1、 高三 一轮复习 第九章 计数原理与概率、随机变量及其分布9.9 离散型随机变量的均值与方差、正态分布【教学目标】1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【重点难点】 1.教学重点：理解离散型随机变量的均值、方差的概念、借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图环节二：考纲传真: 1
2、.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.真题再现;1.(2015湖南，7)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附：若XN(，2)，则P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4.A.2 386 B.2 718 C.3 413 D.4 772解析；由XN(0，1)知，P(1X1)0.682 6，P(0X1)0.682 60.341 3，故S0.341 3.落在阴影部分中点
3、的个数x估计值为(古典概型)，x10 0000.341 33 413，故选C.答案C2.(2014全国，18)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差s2.()利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；()某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件
4、数.利用()的结果，求E(X).附：12.2.若ZN(，2)，则P(Z)0.682 6，P(2Z2)0.954 4.解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200，s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.(2)()由(1)知，ZN(200，150)，从而P(187.8Z212.2)P(20012.2Z0，R)我们称函数，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线2正态曲线的性质(1)曲线位于x轴
5、上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x对称；(3)曲线在x处达到峰值；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图1091甲所示；(6)当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示 甲乙3正态分布的定义及表示；如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作XN(，2)4正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(1)P(X)0.682_6；(2)P(2X2)0.954_4；(3)P(3X3)0.
6、997_4.1必会结论；(1)均值与方差的关系D(X)E(X2)E2(X)(2)超几何分布的均值；若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X).2必知方法；求离散型随机变量均值与方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解(2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数YaXb的均值、方差，可直接用X的均值、方差的性质求解(3)如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，利用它们的均值、方差公式求解考点分项突破考点一：正态分布1.(2015湖北高考)设XN(1，)，YN(2，)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是()AP(Y2)P(Y
7、1) BP(X2)P(X1)C对任意正数t，P(Xt)P(Yt)D对任意正数t，P(Xt)P(Yt)【解析】由图象知，12，12，P(Y2)，P(Y1)，故P(Y2)P(Y1)，故A错；因为12，所以P(X2)P(X1)，故B错；对任意正数t，P(Xt)P(Yt)，故C错；对任意正数t，P(Xt)P(Yt)是正确的，故选D.【答案】D2(2015山东高考)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P()68.26%，P(22)95.44%.)A4.56% B13.59%C2
8、7.18% D31.74%【解析】由正态分布的概率公式知P(33)0.682 6，P(66)0.954 4，故P(36)0.135 913.59%，故选B.【答案】B归纳：利用正态曲线的性质求概率解此类问题的关键是利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思想及化归思想的运用(1)熟记P(X)，P(2X2)，P(3D(X2)因此，根据商场的设想，应选择方案2.归纳：求离散型随机变量的均值与方差的步骤1理解的意义，写出可能的全部值2求取每个值的概率3写出的分布列4由均值的定义求E()5由方差的定义求D()考点三: 与二项分布有
9、关的均值与方差(1)罐中有6个红球，4个白球，从中任取1个球，记住颜色后再放回，连续取4次，记为取得红球的次数，则E()_，D()_.2)(2015湖南高考)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖求顾客抽奖1次能获奖的概率；若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望【解析】(1)由题意知B，则E()4，D()4.【答案】(2)记事件A1从甲箱中摸出的
10、1个球是红球，A2从乙箱中摸出的1个球是红球，B1顾客抽奖1次获一等奖，B2顾客抽奖1次获二等奖，C顾客抽奖1次能获奖由题意知A1与A2相互独立，A1 与A2互斥，B1与B2互斥，且B1A1A2，B2A1A2，CB1B2.因为P(A1)，P(A2)，所以P(B1)P(A1A2)P(A1)P(A2)，P(B2)P(A1A2)P(A1)P(A2)P(A1)P()P()P(A2)P(A1)(1P(A2)(1P(A1)P(A2).故所求概率为P(C)P(B1B2)P(B1)P(B2).顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以XB.于是P(X0)C03，P(X1
11、)C12，P(X2)C21，P(X3)C30.故X的分布列为X0123PX的数学期望为E(X)3.跟踪训练：1.某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【解】(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影
12、响记“这2人的累计得分X3”为事件A，则事件A的对立事件为“X5”因为P(X5)，所以P(A)1P(X5)，即这2人的累计得分X3的概率为.(2)法一设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，得分为Y1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，累计得分为Y2，则Y12X1，Y23X2.由已知可得，X1B，X2B，所以E(X1)2，E(X2)2，因此E(Y1)2E(X1)，E(Y2)3E(X2).因为E(2X1)E(3X2)，即E(Y1)E(Y2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大法二依题意，累计得分Y1、Y2的分布列为：Y1024PY2036PE(Y1)024，E(Y2)036.因
13、为E(Y1)E(Y2)，所以二人都是选择方案甲抽奖，累计得分的均值较大归纳：与二项分布有关的期望、方差的求法1求随机变量的期望与方差时，可首先分析是否服从二项分布，如果B(n，p)，则用公式E()np，D()np(1p)求解，可大大减少计算量2有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(ab)aE()b以及E()np求出E(ab)，同样还可求出D(ab)。学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。 学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。引导学生通过对基础知识的逐点扫描
14、，来澄清概念，加强理解。从而为后面的练习奠定基础.在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。 通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能力和教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，提高解题技能。环节三：课堂小结：1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.学生回顾，总结.引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。环节四：课后作业：学生版练与测学生通过作业进行课外反思，通过思考发散巩固所学的知识。
