1、分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置，在选择题、填空题、解答题中都会涉及到分类讨论的思想方法，其难度在0.40.6之间.考试要求：考试说明强调，对于数学思想和方法的考查要与数学知识的考查结合进行，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度考查时，要从学科整体意识和思想含义上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度 题型一 由概念引起的分类讨论 例1.平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于、两点求证：“如果
2、直线过点，那么”是真命题. 点拨：（1）联立直线和抛物线，根据向量数量积定义，利用根与系数的关系，可求得；（2）设直线方程时须考虑直线斜率是否存在. 证明：设过点的直线交抛物线于点.（1）当直线的钭率不存在时, 直线的方程为,此时,直线与抛物线相交于. .（2）当直线的斜率存在时,设过点的直线的方程为， 由得 又 ， ，综上所述，命题“如果直线过点，那么”是真命题； 易错点：（1）在本例中，非常容易遗漏当直线的斜率不存在时对命题的论证，习惯性地设直线的方程为，直接求得，从而证明命题是真命题.显然这种证法是不严密的.（2）此题是由概念引起的分类讨论，相关的题目很多，如集合是否为空集的讨论；指数函
3、数、对数函数底数的讨论；公比、斜率的讨论等. 变式与引申1：已知集合，若时，则实数的取值范围是_. 题型二 由参数引起的分类讨论 例2.（2011全国课标卷理科第21题）已知函数，曲线在点处的切线方程为。（）求、的值；（）如果当，且时，求的取值范围。 点拨：（1）此题是与导数有关的一类问题，思路为：求导函数，再利用和求出的值；（2）由于该题存在参数，因此应对参数进行分类讨论.解：（）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，。（）由（）知，所以。考虑函数，则。(i)设，由知，当时，.而，故当时，可得；当x（1，+）时，h（x）0从而当x0,且x1时，f（x）-（+）0，即f（x）+.（ii）设.由于
4、当x（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x0,故,而h（1）=0，故当x（1，）时，可得,与题设矛盾.（iii）设.此时,而h（1）=0，故当x（1，+）时，可得,与题设矛盾. 综合得，k的取值范围为（-，0变式与引申2：（1）解关于的不等式：.（2）设为实常数，问方程表示的曲线是何种曲线？题型三由自变量引起的分类讨论例3.若不等式在内恒成立，求实数的取值范围.点拨：该题是恒成立问题，其实就是求最值问题，由于，的符号不确定，因此在参变量分离时应对范围进行分类讨论.解：令，则（1）当时，则， 而此时，；（2）当时，则， 而此时，；（3）当时，原不等式化为恒成立.综上所述，的取值范围是.易错点
5、：（1）该题在参变量分离时经常会不考虑自变量的取值范围，直接化为，求得；（2）在分类讨论后，往往没有把最后结果取交集.审题时一定要分清讨论的目标是自变量还是参数，当讨论自变量时结果取交集，当讨论参数时注意分情况写出.变式与引申3：（1）设,则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. （2）已知是不为零的实数，,则 . 题型四 由运算引起的分类讨论 例4.已知函数()证明：曲线（）若求a的取值范围.点拨:第(I)问直接利用导数的几何意义，求出切线的斜率，然后易写出直接方程.(II)第（II）问是含参问题，关键是抓住方程的判别式进行分类讨论.解：（I）.由得曲线在x=0处的切线方程为由此知曲线在
6、x=0处的切线过点（2，2）.（II）由得（i）当时，没有极小值；(ii)当或时，由得故。由题设知，当时，不等式无解；当时，解不等式得综合(i)(ii)得的取值范围是. 易错点：（1）首先该题不知道对方程的判别式进行分类讨论；（2）其次，解不等式运算出错.变式与引申4：（1）若，求数列的前项和.（2）已知等差数列的前项和.求数列的前项和. 本节主要考查：（1）本节考查的是分类讨论的数学思想方法，高中数学的每一个知识点都可能成为分类讨论考查的对象，因此牢固掌握各章的基本知识点和基本原理是分类讨论的基础.（2）分类讨论的原则有：同一性原则、互斥性原则、层次性原则. 同一性原则简言之即“不遗漏”；互
7、斥性原则强调的是“避免重复”； 层次性原则是指分类讨论必须按同一标准的层次进行,不同标准的不同层次的讨论不能混淆.（3）分类讨论的思想方法是把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化,使“大”问题转化为“小”问题,便于求解.它的思维策略是“化整为零，各个击破”. 点评：（1）分类讨论思想是数学思想方法中最基本、最常见的一种思想方法，在近几年的高考试题中都把分类讨论思想方法列为重要的思想方法来考查，体现出其重要的位置.分类讨论的思想方法不仅具有明显的逻辑性、题型覆盖知识点较多、综合性强等特点，而且还有利于对学生知识面的考查、需要学生有一定的分析能力、一定分类技巧，对学生能力的
8、考查有着重要的作用.（2）引入分类讨论的主要原因由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、直线的斜率等；由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、对数中真数与底数的要求等；由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；由图形的不确定引起的分类讨论；由参数的变化引起的分类讨论；按实际问题的情况而分类讨论.（3）分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结（4）解题时把好“四关”要深刻理解基本知识与基本原理，把好“基础关”；要找准划分标准，把好“分类关”；要保证条理分明，层次清晰，把好“逻辑关”；要注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，
9、把好“检验关”. 习题8-31. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A当时，有最小值0 B当时，有最大值0 C无最大值和最小值 D有最小值无最大值2.数列的通项，其前项和为，则=_3.已知集合,，若,求的取值范围.4.已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：，动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数.求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.5. （2011湖南文科）设函数(I)讨论的单调性；（II）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由【答案】变式与引申1:，.（2）当时，.综上，在等比数列中，成立.变式与引申2：解：（1）当时，；当时，
10、；当时，；当时，；当时，.（2）当时，方程变为，即，表示直线；当时，方程变为，即，表示直线；当且时，方程变为，又有以下五种情形讨论：）当时，方程表示中心在原点，焦点在轴上的双曲线；）当时，方程表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆；）当时，方程表示圆心在圆点的圆；）当时，方程表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆；）当时，方程表示中心在原点，焦点在轴上的双曲线变式与引申3:解：（1）当时,解得；当时，解得 综上所述，可得不等式的解集为.故选C.（2）变式与引申4：（1）当为偶数时， 当为奇数时，.综上，（2）当时， 当时，综上，习题8-31.C.2. 470. 提示：由于以3 为周期,故3. 解：由于,且
11、,则集合可能是空集、单元素集合和两个元素集合.(1)当,即时,因为,满足,所以(2)当，即时,由得(3)当,即或时,综上可得,当时,4. 解: 如图解829设MN切圆C于N，则动点M组成的集合是. ONMN, ON=1，设动点M的坐标为，则即 9 经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P，故方程为所求的轨迹方程. （1）当时，方程为，它是垂直于x轴且与x轴相交于点的直线；（2）当时，方程化为，它是以为圆心，为半径的圆.5. 解析：（I）的定义域为 令(1) 当故上单调递增(2) 当的两根都小于0，在上，故上单调递增(3) 当的两根为，当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减（II）由（I）知，因为，所以