1、2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何一、选择题 （2013年高考新课标1（理）如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 （）ABCD【答案】A （2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版）设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A若,则B若,则 C若,则D若,则【答案】D （2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为,则这两个球的体积之比为（）ABCD【答案】C （2013年普通高等学校招
2、生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对）已知正四棱柱中,则与平面所成角的正弦值等于（）ABCD【答案】A （2013年高考新课标1（理）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）ABCD【答案】A （2013年高考湖北卷（理）一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有（）ABCD 【答案】C （2013年高考湖南卷（理）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A BCD 【答案】C （2013年普通高等学校招生统一考试广东省
3、数学（理）卷（纯WORD版）某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 正视图俯视图侧视图第5题图（）ABCD【答案】B （2013年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯WORD版含答案）已知为异面直线,平面,平面.直线满足,则（）A,且B,且C与相交,且交线垂直于D与相交,且交线平行于【答案】D （2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）已知三棱柱的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形.若为底面的中心,则与平面所成角的大小为（）ABCD【答案】B （2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）某几何体的三视图如题图所示,则该几何体
4、的体积为（）ABCD【答案】C （2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版）已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,则球的半径为（）ABCD 【答案】C （2013年高考江西卷（理）如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为,那么（）A8B9C10D11【答案】A （2013年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯WORD版含答案）一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是,画该四面体三视图中的正视图时,以平面为投影面,则得到正视图可以为 （）ABCD【答案】A （2013年普通高等学校
5、招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版）在下列命题中,不是公理的是（）A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A （2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版）在空间中,过点作平面的垂线,垂足为,记.设是两个不同的平面,对空间任意一点,恒有,则（）A平面与平面垂直B平面与平面所成的(锐)二面角为 C平面与平面平行D平面与平面所成的(锐)二面角为 【答案】A （2013年高考四
6、川卷（理）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是 【答案】D 二、填空题（2013年高考上海卷（理）在平面上,将两个半圆弧和、两条直线 和围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分.记D绕y轴旋转一周而成的几何体为,过作的水平截面,所得截面面积为,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出的体积值为_【答案】. （2013年高考陕西卷（理）某几何体的三视图如图所示, 则其体积为_.【答案】 （2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对）已知圆和圆是球的大圆和小圆,其公共弦长等于球的半径,且圆与圆所在的平面所成的一个二面角为,则球的表面积等于_.【答
7、案】 （2013年高考北京卷（理）如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为_.【答案】 （2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题）如图,在三棱柱中,分别是的中点,设三棱锥的体积为,三棱柱的体积为,则_.【答案】 （2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版）若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于_.43233正视图侧视图俯视图（第12题图）【答案】24 （2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版
8、）如图,正方体的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号).当时,S为四边形;当时,S为等腰梯形;当时,S与的交点R满足;当时,S为六边形;当时,S的面积为.【答案】 （2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是_.【答案】 （2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版）已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是_【答
