1、2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编7：立体几何 一、选择题 （2013年高考重庆卷（文）某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为（）ABCD【答案】D （2013年高考课标卷（文）一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是,画该四面体三视图中的正视图时,以平面为投影面,则得到正视图可以为 （）ABCD【答案】A （2013年高考课标卷（文）某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为 （）ABCD【答案】A （2013年高考大纲卷（文）已知正四棱锥的正弦值等于（）ABCD【答案】A （2013年高考四川卷（文）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是（）A棱柱B棱台
2、C圆柱D圆台【答案】D （2013年高考浙江卷（文）已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是（）A108cm3B100 cm3C92cm3D84cm3【答案】B （2013年高考北京卷（文）如图,在正方体中,为对角线的三等分点,则到各顶点的距离的不同取值有 （）A3个B4个C5个D6个第二部分(非选择题 共110分)【答案】B （2013年高考广东卷（文）某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是（）ABCD【答案】B （2013年高考湖南（文）已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为的矩形,则该正方体的正视图的面积等于_（）AB1CD
3、【答案】D （2013年高考浙江卷（文）设m.n是两条不同的直线,.是两个不同的平面,（）A若m,n,则mnB若m,m,则 C若mn,m,则nD若m,则m【答案】C （2013年高考辽宁卷（文）已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,则球的半径为（）ABCD 【答案】C （2013年高考广东卷（文）设为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A若,则B若,则 C若,则D若,则【答案】B （2013年高考山东卷（文）一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（）ABCD8,8【答案】B （2013年高考江西卷（文）一几何体的三视图如右所示,则
4、该几何体的体积为（）A200+9B200+18C140+9D140+18 【答案】A 二、填空题（2013年高考课标卷（文）已知正四棱锥O-ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为_.【答案】 （2013年高考湖北卷（文）我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸,则平地降雨量是_寸. (注:平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;一尺等于十寸)【答案】3 （2013年高考课标卷（文）已知是球的直径上一点,平面,为垂足,截球所得截面的面积为,则球
5、的表面积为_.【答案】; （2013年高考北京卷（文）某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为_.1俯视图侧（左）视图正（主）视图 2 1 1 2 【答案】3（2013年高考陕西卷（文）某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为_. 【答案】 （2013年高考大纲卷（文）已知圆和圆是球的大圆和小圆,其公共弦长等于球的半径,则球的表面积等于_.【答案】 （2013年上海高考数学试题（文科）已知圆柱的母线长为,底面半径为,是上地面圆心,、是下底面圆周上两个不同的点,是母线,如图.若直线与所成角的大小为,则_.【答案】 （2013年高考天津卷（文）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为
6、, 则正方体的棱长为 _.【答案】 （2013年高考辽宁卷（文）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是_.【答案】 （2013年高考江西卷（文）如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且AB/CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_.【答案】4 （2013年高考安徽（文）如图,正方体的棱长为1,为的中点,为线段上的动点,过点的平面截该正方体所得的截面记为,则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号).当时,为四边形;当时,为等腰梯形;当时,与的交点满足;当时,为六边形;当时,的面积为.【答案】 三、解答题（2013年高考辽宁卷（文）如图,(I)求证:(II)
7、设【答案】 （2013年高考浙江卷（文）如图,在在四棱锥P-ABCD中,PA面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,ABC=120,G为线段PC上的点.()证明:BD面PAC ; ()若G是PC的中点,求DG与APC所成的角的正切值;()若G满足PC面BGD,求 的值.【答案】解:证明:()由已知得三角形是等腰三角形,且底角等于30,且,所以;、,又因为; ()设,由(1)知,连接,所以与面所成的角是,由已知及(1)知:, ,所以与面所成的角的正切值是; ()由已知得到:,因为,在中,设 （2013年高考陕西卷（文）如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O
8、为底面中心, A1O平面ABCD, . () 证明: A1BD / 平面CD1B1; () 求三棱柱ABD-A1B1D1的体积. 【答案】解: () 设. . .(证毕) () . 在正方形AB CD中,AO = 1 . . 所以,. （2013年高考福建卷（文）如图,在四棱锥中,.(1)当正视图方向与向量的方向相同时,画出四棱锥的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程);(2)若为的中点,求证:;(3)求三棱锥的体积.【答案】解法一:()在梯形中,过点作,垂足为, 由已知得,四边形为矩形, 在中,由,依勾股定理得: ,从而 又由平面得, 从而在中,由,得 正视图如右图所示: ()取中点,连结
