1、基础诊断考点突破课堂总结第2讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.从实际情境中抽象出二元一次不等式(组)，二元一次不等式的几何意义，A级要求；2.用平面区域表示二元一次不等式组，B级要求；3.从实际情况中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决，B级要求基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线不等式AxByC0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线基础诊断考点突破课堂总结(2)对于直线A
2、xByC0同一侧的所有点(x，y)，使得AxByC的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式AxByC0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式AxByC0.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分基础诊断考点突破课堂总结2线性规划的有关概念名称意义线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件目标函数关于x，y的解析式线性目标函数 关于x，y的一次解析式可行解满足的解(x，y)可行域所有组成的集合最优解使目标函数达到或的可行解线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的或的问题
3、线性约束条件最大值最小值最大值最小值可行解基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)不等式AxByC0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上()(4)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距()基础诊断考点突破课堂总结2给出下列各点：(0,0)；(1,1)；(1,3)；(2，3)其中不在xy10表示的平面区域内的是_(填序号)解析 把各点的坐标代入可得(1,3)不适合答案 基础诊断考点突破课堂总结3直线 2xy100
4、 与不等式组x0，y0，xy2，4x3y20表示的平面区域的公共点有_个基础诊断考点突破课堂总结解析 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)直线 2xy100 恰过点 A(5,0)，且其斜率 k2kAB43，即直线 2xy100 与平面区域仅有一个公共点 A(5,0)答案 1基础诊断考点突破课堂总结4(2014天津卷改编)设变量 x，y 满足约束条件xy20，xy20，y1，则目标函数 zx2y 的最小值为_解析 由线性约束条件画出可行域(如图所示)基础诊断考点突破课堂总结由 zx2y，得 y12x12z，12z 的几何意义是直线 y12x12z 在 y 轴上的截距，要使 z 最小，需使12z
5、 最小，易知当直线 y12x12z 过点 A(1,1)时，z 最小，最小值为 3.答案 3基础诊断考点突破课堂总结5(2014安徽卷)不等式组xy20，x2y40，x3y20表示的平面区域的面积为_解析 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分基础诊断考点突破课堂总结由x3y20，x2y40得x8，y2.A(0,2)，B(2,0)，C(8，2)直线 x2y40 与 x 轴的交点 D 的坐标为(4,0)因此 SABCSABDSBCD122212224.故答案为 4.答案 4基础诊断考点突破课堂总结考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 【例1】(1)若不等式组xy0，2xy2，y0，xya
6、表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是_基础诊断考点突破课堂总结(2)若不等式组x0，x3y4，3xy4所表示的平面区域被直线 ykx43分为面积相等的两部分，则 k 的值是_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)不等式组xy0，2xy2，y0表示的平面区域如图(阴影部分)，求 A，B 两点的坐标分别为23，23 和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线 xya 的 a 的取值范围是0a1 或 a43.基础诊断考点突破课堂总结(2)不等式组表示的平面区域如图所示基础诊断考点突破课堂总结由于直线 ykx43过定点0，43.因此只有直线过 AB 中点时，直线 ykx43能平分
7、平面区域因为 A(1,1)，B(0,4)，所以 AB 中点 D12，52.当 ykx43过点12，25 时，52k243，所以 k73.答案(1)(0,143，)(2)73基础诊断考点突破课堂总结规律方法 二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域，注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(1)若函数 y2x图象上存在点(x，y)满足约束条件 xy30，x2y30，xm，则实数 m 的最大值为_(2)在平面直角坐标系中，若不等式组xy10，x
8、10，axy10(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于 2，则 a 的值为_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)在同一直角坐标系中作出函数 y2x 的图象及xy30，x2y30所表示的平面区域，如图阴影部分所示由图可知，当 m1 时，函数 y2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故 m 的最大值为 1.基础诊断考点突破课堂总结(2)不等式组xy10，x10，axy10所围成的平面区域如图其面积为 2，AC4，从而 C 点坐标为(1,4)，代入 axy10，解得 a3.答案(1)1(2)3基础诊断考点突破课堂总结考点二 简单线性目标函数的最值问题【例 2】(1)(2015南通调研)设实数 x
