1、基础诊断考点突破课堂总结第4讲 数列求和基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.等差、等比数列的前n项和公式，C级要求；2.非等差、等比数列求和的几种常见方法，C级要求基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1求数列的前n项和的方法(1)公式法等差数列的前 n 项和公式Sn .等比数列的前 n 项和公式()当 q1 时，Sn；()当 q1 时，Sn .na1an 2 na1a11qn1qa1anq 1q na1nn12d基础诊断考点突破课堂总结(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4)
2、倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广基础诊断考点突破课堂总结(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sun10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.基础诊断考点突破课堂总结2常见的裂项公式(1)1nn11n 1n1；(2)12n12n11212n112n1；(3)1n n1 n1 n.基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测1
3、思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和Sna1an11q.()(2)当 n2 时，1n2112(1n1 1n1)()(3)求 Sna2a23a3nan 之和时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位相减法求得()(4)若数列 a1，a2a1，anan1 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，则数列an的通项公式是 an3n12.()基础诊断考点突破课堂总结2若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和为_解析 Sn212n12 n12n122n12n2.答案 2n12n2基础诊断考点突破课堂总结3数列an的前n项和为S
4、n，已知Sn1234(1)n1n，则S17_.解析 S171234561516171(23)(45)(67)(1415)(1617)11119.答案 9基础诊断考点突破课堂总结4(2014苏州五市四区模拟)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a55，S515，则数列1anan1 的前 100 项和为_解析 设等差数列an的首项为 a1，公差为 d.a55，S515，a14d5，5a15512d15，a11，d1，基础诊断考点突破课堂总结ana1(n1)dn.1anan11nn11n 1n1，数列1anan1 的前 100 项和为112 1213 1100 11011 1101100101.
5、答案 100101基础诊断考点突破课堂总结5(苏教版必修5P62T13改编)12x3x2nxn1_(x0且x1)解析 设 Sn12x3x2nxn1，则 xSnx2x23x3nxn，得：(1x)Sn1xx2xn1nxn1xn1x nxn，Sn 1xn1x2 nxn1x.答案 1xn1x2 nxn1x 基础诊断考点突破课堂总结考点一 分组转化法求和 【例 1】设数列an满足 a12，a2a48，且对任意 nN*，函数 f(x)(anan1an2)xan1cos xan2sin x 满足 f20.(1)求数列an 的通项公式；(2)若 bn2an 12an，求数列bn的前 n 项和 Sn.基础诊断考
6、点突破课堂总结解(1)由题设可得 f(x)anan1an2an1sin xan2cos x.对任意 nN*，f2 anan1an2an10，即 an1anan2an1，故an为等差数列由 a12，a2a48，解得an的公差 d1，所以 an21(n1)n1.基础诊断考点突破课堂总结(2)因为 bn2an 12an2n1 12n1 2n 12n2，所以 Snb1b2bn(222)2(12n)12 122 12n2n2nn1212112n112n23n1 12n.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 常见可以使用公式求和的数列：(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们
7、可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解；(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时，分别使用等差数列或等比数列的求和公式基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(2014山东卷)在等差数列an中，已知公差 d2，a2是 a1 与 a4 的等比中项(1)求数列an的通项公式；(2)令 bnann12，记 Tnb1b2b3b4(1)nbn，求Tn.解(1)由题意知(a1d)2a1(a13d)，即(a12)2a1(a16)，解得 a12，所以数列an的通项公式为 an2n.基础诊断考点突破课堂总结(2)由题意知 bnann12 n(n1)所以 Tn122334(1)nn
8、(n1)因为 bn1bn2(n1)，可得当 n 为偶数时，Tn(b1b2)(b3b4)(bn1bn)48122nn242n2nn22.当 n 为奇数时，基础诊断考点突破课堂总结TnTn1(bn)n1n12n(n1)n122.所以 Tnn122，n为奇数，nn22，n为偶数.基础诊断考点突破课堂总结考点二 错位相减法求和【例2】(2014新课标全国卷)已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程x25x60的根(1)求an的通项公式；(2)求数列an2n 的前 n 项和基础诊断考点突破课堂总结解(1)方程 x25x60 的两根为 2,3，由题意得 a22，a43.设数列an的公差为 d，则 a4a
9、22d，故 d12，从而 a132.所以an的通项公式为 an12n1.基础诊断考点突破课堂总结(2)设an2n 的前 n 项和为 Sn，由(1)知an2nn22n1，则 Sn 322 423n12n n22n1，12Sn 323 424n12n1 n22n2.两式相减得12Sn34123 12n1 n22n2 34141 12n1 n22n2.所以 Sn2n42n1.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达
10、式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】(2014安徽卷)数列an满足 a11，nan1(n1)ann(n1)，nN*.(1)证明：数列ann 是等差数列；(2)设 bn3n an，求数列bn的前 n 项和 Sn.(1)证明 由已知可得 an1n1ann 1，即 an1n1ann 1.所以ann 是以a11 1 为首项，1 为公差的等差数列基础诊断考点突破课堂总结(2)解 由(1)得ann 1(n1)1n，所以 ann2.从而 bnn3n.Sn131232333n3n，3Sn132233(n1)3nn3n1.得2Sn31323
11、nn3n1313n13n3n112n3n132.所以 Sn2n13n134.基础诊断考点突破课堂总结考点三 裂项相消法求和【例 3】(2014广东卷)设各项均为正数的数列an的前 n 项和为Sn，且 Sn 满足 S2n(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*.(1)求 a1 的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数 n，有1a1a111a2a211anan113.基础诊断考点突破课堂总结(1)解 S(n2n3)Sn3(n2n)0，令n1，得aa160，解得a12或a13.又an0，a12.(2)解 由S(n2n3)Sn3(n2n)0，得Sn(n2n)(Sn3)0，又an0，所以
12、Sn30，所以Snn2n，所以当n2时，anSnSn1n2n(n1)2n12n，又由(1)知，a12，符合上式，所以an2n(nN*)基础诊断考点突破课堂总结(3)证明 由(2)知，1anan112n2n1，所以1a1a111a2a211anan1 123 14512n2n1 123 135 15712n12n116121315 1517 12n112n116121312n1 16121313.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和
13、系数之积与原通项公式相等基础诊断考点突破课堂总结【训练3】(2014南通模拟)设Sn为等差数列an的前n项和，已知S3a7，a82a33.(1)求an；(2)设 bn 1Sn，数列bn的前 n 项和为 Tn，求证：Tn34 1n1(nN*)(1)解 设数列an的公差为 d，由题意得3a13da16d，a17d2a12d3，解得 a13，d2，ana1(n1)d2n1.基础诊断考点突破课堂总结(2)证明 由(1)得 Snna1nn12dn(n2)，bn1nn2121n 1n2.Tnb1b2bn1bn12113 1214 1n1 1n1 1n 1n212112 1n1 1n2，Tn12112 1n
14、1 1n2 12112 1n1 1n134 1n1.故 Tn34 1n1.基础诊断考点突破课堂总结思想方法非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和基础诊断考点突破课堂总结易错防范1直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论2在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号3在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项