23C.47D.12解析：由|BF|2 小于点 M 到准线的距离312 知点 B 在 A、C 之间，由抛物线的定义知点 B 的横坐标为32，代入得 y23，则 B32，3，另一种可能是32，3，那么
5、此时直线 AC 的方程为y0 30 x 332 3，即 y2(x 3)2 3，把 y2(x 3)2 3 代入 y22x，可得 2x27x60，可得x2，则有y2，即A(2,2)，那么SBCFSACF|BCAC|3212212，故选 A.答案：A二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分，把正确答案填在题后的横线上)7已知抛物线型拱的顶点距离水面 2 米时，测量水面宽为 8 米，当水面上升12米后，水面的宽度是_解析：设抛物线方程为 x22py，将(4，2)代入方程得 162p(2)，解得 2p8，故方程为 x28y，水面上升12米，则 y32，代入方程，得 x2832 12
6、，x2 3.故水面宽 4 3米答案：4 3米8点 P 到 A(1,0)和直线 x1 的距离相等，且点 P 到直线 l：yx 的距离等于 22，则这样的点 P 的个数为_解析：由抛物线定义，知点P的轨迹为抛物线，其方程为y24x，设点P的坐标为y204，y0，由点到直线的距离公式，知y204y02 22，即 y204y040，易知 y0 有三个解，故点 P 个数有三个答案：39已知 F 为抛物线 C：y24x 的焦点，过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A、B 两点设|FA|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于_解析：抛物线 C：y24x 的焦点 F(1,0)，准线方程：x1，如图，则直线
7、 AB 的方程为 yx1，由21,4,yxyx得x26x10，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1，x2 是方程的两根，x1x21，x132 2.根据抛物线定义，得|FA|x11，|FB|x21(x1x2)，|FA|FB|x11x21x111x11x1(x11)x11 x132 2.答案：32 210设 x1、x2R，常数 a0，定义运算“*”：x1x*a)的轨迹方程是_解析：由 y x*a，得 y2x*a(xa)2(xa)24ax(y0)答案：y24ax(y0)三、解答题：(本大题共 3 小题，11、12 题 13 分，13 题 14 分，写出证明过程或推演步骤)11A、B 是抛
8、物线 y22px(p0)上的两点，且 OAOB.(1)求 A、B 两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线 AB 过定点；(3)求弦 AB 中点 P 的轨迹方程；(4)求AOB 面积的最小值解：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点 P(x0，y0)(1)kOAy1x1，kOBy2x2.OAOB，kOAkOB1，x1x2y1y20.y212px1，y222px2，y212p y222py1y20.y10，y20，y1y24p2，x1x24p2.(2)y212px1，y222px2，(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)y1y2x1x2 2py1y2，kAB 2py1y2.直线 A
9、B：yy1 2py1y2(xx1)y 2pxy1y2y1 2px1y1y2.y 2pxy1y2y212px1y1y2y1y2.y212px1，y1y24p2，y 2pxy1y24p2y1y2.y 2py1y2(x2p)AB 过定点(2p,0)(3)如图，设 OA：ykx，代入 y22px 得：x0 或 x2pk2，A2pk2，2pk.同理，以1k代 k 得 B(2pk2，2pk)设中点坐标 P(x0，y0)，x0pk21k2y0p1kk.k21k21kk 22，x0p y0p22，即 y20px02p2.中点 P 的轨迹方程为 y2px2p2.(4)设 M(2p,0)，SAOBSAOMSBOM
10、12|OM|(|y1|y2|)p(|y1|y2|)2p|y1y2|4p2，当且仅当|y1|y2|2p 时，等号成立评析：解决直线与抛物线的有关问题时要注意以下几点：设抛物线上的点为(x1，y1)，(x2，y2)；因为(x1，y1)，(x2，y2)都在抛物线上，故满足 y212px1，y222px2；利用 y21y224p2x1x2 可以整体得到 y1y2 或 x1x2.12是否存在同时满足下列条件的抛物线：准线是 y 轴；顶点在 x 轴上；点 A(3,0)到该抛物线上的动点 P 的距离的最小值为 2？如果存在，求出抛物线方程；如果不存在，说明理由解：设满足条件的抛物线存在，顶点 B 在 x 轴
11、上设 B(a,0)，以 y 轴为准线的抛物线方程为y24a(xa)，由条件知 a0.设 P 是抛物线上的点，其坐标为m24aa，m.则|AP|2m24aa3 2m2 116am212(aa2)212a8a2，当 aa20，即 0a1，且 m212(aa2)时，|AP|min 12a8a2.12a8a22，解得 a1 或 a12.此时抛物线方程为 y24(x1)或 y22x12.当 aa21，且 m0 时，|AP|min|a3|2.a5，此时抛物线方程为 y220(x5)，存在满足条件的抛物线，其方程为y24(x1)或 y22x12 或 y220(x5)13(2010福建)已知抛物线 C：y22
12、px(p0)过点 A(1，2)(1)求抛物线 C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l，使得直线 l 与抛物线 C 有公共点，且直线 OA 与 l 的距离等于 55？若存在，求直线 l 的方程；若不存在，说明理由解：(1)将(1，2)代入 y22px，得(2)22p1，所以 p2.故所求抛物线 C 的方程为 y24x，其准线方程为 x1.(2)假设存在符合题意的直线 l，其方程为 y2xt，由224yxtyx 得 y22y2t0.因为直线 l 与抛物线 C 有公共点，所以 48t0，解得 t12.由直线 OA 与 l 的距离 d 55 可得|t|5 15，解得 t1.因为112，112，所以符合题意的直线 l 存在，其方程为 2xy10.