9、，y 满足x0，y0，xy3，2xy4，则z3x2y 的最大值是_(2)(2014 新 课标全 国 卷改编)设 x，y 满足约束条 件xya，xy1，且 zxay 的最小值为 7，则 a_.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)作出不等式组对应的平面区域是四边形区域，当目标函数经过 xy3 与 2xy4 的交点，即(1,2)时，z 取得最大值7.(2)二 元 一 次 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 如 图 所 示，其 中Aa12，a12.由 zxay 得 y1axza.基础诊断考点突破课堂总结由图可知当11a1 时，z 可取得最小值，此时 a1 或 a1.又直线 y1axza过 A 点
10、时，z 取得最小值，因此a12 aa127，化简得 a22a150，解得 a3 或 a5，当 a3 时，经检验知满足题意；当 a5 时，目标函数 zxay 过点 A 时取得最大值，不满足题意答案(1)7(2)3基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得(2)已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】(1)若
11、x，y 满足条件3x5y60，2x3y150，y0，当且仅当 xy3 时，zaxy 取最大值，则实数 a 的取值范围是_(2)(2014湖南卷)若变量 x，y 满足约束条件yx，xy4，y1，则 z2xy 的最大值为_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)不等式组3x5y60，2x3y150，y0所围成的平面区域如图：因为目标函数 zaxy，仅在(3,3)处取得最大值，则直线 yaxz 的斜率 ka 需满足a35，且a23，即35a23.基础诊断考点突破课堂总结(2)二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的ABC 的内部及其边界，由 z2xy 得 y2xz.当直线 y2xz 过 B点时，z 最大
12、由xy4，y1，得 B(3,1)，因此，当 x3，y1 时，zmax2317，故答案为 7.答案(1)35，23 (2)7基础诊断考点突破课堂总结考点三 实际生活中的线性规划问题【例3】某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为_元基础诊断考点突破课堂总结解析 设旅行社租用 A 型客车 x 辆，B 型客车 y 辆，租金为 z，则线性约束条件为xy21，yx7，36x60y900，x、yN，目标函数为 z1 600 x2 400y.
13、基础诊断考点突破课堂总结画出可行域：如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值zmin36 800(元)答案 36 800基础诊断考点突破课堂总结规律方法 线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按求最优解的步骤解决基础诊断考点突破课堂总结【训练3】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表为使一年的种植总利润(总利润总销售收入总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为_年产量/
14、亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元基础诊断考点突破课堂总结解析 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为 x，y 亩，则总利润 z40.55x60.3y1.2x0.9yx0.9y.此时 x，y 满足条件xy50，1.2x0.9y54，画出可行域如图，得最优解为 A(30,20)答案 30,20 基础诊断考点突破课堂总结微型专题 非线性目标函数的最值问题与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成常见代数式的几何意义：(1)x2y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；(2)xa2yb2表示点(
15、x，y)与点(a，b)之间的距离；(3)|AxByC|A2B2 表示点(x，y)到直线 AxByC0的距离；(4)yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；(5)ybxa表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率基础诊断考点突破课堂总结【例 4】实数 x，y 满足xy10，x0，y2.(1)若 zyx，求 z 的最大值和最小值，并求 z 的取值范围；(2)若 zx2y2，求 z 的最大值与最小值，并求 z 的取值范围基础诊断考点突破课堂总结点拨 先画出可行域，再利用目标函数的几何意义求解基础诊断考点突破课堂总结解 由 xy10，x0，y2作出可行域，如图中阴影部分所示(1)zyx表示可行域
16、内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx的范围为直线 OB 的斜率到直线 OA 的斜率(直线 OA 的斜率不存在，即 zmax 不存在)基础诊断考点突破课堂总结由xy10，y2得 B(1,2)，kOB212，即 zmin2，z 的取值范围是2，).基础诊断考点突破课堂总结(2)zx2y2 表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方因此 x2y2 的值最小为|OA|2(取不到)，最大为|OB|2.由xy10，x0得 A(0,1)，|OA|2(0212)21，|OB|2(1222)25，z 的取值范围是(1,5点评 在简单的线性规划问题中：一是要把不等式组所表示的平面区域作准确；二是要把握好目标
17、函数的几何意义，这个几何意义决定了目标函数在哪个点处取得最值的情况.基础诊断考点突破课堂总结思想方法1平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)2求最值：求二元一次目标函数 zaxby(ab0)的最值，将 zaxby 转化为直线的斜截式：yabxzb，通过求直线的截距zb的最值间接求出 z 的最值最优解在顶点或边界取得基础诊断考点突破课堂总结3解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题基础诊断考点突破课堂总结易错防范1画出平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化2在通过求直线的截距zb的最值间接求出 z 的最值时，要注意：当 b0 时，截距zb取最大值时，z 也取最大值；截距zb取最小值时，z 也取最小值；当 b0 时，截距zb取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值