9、案】 （2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在如图所示的正方体中,异面直线与所成角的大小为_D1C1B1A1DCAB【答案】 三、解答题（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版）如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.(I)求证:(II)【答案】 （2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）如图,四棱锥中,为的中点,.(1)求的长; (2)求二面角的正弦值.【答案】 （2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版）如图,圆锥顶点为.底面圆心为,其母线与底面所成的角为22.5.和是底面圆上的两条平行的弦
10、,轴与平面所成的角为60.()证明:平面与平面的交线平行于底面; ()求.【答案】解: () . 所以,. () . . . 法二: （2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版）如图,在四面体中,平面,.是的中点, 是的中点,点在线段上,且.(1)证明:平面;(2)若二面角的大小为,求的大小.ABCDPQM（第20题图）【答案】解:证明()方法一:如图6,取的中点,且是中点,所以.因为是中点,所以;又因为()且,所以,所以面面,且面,所以面; 方法二:如图7所示,取中点,且是中点,所以;取的三等分点,使,且,所以,所以,且,所以面; ()如图8所示,由已知得到面面,过
11、作于,所以,过作于,连接,所以就是的二面角;由已知得到,设,所以 , 在中,所以在中, ,所以在中 ; （2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如图,在正三棱锥中,异面直线与所成角的大小为,求该三棱柱的体积.B1A1C1ACB【答案】解因为 . 所以为异面直线与.所成的角,即=. 在Rt中, 从而, 因此该三棱柱的体积为. （2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题）本小题满分14分.如图,在三棱锥中,平面平面,过作,垂足为,点分别是棱的中点.求证:(1)平面平面; (2).【答案】证明:(1),F分别是SB的中点 E.F分别是SA.SB的中点
12、 EFAB 又EF平面ABC, AB平面ABC EF平面ABC 同理:FG平面ABC 又EFFG=F, EF.FG平面ABC平面平面 (2)平面平面 平面平面=BC AF平面SAB AFSB AF平面SBC 又BC平面SBC AFBC 又, ABAF=A, AB.AF平面SAB BC平面SAB又SA平面SABBCSA （2013年高考上海卷（理）如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明直线BC1平行于平面DA1C,并求直线BC1到平面D1AC的距离.【答案】因为ABCD-A1B1C1D1为长方体,故, 故ABC1D1为平行四边形,故,显然B不在平面D1A
13、C上,于是直线BC1平行于平面DA1C; 直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为 考虑三棱锥ABCD1的体积,以ABC为底面,可得 而中,故 所以,即直线BC1到平面D1AC的距离为. （2013年高考湖北卷（理）如图,是圆的直径,点是圆上异于的点,直线平面,分别是,的中点.(I)记平面与平面的交线为,试判断直线与平面的位置关系,并加以证明;(II)设(I)中的直线与圆的另一个交点为,且点满足.记直线与平面所成的角为,异面直线与所成的角为,二面角的大小为,求证:.第19题图【答案】解:(I), 又 (II)连接DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,
14、向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.) （2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版）如图1,在等腰直角三角形中,分别是上的点,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.() 证明:平面; () 求二面角的平面角的余弦值.COBDEACDOBE图1图2【答案】() 在图1中,易得 CDOBEH 连结,在中,由余弦定理可得 由翻折不变性可知, 所以,所以, 理可证, 又,所以平面. () 传统法:过作交的延长线于,连结, 因为平面,所以, 所以为二面角的平面角. 结合图1可知,为中点,故,从
15、而 CDOxE向量法图yzB所以,所以二面角的平面角的余弦值为. 向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示, 则, 所以, 设为平面的法向量,则 ,即,解得,令,得 由() 知,为平面的一个法向量, 所以,即二面角的平面角的余弦值为. （2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案）如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱A1A底面ABCD, AB/DC, ABAD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点. () 证明B1C1CE; () 求二面角B1-CE-C1的正弦值. () 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD
16、1A1所成角的正弦值为, 求线段AM的长. 【答案】 （2013年高考新课标1（理）如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,BA A1=60.()证明ABA1C;()若平面ABC平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.【答案】()取AB中点E,连结CE, AB=,=,是正三角形, AB, CA=CB, CEAB, =E,AB面, AB; ()由()知ECAB,AB, 又面ABC面,面ABC面=AB,EC面,EC, EA,EC,两两相互垂直,以E为坐标原点,的方向为轴正方向,|为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系, 有题设知A(
17、1,0,0),(0,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则=(1,0,),=(-1,0,),=(0,-,), 设=是平面的法向量, 则,即,可取=(,1,-1), =, 直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为 （2013年高考陕西卷（理）如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O平面ABCD, . () 证明: A1C平面BB1D1D; () 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小. 【答案】解:() ;又因为,在正方形AB CD中,. 在正方形AB CD中,AO = 1 . . .(证毕) () 建立直角坐标系统,使用向量解题
