1、四川省成都石室中学2021届高三数学上学期开学考试试题 理一、选择题（共12小题；共60分）1.已知集合，则集合的元素个数是（ ）A0 B1 C2 D32i为虚数单位， ， 则的共轭复数为 （ ）A. B C. D3石室中学为了解1 000名学生的身体素质，将这些学生编号为1，2，1 000，从这些学生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则以下4名学生中被抽到的是（ ）A8号学生B200号学生C616号学生D815号学生4函数的零点所在的大致区间是（ ）A B C D5已知向量，则是/的（ ）A充要条件 B既不充分也不必要条件 C必要不充分条件 D充分不必要条
2、件6 已知的内角的对边分别为，若，则为（ ）A60 B60或120C30 D30或1507下列函数中，既是奇函数又在单调递减的函数是（ ）A B CD8抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，点在抛物线上，当时，的面积为（ ）A1BC2D9. 如图是用模拟方法估计圆周率的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）A B C D10. 已知，则的大小关系为（ ）A B C D11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为（ ）ABCD12.已知a为常数，函数有两个极值点x1，x2(x1x2)，则下列结论正确的是（ ） A B. C D二、填空题（共4小题；共20分）13.已知双曲线
3、的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_14.九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各得几何”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为_钱.15已知是定义域为的奇函数，是的导函数，当时，则使得成立的的取值集合是_16.已知棱长为1的正方体，过对角线作平面交棱于点，交棱于点，则：平面分正方体所得两部分的体积相等；四边形一定是平行四边形；平面与平面不可能垂直； 四边形的面积的最大值为.其中所有正确结
4、论的序号为_ 三、解答题（共6小题；共70分）17. (本题满分12分)石室中学高三学生摸底考试后，从全体考生中随机抽取名，获取他们本次考试的数学成绩()和物理成绩()，绘制成如图散点图：根据散点图可以看出与之间有线性相关关系，但图中有两个异常点经调查得知，考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，考生因故未能参加物理考试为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：其中分别表示这名同学的数学成绩、物理成绩，与的相关系数（）若不剔除两名考生的数据，用组数据作回归分析，设此时与的相关系数为试判断与的大小关系（不必说理由）；（）求关于的线性回归方程，并估计如果考生参加
5、了这次物理考试（已知考生的数学成绩为分），物理成绩是多少？ 附：回归方程中, 18已知三次函数(为常数).（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若，讨论函数在的单调性.19.如图，四边形与均为菱形，且（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值20在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，短轴长为2，直线与椭圆有且只有一个公共点（1）求椭圆的方程；（2）是否存在以原点为圆心的圆满足：此圆与直线相交于，两点（两点均不在坐标轴上），且，的斜率之积为定值，若存在，求出此定值和圆的方程；若不存在，请说明理由21已知函数，其中常数，自然常数.（）当实数时，求在区间上的最值；（）设函数在区间上存在极
6、值，求证：.22在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为为参数）（）写出的极坐标方程；（）过原点的射线与的异于极点的交点为，为上的一点，且，求面积的最大值石室中学高2021届2020-2021学年度上期数学入学考试参考答案（理科）123456789101112BACADCDCDDCC13. 14. 15 ， 16. 17.（）.4分（）由题中数据可得：，.6分所以.8分又因为，所以，所以，.10分将代入，得，所以估计同学的物理成绩为分.12分18（1）当时，函数即切线的斜率.2分切线方程为即切线为：.4分（2）对称轴为.5分当时，即，在
7、上单调递增；.8分当时，即，又 令，则，当或时，；当时，；在，上单调递增；在上单调递减. .12分19.（1）设与相交于点，连接，四边形为菱形，且为中点，,又，平面.5分（2）连接，四边形为菱形，且，为等边三角形，为中点，又，平面.两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示，7分设，四边形为菱形， ，. 为等边三角形，.，.设平面的法向量为，则，取，得.设直线与平面所成角为，10分则. 12分20解：（1）由离心率为，可得，由短轴长为2，可得， 1分又，解得，则椭圆的方程为； 4分（2）存在符合条件的圆，此圆的方程为证明如下：假设存在符合条件的圆，设此圆的方程为，当直线的斜率存在时，设的方程为，由
8、可得，5分因为直线与椭圆有且只有一个交点，所以，即，6分由方程组可得，则，设，则，7分设直线，的斜率为，所以9分将代入上式，可得，10分要使为定值，则，即，验证符合题意所以当圆的方程为时，圆与的交点，满足为定值，11分当直线的斜率不存在时，由题意可得的方程为，此时圆与的交点为，也满足，综上可得当圆的方程为时，直线与圆的交点，满足斜率之积为定值12分21（）当时，所以在单减，在单增，2分，所以，5分（）依题意，则，令，所以在上是单调增函数要使得在上存在极值，则须满足即所以，即8分所以当时，令，所以所以，11分即，所以12分22（）由曲线的参数方程为参数）可得曲线的普通方程为将，代入上式，得所以的极坐标方程为 4分（）设点的极坐标为，点的极坐标为，则， 6分于是的面积 9分当时，取得最大值所以面积的最大值为10分