1、基础诊断考点突破课堂总结第1讲 不等关系与一元二次不等式基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.现实世界和日常生活中的不等关系、不等式(组)的实际背景，A级要求；2.从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系，B级要求；3.求解一元二次不等式，C级要求基础诊断考点突破课堂总结1两个实数比较大小的方法(1)作差法ab0ab，ab0ab，ab0ab；(2)作商法 ab1abaR，b0，ab1abaR，b0，ab1abaR，b0.知 识 梳 理基础诊断考点突破课堂总结2不等式的性质(1)对称性：abba；(2)传递性：ab，bcac；(3)可加性：abac
2、bc；ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab0，cd0acbd；(5)可乘方：ab0anbn(nN，n1)；(6)可开方：ab0n an b(nN，n2)基础诊断考点突破课堂总结3三个“二次”间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象基础诊断考点突破课堂总结一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根 x1x2 b2a没有实数根ax2bxc0(a0)的解集 Rax2bxc0(a0)的解集 x|x1xx2x|x b2ax|xx2或xx1续表基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测1思考辨析(在括号内打“”或“”)(
3、1)abac2bc2.()(2)ab0，cd0adbc.()(3)若方程 ax2bxc0(a0)没有实根数，则不等式 ax2bxc0 的解集为 R.()(4)不等式 ax2bxc0 在 R 上恒成立的条件是 a0 且 b24ac0.()基础诊断考点突破课堂总结2(2014四川卷改编)若 ab0，cd0，给出以下关系式：adbc；adbc；acbd；acbd.其中一定正确的是_(填序号)基础诊断考点突破课堂总结解析 cd0，01c1d，两边同乘1，得1d1c0，又 ab0，故由不等式的性质可知adbc0.两边同乘1，得adbc.故正确答案 基础诊断考点突破课堂总结3(2014大纲全国卷改编)不等
4、式组xx20，|x|1的解集为_解析 由x(x2)0得x0或x2；由|x|1得1x1，所以不等式组的解集为x|0 x1答案 x|0 x1基础诊断考点突破课堂总结4(苏教版必修5P80T8(1)改编)若关于x的一元二次方程x2(m1)xm0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_解析 由题意知：(m1)24m0.即 m26m10，解得：m32 2或 m32 2.答案(，32 2)(32 2，)基础诊断考点突破课堂总结5若不存在整数x满足不等式(kxk24)(x4)0，则实数k的取值范围是_答案 1,4解析 可判断 k0 或 k0 均不符合题意，故 k0.于是原不等式即为 kxk24k(x4)0
5、xk24k(x4)0，依题意应有 3k24k5 且 k0，1k4.基础诊断考点突破课堂总结【例 1】若1a1b0，给出下列不等式：1ab 1ab；|a|b0；a1ab1b；ln a2ln b2.其中正确的不等式是_(填序号)考点一 不等式的性质及应用深度思考 判断不等式是否成立，常采用特殊值法进行排除但为了更好理解不等式的性质，请你利用不等式的性质判断一下基础诊断考点突破课堂总结解析 法一 因为1a1b0，故可取 a1，b2.显然|a|b1210，所以错误；因为 ln a2ln(1)20，ln b2ln(2)2ln 40，所以错误法二 由1a1b0，可知 ba0.中，因为 ab0，ab0，所以
6、 1ab0，1ab0.故有 1ab 1ab，即正确；中，因为 ba0，所以ba0.故b|a|，即|a|b0，故错误；基础诊断考点突破课堂总结中，因为 ba0，又1a1b0，则1a1b0，所以 a1ab1b，故正确；中，因为 ba0，根据 yx2 在(，0)上为减函数，可得b2a20，而 yln x 在定义域(0，)上为增函数，所以 ln b2ln a2，故错误由以上分析，知正确答案 基础诊断考点突破课堂总结规律方法 判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除而常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是
7、正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；(3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(1)(2014三明模拟)若 ab0，给出下列不等式：1ab1b；a2ab；|b|a|b|1|a|1；anbn.其中一定成立的是_(填序号)(2)(2012湖南卷改编)设 ab1，c0，给出下列三个结论：cacb；acbc；logb(ac)loga(bc)其中所有的正确结论的序号是_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)(特值法)取 a2，b1，逐个检验，可知均不正确；中，|b|a|b|1|a|1|b
8、|(|a|1)|a|(|b|1)|a|b|b|a|b|a|b|a|，ab0，|b|a|成立，故正确基础诊断考点突破课堂总结(2)由不等式性质及 ab1 知1a1b，又 c0，所以cacb，正确；构造函数 yxc，c0，yxc在(0，)上是减函数，又 ab1，acbc，知正确；ab1，c0，acbc1，logb(ac)loga(ac)loga(bc)，知正确答案(1)(2)基础诊断考点突破课堂总结考点二 一元二次不等式的解法【例2】(1)关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a_.解析 法一 由 x22ax8a20，得(x2a)(x4a)0，因为a0，所以不
9、等式的解集为(2a,4a)又不等式的解集为(x1，x2)，所以 x12a，x24a.从而 x2x16a15，解得 a52.基础诊断考点突破课堂总结法二 由条件知，x1 和 x2 是方程 x22ax8a20 的两根，则 x1x22a，x1x28a2，所以(x2x1)2(x2x1)24x1x24a232a236a2152.又 a0，所以 a52.答案 52基础诊断考点突破课堂总结(2)解关于x的不等式kx22xk0(kR)解 当 k0 时，不等式的解为 x0.当 k0 时，若 44k20，即 0k1 时，不等式的解为1 1k2kx1 1k2k；若 0，即 k1 时，不等式无解基础诊断考点突破课堂总
