1、第二章 函 数课时训练5 映射与函数【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.设（x、y）在映射f下的象是（）,则(-5,2)在f的原象是（ ）A.（-10，4） B.（-3，-7） C.（-6，-4） D.（-）答案：B解析：2.下列各组函数中表示同一函数的是（ ）A.f(x)=x与g(x)=()2B.f(x)=|x|与g(x)=C.f(x)=x|x|与g(x)=D.f(x)=与g(t)=t+1 (t1)答案：D解析：判断的依据是两个函数的定义域和对应法则是否一致.3.(2010湖北八校模拟，2)设f,g都是由A到A的映射，其对应法则如下表（从上到
2、下）：表1 映射f的对应法则原象1234象3421表2 映射g的对应法则原象1234象4312则与fg(1)相同的是（ ）A.gf(1) B.gf(2) C.gf(3) D.gf(4)答案：A解析：fg(1)=f(4)=1.gf(1)=g(3)=1.4.(2010湖北黄冈中学模拟，1)函数y=f(x)的图象与直线x=2的公共点共有（ ）A.0个 B.1个 C.0个或1个 D.不能确定答案：C解析：如果x=2与函数y=f(x)有公共点，则只有一个公共点，因为自变量取一个值只对应一个函数值.若无交点，则没有公共点，此时的x=2不在y=f(x)的定义域内,故选C.5.如下图所示，三个图象各表示两个变
3、量x、y的对应关系，则有（ ）A.都表示映射，且表示y关于x的函数B.表示y关于x的函数，且有反函数C.都表示y关于x的函数，且有反函数D.都不能表示y关于x的函数答案：B解析：根据函数与映射的概念作答知选B.6.如果f(a+b)=f(a)f(b)且f(1)=2，则等于（ ）A.2 007 B.1 003 C.2 008 D.2 006答案：C解析：f(a+1)=f(a)f(1)=f(1)=2,原式=2+2+2=2=2 008.7.设集合A=1，2，3，B=4，5，6定义映射f：AB，使对任意xA,都有x2+f(x)+x2f(x)是奇数，则这样的映射f的个数为（ ）A.7 B.9 C.10 D
4、.18答案：B解析：当x为奇数时，x2+1为偶数，则x2+(x2+1)f(x)为奇数；当x=2时，x2+f(x)+x2f(x)=5f(x)+4为奇数，则f(x)为奇数，即f(2)=5.这样的映射个数为331=9.二、填空题（每小题5分，共15分）8.设函数f(n)=k(其中nN*),k是的小数后第n位数，=1.414 213 562 37,则个的值=_.答案：1解析：本题根据题中条件有：=f(2)=1.9.(2010江西南昌一模，15)定义符号函数sgn x=则不等式：x+2(2x-1)sgn x的解集是_.答案：x|-x3解析：原不等式10.已知函数f(x)=若ff(x0)=2,则x0=_.
5、答案：解析：f(-)=(-)2=2，f(x0)=-，又f（）=2cos=-,x0=.三、解答题（1113题每小题10分，14题13分，共43分）11.设A=R，B=R，f:x是AB的映射：（1）设aA,则a在B中的象是什么？（2）设tA,那么t+1在B中的象是什么？（3）设sA,若s1在映射f下的象为5,则s应是多少？s在映射f下的象是什么？解析：（1）aA,而f:x是AB的映射a在B中的象为,即f:a.(2)tA,A=R,t+1A,说明t+1是集合A中的元素.根据映射的定义，元素t+1在B中必定有且只有一个元素与它相对应，故满足对应法则f:x,元素t+1在B中的象为.(3)sA,s-1A,即
6、s-1是集合A中的元素，且有f:s-1,又s-1在集合B中的象为5，=5，解得s=.同理可得s在映射f下在集合B中的象是6.12.(2010全国大联考，18)若对任意正实数x,y总有f(xy)=f(x)+f(y):(1)求f(1);(2)证明f(x2)=2f(x)和f()=-f(x).(1)解析：令y=1,f(x1)=f(x)+f(1),f(1)=0.（2）证明：令y=x,f(xx)=f(x)+f(x),f(x2)=2f(x).令y=,f(x)=f(x)+f(),f(1)=0,有f()=-f(x).13.ABC中，|AB|=4，|AC|=2，P、Q分别是AB、AC上的动点，且满足SAPQ=SA
7、BC，若|AP|=x，|AQ|=y，（1）写出x的取值范围;(2)求f(x)的解析式.解析：（1）由SAPQ=SABCxysinA=24sinAxy=4,而|AB|=4，|AC|=2，0x4,0y2xy2x.2x4x2，4，（2）f(x)=(2x4).14.如下图，在三角形ABC中，C=90，AC=BC=2，一个边长为2的正方形由位置I沿AB平行移动到位置,若移动的距离为x，正方形和三角形ABC的公共部分的面积为f(x),试求f(x)的解析式.解析：设AB的中点为D，则AD=CD=2.当0x2时，f(x)= x2.如图（1）.当2x4时，f(x)=SABC-(x-2)2-(4-x)2=-x2+
8、6x-6.如图（2）.当4x6时，f(x)=(6-x)2.如图（3）.f(x)=轻松阅读神奇的08奥运预测 据2010年6月1日京华时报报道，“诺奖七得主北京论道”期间，2003年诺贝尔经济学奖得主、著名经济预测大师克莱莱夫格兰杰教授通过自己的模型预测，2008年北京奥运会将有11 468名运动员参加.克莱夫格兰杰用自己设计的模型预测北京奥运会的参赛人数 克莱夫格兰杰是著名的经济预测大师，所研究的领域非常抽象.但在昨天的讲演中，他却将自己的理论具体化，向听众介绍了自己设计的奥运参赛运动员人数计算模型，然后根据这个模型大胆预测了2008年参加北京奥运会的运动员人数. 克莱夫格兰杰设计了一个坐标，
9、横轴是历届奥运会举办时间，纵轴是奥运会参赛人数.他把从1900年到2010年的每次奥运会的参赛人数都在坐标上标志出来，然后连点成线.“我们看到，这是一条比较平滑的曲线，实际上是一个随时间变化的二次函数，这是个并不复杂的数学问题.”克莱夫格兰杰根据这条曲线设计出一个二次方程，然后计算出2008年来北京参加比赛的运动员将有11 468人，具体数字可能在10 500到12 500之间波动.二次方程古人解 中世纪的阿拉伯数学家花拉子米用一种图解法求出方程x2+10x=39的正根为3，其主要想法是用几何图形的面积来表示方程中含字母的项，由此生动形象地提示了配方法的内涵.此外，古代印度数学家的配方方法也很有趣：在ax2+bx+c=0的两边同乘以4a再配方后得（2ax+b）2=b2-4ac，然后开方得求根公式.这个方法有两个优点：一是判别式是怎么来的看得比较清楚（菲尔兹奖得主芒福得曾经说过这样的话：“对于我来说，b2-4ac至今仍像是个死记的偶像”）；二是在课本上的求根公式推导过程中，开平方后分母中含有绝对值，而这里就没有这个麻烦.