1、2015-2016学年广东省东莞市东方明珠学校高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数z=（2+i）i在复平面内的对应点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2用1、2、3、4、5这5个数字，组成无重复数字的三位数，这样的三位数有（）A12个B48个C60个D125个3在二项式（x2）5的展开式中，含x4的项的系数是（）A10B10C5D54用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A假设至少有一个钝角B假设至少有两个钝角C假设没有一个钝角D假设没有一个钝角或至少有两个钝角5
2、某个命题与自然数n有关，若n=k（kN*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）A当n=6时，该命题不成立B当n=6时，该命题成立C当n=4时，该命题不成立D当n=4时，该命题成立6函数函数f（x）=（x3）ex的单调递增区间是（）A（，2）B（0，3）C（1，4）D（2，+）7有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f（x0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点以上推理中（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D结论正
3、确8有一串彩旗，代表蓝色，代表黄色两种彩旗排成一行：那么在前200个彩旗中有（）个黄旗A111B89C133D679曲线y=x3+x2+2x与x轴所围成图形的面积为（）AB3CD4102015年6月20日是我们的传统节日”端午节”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则P（B|A）=（）ABCD11从5位男数学教师和4位女数学教师中选出3位教师派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男女教师都有，则不同的选派方案共有（）A210B420C630D84012甲乙两队进行
4、排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是，没有平局若采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13观察下列式子：1+，1+，1+，则可归纳出_14若，则（a0+a2+a4）2（a1+a3）2的值为_15设随机变量X服从二项分布B（n，p），且E（X）=1.6，D（X）=1.28，则n=_，p=_16下列四个命题中正确的有_（填上所有正确命题的序号）若实数a，b，c满足a+b+c=3，则a，b，c中至少有一个不小于1若z为复数，且|z|=1，则|zi|的最大值等于2任意x（0，+），都有xsinx定积分dx=三、解答题
5、：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17实数m取什么数值时，复数z=m21+（m2m2）i分别是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数18某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间的定价增加10元时，就会有一个房间空闲如果游客入住房间，宾馆每间每天将花费20元的各种费用当房间定价为多少的时候，宾馆获得的利润最大？19有6名同学站成一排，求：（1）总共有多少种不同的排法；（2）甲、乙、丙不相邻有多少种不同的排法20某运动员射击一次所得环数X的分布如下：X78910P0.20.30.30.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中
6、最高环数作为他的成绩，记为（）求该运动员两次都命中7环的概率；（）求的分布列和数学期望21在数列an中，an+1=（1）计算a2，a3，a4并猜想数列an的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想22已知函数f（x）=lnx+ax2+x（aR）（1）若函数f（x）在x=1处的切线平行于x轴，求实数a的值，并求此时函数f（x）的极值；（2）求函数f（x）的单调区间2015-2016学年广东省东莞市东方明珠学校高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数z=（2+i）i在复平面内的对应点在（）A第
7、一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】由于复数z=（2+i）i=1+2i，在复平面内对应点的坐标为（1，2），从而得出结论【解答】解：由于复数z=（2+i）i=1+2i，在复平面内对应点的坐标为（1，2），故复数z=（2+i）i在复平面内的对应点在第二象限，故选B2用1、2、3、4、5这5个数字，组成无重复数字的三位数，这样的三位数有（）A12个B48个C60个D125个【考点】排列、组合的实际应用【分析】由题意得，选3个再全排列即可【解答】解：数字1、2、3、4、5可组成没有重复数字的三位数，选3个再全排列，故有=60个，故选：C3在二项式（x2）5
8、的展开式中，含x4的项的系数是（）A10B10C5D5【考点】二项式定理【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为4求得【解答】解：对于，对于103r=4，r=2，则x4的项的系数是C52（1）2=10故选项为B4用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A假设至少有一个钝角B假设至少有两个钝角C假设没有一个钝角D假设没有一个钝角或至少有两个钝角【考点】反证法与放缩法【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，从而得出结论【解答】解：用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应先假设“至少有两个钝角”，故选：B5某个命题与自然数n有