9、, 在中,是中点, ,又, , 四边形为平行四边形, 又平面,平面 平面 () 又,所以 解法二: ()同解法一 ()取的中点,连结, 在梯形中,且 四边形为平行四边形 ,又平面,平面 平面,又在中, 平面,平面 平面.又, 平面平面,又平面 平面 ()同解法一 （2013年高考广东卷（文）如图4,在边长为1的等边三角形中,分别是边上的点,是的中点,与交于点,将沿折起,得到如图5所示的三棱锥,其中.(1) 证明:/平面;(2) 证明:平面;(3) 当时,求三棱锥的体积. 【答案】(1)在等边三角形中, ,在折叠后的三棱锥中 也成立, ,平面, 平面,平面; (2)在等边三角形中,是的中点,所以
10、,. 在三棱锥中, ; (3)由(1)可知,结合(2)可得. （2013年高考湖南（文）如图2.在直菱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=,AA1=3,D是BC的中点,点E在菱BB1上运动.(I)证明:ADC1E;(II)当异面直线AC,C1E 所成的角为60时,求三菱子C1-A2B1E的体积.【答案】解: () . . (证毕) (). . （2013年高考北京卷（文）如图,在四棱锥中,平面底面,和分别是和的中点,求证:(1)底面;(2)平面;(3)平面平面【答案】(I)因为平面PAD平面ABCD,且PA垂直于这个平面的交线AD 所以PA垂直底面ABCD. (II)因为ABC
11、D,CD=2AB,E为CD的中点 所以ABDE,且AB=DE 所以ABED为平行四边形, 所以BEAD,又因为BE平面PAD,AD平面PAD 所以BE平面PAD. (III)因为ABAD,而且ABED为平行四边形 所以BECD,ADCD,由(I)知PA底面ABCD, 所以PACD,所以CD平面PAD 所以CDPD,因为E和F分别是CD和PC的中点 所以PDEF,所以CDEF,所以CD平面BEF,所以平面BEF平面PCD. （2013年高考课标卷（文）如图,三棱柱中,.()证明:;()若,求三棱柱的体积.【答案】【答案】(I)取AB的中点O,连接、,因为CA=CB,所以,由于AB=A A1,BA
12、 A1=600,故为等边三角形,所以OAAB. 因为OCOA=O,所以AB平面OAC.又ACC平面OAC,故ABAC. (II)由题设知 （2013年高考山东卷（文）如图,四棱锥中,分别为的中点()求证:;()求证:【答案】 （2013年高考四川卷（文）如图,在三棱柱中,侧棱底面,分别是线段的中点,是线段上异于端点的点.()在平面内,试作出过点与平面平行的直线,说明理由,并证明直线平面;()设()中的直线交于点,求三棱锥的体积.(锥体体积公式:,其中为底面面积,为高)【答案】解:()如图,在平面ABC内,过点作直线,因为在平面外,BC在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知,平面. 由已知,是
13、BC中点,所以BCAD,则直线, 又因为底面,所以, 又因为AD,在平面内,且AD与相交, 所以直线平面 ()过D作于E,因为平面,所以, 又因为AC,在平面内,且AC与相交,所以平面, 由,BAC,有,DAC, 所以在ACD中, 又,所以 因此三棱锥的体积为 （2013年高考湖北卷（文）如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点向下钻到A1处发现矿藏,再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为,且. 过,的中点,且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面,其面积记为.()证明:中截面是梯形;()
14、在ABC中,记,BC边上的高为,面积为. 在估测三角形区域内正下方的矿藏储量(即多面体的体积)时,可用近似公式来估算. 已知,试判断与V的大小关系,并加以证明. 第20题图【答案】()依题意平面,平面,平面, 所以A1A2B1B2C1C2. 又,且 . 因此四边形、均是梯形. 由平面,平面,且平面平面, 可得AA2ME,即A1A2DE. 同理可证A1A2FG,所以DEFG. 又、分别为、的中点, 则、分别为、 的中点, 即、分别为梯形、的中位线. 因此 , 而,故,所以中截面是梯形. (). 证明如下: 由平面,平面,可得. 而EMA1A2,所以,同理可得. 由是的中位线,可得即为梯形的高,
15、因此, 即. 又,所以. 于是. 由,得,故. （2013年高考课标卷（文）如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.(1)证明: BC1/平面A1CD;(2)设AA1= AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C一A1DE的体积.【答案】 （2013年高考大纲卷（文）如图,四棱锥都是边长为的等边三角形.(I)证明: (II)求点 【答案】()证明:取BC的中点E,连结DE,则ABED为正方形. 过P作PO平面ABCD,垂足为O. 连结OA,OB,OD,OE. 由和都是等边三角形知PA=PB=PD, 所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点, 故,从而.
16、因为O是BD的中点,E是BC的中点, 所以OE/CD.因此,. ()解:取PD的中点F,连结OF,则OF/PB. 由()知,故. 又, 故为等腰三角形,因此,. 又,所以平面PCD. 因为AE/CD,平面PCD,平面PCD,所以AE/平面PCD. 因此,O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离,而, 所以A至平面PCD的距离为1. （2013年高考安徽（文）如图,四棱锥的底面是边长为2的菱形,.已知 .()证明:()若为的中点,求三菱锥的体积.【答案】解: (1)证明:连接交于点 又是菱形 而 面 (2) 由(1)面 = （2013年上海高考数学试题（文科）如图,正三棱锥底面边长为,高
17、为,求该三棱锥的体积及表面积.【答案】 （2013年高考天津卷（文）如图, 三棱柱ABC-A1B1C1中, 侧棱A1A底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F分别为棱AB, BC, A1C1的中点. () 证明EF/平面A1CD; () 证明平面A1CD平面A1ABB1; () 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值. 【答案】 （2013年高考重庆卷（文）(本小题满分12分,()小问5分,()小问7分)如题(19)图,四棱锥中,底面, .zhangwlx()求证:平面;()若侧棱上的点满足,求三棱锥的体积.【答案】 （2013年高考江西卷（文）如图,直四棱柱ABCD A1B1C1D1中,AB/CD,ADAB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3(1)证明:BE平面BB1C1C;(2)求点B1 到平面EA1C1 的距离【答案】解.(1)证明:过B作CD的垂线交CD于F,则 在 在,故 由 (2) , 同理, 因此.设点B1到平面的距离为d,则 ,从而