1、2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十二命题人：南昌二中 高三（01）班 张阳阳一、选择题(36分)1已知数列xn满足xn+1=xnxn1(n2)，x1=a， x2=b， 记Sn=x1+x2+L+xn，则下列结论正确的是(A)x100=-a，S100=2b-a (B)x100=-b，S100=2b-a(C)x100=-b，S100=b-a (D)x100=-a，S100=b-a2如图，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得= (0f()f(d)f() (B) f() f(d)f()f() (C) f(d)f()f()f() (D) f(d)f()f()f() 6如果空间三条直线
2、a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有(A) 0条 (B) 1条 (C)多于1 的有限条 (D) 无穷多条二填空题(每小题9分，共54分)1设x，y为实数，且满足则x+y = .2过双曲线x2=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数使得|AB| =的直线l恰有3条，则= .3已知复数z满足=1，则z的幅角主值范围是 4已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为 5设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一若在
3、5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种6设a =logz+logx(yz)-1+1，b =logx-1+log(xyz+1)，c =logy+log(xyz)-1+1，记a，b，c中最大数为M，则M的最小值为 三、（20分）设xyz，且x+y+z =，求乘积cosx siny cosz的最大值和最小值四、(20分)设双曲线xy=1的两支为C1，C2(如图)，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上(1)求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；(2)设P(-1，-1)在C2上， Q、R在C1上，求顶点Q、R的坐
4、标五、(20分)设非零复数a1，a2，a3，a4，a5满足其中S为实数且|S|2求证：复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十二参考答案一、选择题(每小题6分，共36分)1已知数列xn满足xn+1=xnxn1(n2)，x1=a， x2=b， 记Sn=x1+x2+L+xn，则下列结论正确的是(A)x100=-a，S100=2b-a (B)x100=-b，S100=2b-a(C)x100=-b，S100=b-a (D)x100=-a，S100=b-a解：x1=a，x2=b，x3=ba，x4=a，x5=b，x6=ab，x7=a，x8=
5、b，易知此数列循环，xn+6=xn，于是x100=x4=a，又x1+x2+x3+x4+x5+x6=0，故S100=2ba选A2如图，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得= (0+)，记f()=+其中表示EF与AC所成的角，表示EF与BD所成的角，则 (A) f()在(0，+)单调增加 (B) f()在(0，+)单调减少 (C) f() 在(0，1)单调增加，而在(1，+单调减少 (D) f()在(0，+)为常数解：作EGAC交BC于G，连GF，则=，故GFBD故GEF=，GFE=，但ACBD，故EGF=90故f()为常数选D3设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且
6、各项的和为972，则这样的数列共有(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个解：设首项为a，公差为d，项数为n，则na+n(n1)d=972，n2a+(n1)d=2972，即n为2972的大于3的约数 n=972，2a+(9721)d=2，d=0，a=1；d1时a0有一解；n=97，2a+96d=194，d=0，a=97；d=1，a=a=49；d=2，a=1.有三解； n=297，n=2972，无解n=1，2时n3.选C4在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x2y+3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为 (A)(0，1) (B)(1，+) (C)(0，5) (D)(5
7、，+)解：看成是轨迹上点到(0，1)的距离与到直线x2y+3=0的距离的比：=5，选D5设f(x)=x2x，a = arcsin，=arctan，=arcos()，d=arccot()，则 (A)f()f()f(d)f() (B) f() f(d)f()f() (C) f(i)f()f()f() (D) f(d)f()f()f() 解：f(x)的对称轴为x=， 易得， 00故f(t)单调增，现x1=1y，x+y=22过双曲线x2=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数使得|AB| =的直线l恰有3条，则= 解：右支内最短的焦点弦=4又2a=2，故与左、右两支相交的焦点弦长2a=2，这样
8、的弦由对称性有两条故=4时设AB的倾斜角为，则右支内的焦点弦=4，当=90时，=4与左支相交时，=arccos时，=4故=43已知复数z满足=1，则z的幅角主值范围是 解：=14r4+(4cos21)r2+1=0，这个等式成立等价于关于x的二次方程4x2+(4cos21)x+1=0有正根=(4cos21)2160，由x1x2=0，故必须x1+x2=0cos2 (2k+1)arccos2(2k+1)+arccos k+arccosk+arccos，(k=0，1)4已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面
9、上，则点O到平面ABC的距离为 解：SA=SB=SC=2，S在面ABC上的射影为AB中点H， SH平面ABC SH上任意一点到A、B、C的距离相等 SH=，CH=1，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，则O为SABC的外接球球心SM=1，SO=， OH=，即为O与平面ABC的距离5设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种解：青蛙跳5次，只可能跳到B、D、F三点(染色可证)青蛙顺时针跳1次算+1，逆时针跳1次算1，
10、写5个“1”，在中填“+”号或“”号： 11111规则可解释为：前三个中如果同号，则停止填写；若不同号，则后2个中继续填写符号前三同号的方法有2种；前三个不同号的方法有232=6种，后两个中填号的方法有22种 共有2+64=26种方法6设a =logz+logx(yz)-1+1，b =logx-1+log(xyz+1)，c =logy+log(xyz)-1+1，记a，b，c中最大数为M，则M的最小值为 解：a=log(+z)，b=log(yz+)，c=log(+y) a+c=log(+yz+x)2log2于是a、c中必有一个log2即Mlog2，于是M的最小值log2但取x=y=z=1，得a=
11、b=c=log2即此时M=log2于是M的最小值log2 所求值=log2三、（本题满分20分）设xyz，且x+y+z=，求乘积cosx siny cosz的最大值和最小值解：由于xyz，故x2= cosx siny cosz=cosxsin(y+z)+sin(yz)=cos2x+cosxsin(yz)cos2=即最小值 (由于x，yz，故cosxsin(yz)0)，当y=z=，x=时，cosx siny cosz= cosx siny cosz=coszsin(x+y)sin(xy)=cos2zcoszsin(xy)由于sin(xy)0，cosz0，故cosx siny coszcos2z=
12、cos2=(1+cos)=当x= y=，z=时取得最大值 最大值，最小值四、(本题满分20分)设双曲线xy=1的两支为C1，C2(如图)，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上(1)求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；(2)设P(-1，-1)在C2上， Q、R在C1上，求顶点Q、R的坐标解：设某个正三角形的三个顶点都在同一支上此三点的坐标为P(x1，)，Q(x2，)，R(x3，)不妨设0x1x20kPQ=；kQR=；tanPQR=0)则h2(cos2+isin2)Rsin2=0 1h2(cos2+isin2)1h2(cos2+isin2)，cos20=k(kZ) q+R再令q=r(cos+isin)，(r0)则q+=(r+)cos+i(r)sinRsin=0或r=1 若sin=0，则q=r为实数此时q+2或q+2此时q+，或q+此时，由|(q+)2|1，知q=1此时，|ai|=2 若r=1，仍有|ai|=2，故此五点在同一圆周上 若1+q+q2+q3+q4=0则q51=0， |q|=1此时|a1|=|a2|=|a3|=|a4|=|a5|，即此五点在同一圆上综上可知，表示复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上