9、关，若n=k（kN*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）A当n=6时，该命题不成立B当n=6时，该命题成立C当n=4时，该命题不成立D当n=4时，该命题成立【考点】数学归纳法【分析】本题考查的知识点是数学归纳法，由归纳法的性质，我们由P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对nk的任意整数均成立，结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k1也不成立，由此类推，对nk的任意正整数均不成立，由此不难得到答案【解答】解：由题意可知，P（n）对n=4不成立（否则n=5也成立）同理可推得P（n）对n=3
10、，n=2，n=1也不成立故选C6函数函数f（x）=（x3）ex的单调递增区间是（）A（，2）B（0，3）C（1，4）D（2，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】首先对f（x）=（x3）ex求导，可得f（x）=（x2）ex，令f（x）0，解可得答案【解答】解：f（x）=（x3）ex+（x3）（ex）=（x2）ex，令f（x）0，解得x2故选：D7有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f（x0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点以上推理中（）A大前提错误B小前提错误C推
11、理形式错误D结论正确【考点】演绎推理的基本方法【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论【解答】解：大前提是：“对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，且满足当xx0时和当xx0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，大前提错误，故选A8有一串彩旗，代表蓝色，代表黄色两种彩旗排成一行：那
12、么在前200个彩旗中有（）个黄旗A111B89C133D67【考点】归纳推理【分析】通过观察彩旗排列的规律，发现颜色的交替成周期性变化，周期为9，每9个旗子中有3个黄旗，由此可得正确答案【解答】解：观察彩旗排列规律可知，颜色的交替成周期性变化，周期为9，每9个旗子中有3个黄旗则2009=22余2，则200个旗子中黄旗的数量为223+1=67故选：D9曲线y=x3+x2+2x与x轴所围成图形的面积为（）AB3CD4【考点】定积分【分析】先求得x3+x2+2x=0的根，再利用定积分求出面积即可【解答】解：由x3+x2+2x=0，解得x=1，0，2曲线y=x3+x2+2x与x轴所围成图形的面积=+=
13、+=故选A102015年6月20日是我们的传统节日”端午节”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则P（B|A）=（）ABCD【考点】条件概率与独立事件【分析】求出P（A）=，P（AB）=，利用P（B|A）=，可得结论【解答】解：由题意，P（A）=，P（AB）=，P（B|A）=，故选：A11从5位男数学教师和4位女数学教师中选出3位教师派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男女教师都有，则不同的选派方案共有（）A210B420C630D840【考点】排列、组合及简单
14、计数问题【分析】题目要求有男女教师九人选三个到3个班担任班主任是三个元素在九个位置排列，要求这3位班主任中男女教师都有，则选的都是男教师和选的都是女教师不和题意就，需要从总数中去掉【解答】解：共有男女教师九人选三个到3个班担任班主任共有A93种结果，要求这3位班主任中男女教师都有，则选的都是男教师和选的都是女教师不合题意，选的都是男教师有A53种结果，选的都是女教师有A43种结果，满足条件的方案有A93（A53+A43）=420，故选B12甲乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是，没有平局若采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于（）ABCD【考点】相
15、互独立事件的概率乘法公式【分析】分两种情况：甲队前2局连胜甲队在前2局与乙打成1：1而第3局取胜加以讨论并分别算出2种情况下的概率，再用概率的加法公式，即可得到本题的概率【解答】解：甲队获胜分2种情况第1、2两局中连胜2场，概率为P1=； 第1、2两局中甲队失败1场，而第3局获胜，概率为P2=C21（1）=因此，甲队获胜的概率为P=P1+P2=故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13观察下列式子：1+，1+，1+，则可归纳出（nN*）【考点】归纳推理【分析】根据所给的几个不等式归纳出左边、右边的规律，根据此规律可归纳出第n个不等式【解答】解：由题意知，：1+，1+，1+，观察可得：每
16、个不等式的左边是正整数的倒数之和，且最后一项的分母是项数加1，右边是分数，且分母是项数加1、分子是以3为首项、2 为公差的等差数列，可归纳出第n个不等式：（nN*），故答案为：（nN*）14若，则（a0+a2+a4）2（a1+a3）2的值为1【考点】二项式定理的应用【分析】根据所给的等式，给变量赋值，当x为1时，得到一个等式，当x为1时，得到另一个等式，而（a0+a2+a4）2（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0a1+a2a3+a4），代入即可求得结果【解答】解：，当x=1时，（2）4=a0a1+a2a3+a4当x=1时，（2）4=a0+a1+a2+a3+a4而（a0+a2
17、+a4）2（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0a1+a2a3+a4）=（2）4（2）4=1（a0+a2+a4）2（a1+a3）2=1，故答案为115设随机变量X服从二项分布B（n，p），且E（X）=1.6，D（X）=1.28，则n=8，p=0.2【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型【分析】根据随机变量符合二项分布，由二项分布的期望和方差的公式，及条件中所给的期望和方差的值，列出期望和方差的关系式，得到关于n和p的方程组，解方程组得到n，p的值【解答】解：随机变量X服从二项分布B（n，p），且E（X）=1.6，D（X）=1.28，EX=1.6=np，D=1.28=np（1
