1、1.2应用举例第1课时距离和高度问题1.能将实际问题转化为解三角形问题.(难点)2.能够用正、余弦定理等知识和方法求解与距离、高度有关的实际应用问题.(重点)基础初探教材整理实际测量中的有关名词、术语阅读教材P12P13问题3，完成下列问题.实际测量中的有关名词、术语名称定义图示基线在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线铅垂平面与地面垂直的平面坡角坡面与水平面的夹角为坡角坡比坡面的垂直高度与水平宽度之比坡比：i仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时视线与水平线的夹角判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)一般来说，在测量过程中
2、基线越长，测量精确度越低.()(2)已知三角形的三个角，能够求其三条边.()(3)两个不可到达的点之间的距离无法求得.()(4)坡面与水平面的夹角称之为坡角.()(5)坡面的水平宽度与坡面的铅直高度之比称为坡比.()(6)坡角的范围是0，.()【解析】(1).因为在测量过程中基线越长，测量的精确度越高.(2).因为要解三角形，至少要知道这个三角形的一条边.(3).两个不可到达的点之间的距离我们可以借助余弦定理求得.(4).由坡角的定义可知.(5).因为坡比是指坡面的铅直高度与坡面的水平宽度的比.(6).坡角的范围是(0，).【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)小组合作型测量距离问题要测
3、量对岸A，B两点之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，求A，B之间的距离.【精彩点拨】将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角形.【自主解答】如图所示，在ACD中，ACD120，CADADC30，ACCD km.在BCD中，BCD45，BDC75，CBD60.BC.在ABC中，由余弦定理，得AB2()222cos 75325，AB(km)，A，B之间的距离为 km.三角形中与距离有关的问题的求解策略：(1)解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根
4、据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解.(2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决再练一题1.如图121，在河岸边有一点A，河对岸有一点B，要测量A，B两点的距离，先在岸边取基线AC，测得AC120 m，BAC45，BCA75，求A，B两点间的距离. 【导学号：18082006】图121【解】在ABC中，AC120，A45，C75，则B180(AC)60，由正弦定理，得ABAC20(3).即A，B两点间的距离为20(3)m.测量高度问题(1)如图122，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的
5、俯角分别为45和30，已知CD100米，点C位于BD上，则山高AB等于()图122A.100米B.50米C.50米D.50(1)米(2)在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60，塔基的俯角为45，那么这座塔吊的高是()A.20 m B.20(1)mC.10()mD.20()m【精彩点拨】(1)解决本题关键是求AB时确定在哪一个三角形中求解，该三角形是否可解.(2)解决本题关键是画出示意图.【自主解答】(1)设山高为h，则由题意知CBh，DBh，所以hh100，即h50(1).(2)如图，由条件知四边形ABCD为正方形，ABCD20 m，BCAD20 m.在DCE中，EDC60，DCE
6、90，CD20 m，ECCDtan 6020 m.BEBCCE(2020) m.选B.【答案】(1)D(2)B解决测量高度问题的一般步骤：(1)画图：根据已知条件画出示意图.(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形.(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解.在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用再练一题2.某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m).如图123所示，竖直放置的标杆BC的高度h4 m，仰角ABE，ADE.该小组已测得一组，的值，算出了tan 1.24，tan 1.20，请据此算出H的值.图123【解】由AB，BD， AD及ABB
7、DAD，得，解得H124.因此，算出的电视塔的高度H是124 m.探究共研型与立体几何有关的测量高度问题探究1已知A，B是海平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45，BAD120，又在B点测得ABD45，其中D是点C到水平面的垂足.试画出符合题意的示意图.【提示】用线段CD表示山，用DAB表示海平面.结合题中相应的距离及角度，画出立体图形，如图所示：探究2在探究1中若要求山高CD怎样求解？【提示】由探究1知CD平面ABD，首先在ABD中利用正弦定理求出AD的长，然后在RtACD中求出CD.如图124，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内
8、的两个测点C和D，测得CD200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45和30，且CBD30，求塔高AB.图124【精彩点拨】利用方程的思想，设ABh.表示出BCh，BDh，然后在BCD中利用余弦定理求解.【自主解答】在RtABC中，ACB45，若设ABh，则BCh.在RtABD中，ADB30，则BDh.在BCD中，由余弦定理可得CD2BC2BD22BCBDcosCBD，即2002h2(h)22hh，所以h22002，解得h200(h200舍去)，即塔高AB200米.测量高度问题的两个关注点：(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空
9、间问题转化为平面问题.(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路再练一题3.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是()【导学号：18082007】A.100 mB.400 mC.200 mD.500 m【解析】由题意画出示意图，设塔高ABh m，在RtABC中，由已知得BCh m，在RtABD中，由已知得BDh m，在BCD中，由余弦定理BD2BC2CD22BCCDcosB
10、CD，得3h2h25002h500，解得h500(m).【答案】D1.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆，甲观测的仰角为50，乙观测的仰角为40，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有()A.d1d2B.d120 mD.d2tan 40，所以d1d2.【答案】B2.在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2，继续在地面上前进200 m以后测得山峰的仰角为4，则该山峰的高度为()A.200 mB.300 mC.400 mD.100 m【解析】法一：如图，BED，BDC为等腰三角形，BDED600(m)，BCDC200(m).在BCD中
11、，由余弦定理可得cos 2，230，460.在RtABC中，ABBCsin 4200300(m)，故选B.法二：由于BCD是等腰三角形，BDDCcos 2，即300200cos 2.cos 2，230，460.在RtABC中，ABBCsin 4200300(m)，故选B.【答案】B3.某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 km，那么x的值为()A.B.2C.2或D.3【解析】如图，在ABC中由余弦定理得39x26xcos 30，即x23x60，解之得x2或.【答案】C4.在高出海平面200 m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船
12、的俯角分别是45与30，此时两船间的距离为_m. 【导学号：18082008】【解析】过点A作AHBC于点H，由图易知BAH45，CAH60，AH200 m，则BHAH200 m，CHAHtan 60200 m.故两船距离BCBHCH200(1)m.【答案】200(1)5.如图125所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为，在塔底C处测得点A的俯角为，已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD.图125【解】法一：在ABC中，BCA90，ABC90，BAC，BAD，则，AB.在RtABD中，BDABsinBAD，CDBDBCh.法二：在ABC中，ABC90，BAC，则.AC.在RtACD中，CDACsin .