10、结当 k0 时，若 44k20，即1k0 时，x1 1k2k或 x1 1k2k；若 0，即 k1 时，不等式的解集为 R；若 0，即 k1 时，不等式的解为 x1.综上所述，k1 时，不等式的解集为；0k1 时，不等式的解集为x|1 1k2kx1 1k2k；基础诊断考点突破课堂总结k0 时，不等式的解集为x|x0；当1k0 时，不等式的解集为x|x1 1k2k，或x1 1k2k；k1 时，不等式的解集为x|x1；k1 时，不等式的解集为 R.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式
11、，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集基础诊断考点突破课堂总结【训练2】解关于x的不等式：ax222xax(aR)解 原不等式可化为 ax2(a2)x20.当 a0 时，原不等式化为 x10，解得 x1.当 a0 时，原不等式化为x2a(x1)0，解得 x2a或 x1.基础诊断考点突破课堂总结当 a0 时，原不等式化为x2a(x1)0.当2a1，即 a2 时，解得1x2a；当2a1，即 a2 时，解得 x1 满
12、足题意；当2a1，即2a0，解得2ax1.基础诊断考点突破课堂总结综上所述，当 a0 时，不等式的解集为x|x1；当 a0 时，不等式的解集为x|x2a，或x1；当2a0 时，不等式的解集为x|2ax1；当 a2 时，不等式的解集为1；当 a2 时，不等式的解集为x|1x2a.基础诊断考点突破课堂总结考点三 不等式恒成立问题【例3】设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围深度思考 关于不等式恒成立求参数范围可以利用分离参数法，本题第(2)问还可用二次函数在闭区间上的最值来求解基础诊断考点突破课
13、堂总结解(1)要使 mx2mx10 恒成立，若 m0，显然10；若 m0，则m0，m24m04m0.所以4m0.(2)要使 f(x)m5 在 x1,3上恒成立，即 mx12234m60 在 x1,3上恒成立基础诊断考点突破课堂总结有以下两种方法：法一 因为 x2x1x122340，又因为 m(x2x1)60，所以 m6x2x1.因为函数 y6x2x16x12234在1,3上的最小值为67，所以只需 m67即可所以，m 的取值范围是m|m67.基础诊断考点突破课堂总结法二 令 g(x)mx12234m6，x1,3当 m0 时，g(x)在1,3上是增函数，所以 g(x)maxg(3)7m60，所以
14、 m67，则 0m67；当 m0 时，60 恒成立；当 m0 时，g(x)在1,3上是减函数，所以 g(x)maxg(1)m60，所以 m6，所以 m0.综上所述，m 的取值范围是m|m67.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)不等式 ax2bxc0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 a0 时，b0，c0；当 a0 时，a0，0.不等式ax2bxc0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 a0 时，b0，c0；当 a0 时，a0，0.(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者
15、比较简单基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】已知函数 f(x)x22xax，若对任意 x1，)，f(x)0 恒成立，试求实数 a 的取值范围解 因为 x1，)时，f(x)x22xax0 恒成立，即 x22xa0 恒成立即当 x1 时，a(x22x)恒成立设g(x)(x22x)，而 g(x)(x22x)(x1)21 在1，)上单调递减，所以 g(x)maxg(1)3，故 a3.所以，实数 a 的取值范围是a|a3基础诊断考点突破课堂总结微型专题 与不等式性质有关的函数值范围问题给出相关变量满足的若干个不等式条件，再求其他变量式子的取值范围是考查不等式的一个常用题型，常结合线性规划知识考查，难度不
16、大，但是如果在解题过程中对不等式的性质掌握不牢、理解肤浅，就很容易解错基础诊断考点突破课堂总结【例4】已知实数x，y满足条件1xy4且2xy3，则z2x3y的取值范围是_点拨 先建立待求整体与已知整体的范围的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围基础诊断考点突破课堂总结解析 设 z2x3ya(xy)b(xy)(ab)x(ab)y，ab2，ab3，解得 a12，b52.由1xy4,2xy3，可得212(xy)12，552(xy)152，312(xy)52(xy)8，即 2x3y(3,8)基础诊断考点突破课堂总结或用线性规划方法求解，画出不等式组1xy4，2xy3表示的可行域，在可行
17、域内平移直线 z2x3y，当直线经过 xy4 与 xy2 的交点(3,1)时，目标函数有最小值 z3；当直线经过 xy1 与 xy3 的交点(1，2)时，目标函数有最大值 z8.因为取不到等号，所以有 2x3y(3,8)答案(3,8)基础诊断考点突破课堂总结点评 求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围，而要采用整体考虑的思想方法处理与不等式有关的范围问题重点掌握两种求解方法，即本例介绍的待定系数法和线性规划法.基础诊断考点突破课堂总结思想方法1判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单2比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差变形判断正负基础诊断考点突破课堂总结3“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a0的情况转化为a0时的情形4简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式的解法进行求解基础诊断考点突破课堂总结易错防范1不等式的性质应用要准确，尤其在不等式两边同乘以或同除以一个数时，一定要搞清符号2在解含有参数的不等式时，分类讨论的划分一定要明确，先进行大的分类，在每大类中再进行小的分类，注意分类要做到不重不漏3当不等式的二次项系数含有参数时，一定不要忽略这个系数可能等于零的情况