18、p），与相除可得1p=0.8，p=0.2，n=8故答案为：8；0.216下列四个命题中正确的有（填上所有正确命题的序号）若实数a，b，c满足a+b+c=3，则a，b，c中至少有一个不小于1若z为复数，且|z|=1，则|zi|的最大值等于2任意x（0，+），都有xsinx定积分dx=【考点】命题的真假判断与应用；微积分基本定理；复数求模【分析】可运用反证法，即可判断；运用|zi|z|+|i|=2，即可得到最大值；运用导数，判断函数的单调性，再由单调性可证；定积分dx表示圆y=（0x）的面积，算出即可【解答】解：若实数a，b，c满足a+b+c=3，则用反证法，假设a，b，c都小于1，则a+b+c3
19、，矛盾，故可得a，b，c中至少有一个不小于1，故正确；若z为复数，且|z|=1，则由|zi|z|+|i|=2，可得|zi|的最大值等于2，故正确；任意x（0，+），根据（xsinx）的导数为1cosx0，可得（xsinx）在R上为增函数，再根据当x=0时，（xsinx）=0，可得任意x（0，+），都有xsinx0，故正确定积分dx表示圆y=（0x）的面积，则为，故正确故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17实数m取什么数值时，复数z=m21+（m2m2）i分别是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数【考点】复数的基本概念【分析】（1）根据复数的
20、基本概念，当复数是一个实数时，需要使得虚部等于0，得到关于m的方程，得到结果（2）根据复数的基本概念，当复数是一个虚数时，需要使得虚部不等于0，得到关于m的方程，得到结果（3）根据复数的基本概念，当复数是一个纯虚数时，需要使得虚部不等于0，实部等于0，得到关于m的方程，得到结果【解答】解：（1）复数z=m21+（m2m2）i是实数，m2m2=0，m=1m=2（2）复数z=m21+（m2m2）i是虚数，m2m20m1m2（3）复数z=m21+（m2+3m+2）i是纯虚数m2m20且m21=0m=118某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间的定价增加1
21、0元时，就会有一个房间空闲如果游客入住房间，宾馆每间每天将花费20元的各种费用当房间定价为多少的时候，宾馆获得的利润最大？【考点】函数最值的应用【分析】设出每间房的定价，从而利用租房利润减去维护费，可得利润函数，利用配方法，即可求得结论【解答】解：设该宾馆房间的定价为元（xN），利润为y元，那么宾馆内有（50x）个房间被旅客居住，于是y=（50x）=10x2+340x+8000=10（x17）2+10890，当x=17，即房间的定价为每间350元时，宾馆所获得的利润最大答：当房间定价为每间350元时，宾馆获得的利润最大19有6名同学站成一排，求：（1）总共有多少种不同的排法；（2）甲、乙、丙不
22、相邻有多少种不同的排法【考点】排列、组合的实际应用【分析】（1）求出6名同学的全排列即可；（2）先将其余3名同学全排列，形成4个空，再进行插入，可得不同的排法【解答】解：（1）6名同学的全排列=720；（2）先将其余3名同学全排列，形成4个空，再进行插入，可得不同的排法种20某运动员射击一次所得环数X的分布如下：X78910P0.20.30.30.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为（）求该运动员两次都命中7环的概率；（）求的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列【分析】（I）由题意知运动员两次射击是
23、相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率，得到该运动员两次都命中7环的概率（II）该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩记为，的可能取值为7、8、9、10，结合变量对应的事件，写出变量的概率，写出分布列和期望【解答】解：（I）由题意知运动员两次射击是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到该运动员两次都命中7环的概率为P（7）=0.20.2=0.04（II）该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩记为，的可能取值为7、8、9、10P（=7）=0.04P（=8）=20.20.3+0.32=0.21P=（=9）=20.20.3+20.30.3+0.32=0.39P=（=10）=20.20.2
24、+20.30.2+20.30.2+0.22=0.36的分布列为78910P0.040.210.390.36的数学期望为E=70.04+80.21+90.39+100.36=9.0721在数列an中，an+1=（1）计算a2，a3，a4并猜想数列an的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想【考点】数学归纳法；数列递推式【分析】（1）根据，an+1=可求出a2，a3，a4的值，根据前四项的值可猜想数列an的通项公式；（2）根据数学归纳法的步骤进行证明即可【解答】解：（1），an+1=a2=，a3=，a4=猜想数列an的通项公式为an=（2）n=1时，a1=满足通项公式；假设当n=k时猜想成立，即
25、，则=，当n=k+1时猜想也成立综合，对nN*猜想都成立22已知函数f（x）=lnx+ax2+x（aR）（1）若函数f（x）在x=1处的切线平行于x轴，求实数a的值，并求此时函数f（x）的极值；（2）求函数f（x）的单调区间【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（1）由条件求得f（x），再根据有f（1）=0，求得a的值（2）由条件求得f（x），分类讨论、利用导数的符号求粗函数的单调区间【解答】解：（1）函数f（x）=lnx+ax2+x的定义域为（0，+），f（x）=+2ax+1，依题意有f（1）=1+2a+1=0，解得a=1此时，f（x）=，当0x1时，f（x）0，当
26、x1时，f（x）0，函数f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数，当x=1时，函数f（x）取得极大值，极大值为0（2）因为f（x）=，（）当a0时，因为x（0，+），所以f（x）=0，此时函数f（x）在（0+）是增函数（）当a0时，令f（x）=0，则2ax2+x=1=0因为=18a0，此时，f（x）=，其中，x1=，x2=因为a0，所以 x20，又因为 x1x2=0，所以x10当0x1x2时，f（x）0，当x1x2时，f（x）0，函数f（x）在（0，x2）上是增函数，在（x2，+）上是减函数综上可知，当a0时，函数f（x）的单调递增区间是（0，+）；当a0时，函数f（x）的单调递增区间是（0，），单调递减区间是（，+）2016年9月28日