18、. 以O为原点,以OC为X轴正方向,以OB为Y轴正方向.则 . 由()知, 平面BB1D1D的一个法向量 设平面OCB1的法向量为 . 所以,平面OCB1与平面BB1D1D的夹角为 （2013年高考江西卷（理）如图,四棱锥中,连接并延长交于.(1)求证:;(2)求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】解:(1)在中,因为是的中点,所以, 故, 因为,所以, 从而有, 故,又因为所以. 又平面, 所以故平面. (3)以点为坐标原点建立如图所示的坐标系,则, (4) ,故 设平面的法向量,则 , 解得,即. 设平面的法向量,则,解得, 即.从而平面与平面的夹角的余弦值为. （2013年高考四川卷（理）
19、如图,在三棱柱中,侧棱底面,分别是线段的中点,是线段的中点.()在平面内,试作出过点与平面平行的直线,说明理由,并证明直线平面;()设()中的直线交于点,交于点,求二面角的余弦值.【答案】解:如图,在平面内,过点做直线/,因为在平面外, 在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知, /平面. 由已知,是的中点,所以,则直线. 因为平面,所以直线.又因为在平面内,且与相交,所以直线平面 解法一: 连接,过作于,过作于,连接. 由知,平面,所以平面平面. 所以平面,则. 所以平面,则. 故为二面角的平面角(设为). 设,则由,有,. 又为的中点,所以为的中点,且, 在中, ;在中, . 从而, 所以
20、. 所以. 故二面角的余弦值为 解法二: 设.如图,过作平行于,以为坐标原点,分别以,的方向为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系(点与点重合). 则,. 因为为的中点,所以分别为的中点, 故, 所以,. 设平面的一个法向量为,则 即故有 从而 取,则,所以. 设平面的一个法向量为,则 即故有 从而 取,则,所以. 设二面角的平面角为,又为锐角, 则. 故二面角的余弦值为 （2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题）本小题满分10分.如图,在直三棱柱中,点是的中点(1)求异面直线与所成角的余弦值(2)求平面与所成二面角的正弦值.【答案】本题主要考察
21、异面直线.二面角.空间向量等基础知识以及基本运算,考察运用空间向量解决问题的能力. 解:(1)以为为单位正交基底建立空间直角坐标系, 则, , 异面直线与所成角的余弦值为 (2) 是平面的的一个法向量 设平面的法向量为, 由 取,得,平面的法向量为 设平面与所成二面角为 , 得 平面与所成二面角的正弦值为 （2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对）如图,四棱锥中,与都是等边三角形.(I)证明: (II)求二面角的大小.【答案】 （2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）如图所示,在三棱锥中,平面, 分别是的中点, ,与交于点,与交于点,
22、连接.()求证:; ()求二面角的余弦值.【答案】解:()证明:因为 分别是的中点, 所以,所以, 又平面,平面, 所以平面, 又平面,平面平面, 所以, 又, 所以. ()解法一:在中, , 所以,即,因为平面,所以, 又,所以平面,由()知, 所以平面,又平面,所以,同理可得, 所以为二面角的平面角,设,连接, 在中,由勾股定理得, 在中,由勾股定理得, 又为的重心,所以 同理 , 在中,由余弦定理得, 即二面角的余弦值为. 解法二:在中, 所以,又平面,所以两两垂直, 以为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设,则,所以, 设平面的一个法向量为, 由, 得
23、 取,得. 设平面的一个法向量为 由, 得 取,得.所以 因为二面角为钝角,所以二面角的余弦值为. （2013年高考湖南卷（理）如图5,在直棱柱,.(I)证明:; (II)求直线所成角的正弦值.【答案】解: () . (证毕) () . （2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版）如图,在四棱柱中,侧棱,.(1)求证:(2)若直线与平面所成角的正弦值为,求的值;(3)现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱,规定:若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案.问:共有几种不同的方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为,写
24、出的表达式(直接写出答案,不必要说明理由)【答案】解:()取中点,连接 , 四边形为平行四边形 且 在中, ,即,又,所以 平面,平面 ,又, 平面 ()以为原点,的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系, 所以, 设平面的法向量,则由 得取,得 设与平面所成角为,则 ,解得.故所求的值为1 ()共有种不同的方案 （2013年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯WORD版含答案）如图,直棱柱中,分别是的中点,.()证明:平面; ()求二面角的正弦值.【答案】 （2013年高考北京卷（理）如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC平面AA1C
25、1C,AB=3,BC=5.()求证:AA1平面ABC;()求二面角A1-BC1-B1的余弦值;()证明:在线段BC1存在点D,使得ADA1B,并求的值.【答案】解: (I)因为AA1C1C为正方形,所以AA1 AC. 因为平面ABC平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1平面ABC. (II)由(I)知AA1 AC,AA1 AB. 由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以ABAC. 如图,以A为原点建立空间直角坐标系A-,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4), 设平面A1BC1的法向量为,则,即, 令,则,所以. 同理可得,平面BB1C1的法向量为,所以. 由题知二面角A1-BC1-B1为锐角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为. (III)设D是直线BC1上一点,且. 所以.解得,. 所以. 由,即.解得. 因为,所以在线段BC1上存在点D, 使得ADA1B. 此时,.
