1、2.3 直线的交点坐标与距离公式 2.3.1 两条直线的交点坐标 2.3.2 两点间的距离公式 第二章 直线和圆的方程 学 习 任 务核 心 素 养 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标(重点)2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系(难点)3.探索并掌握平面上两点间的距离公式(重点)1.通过两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学素养.2.通过学习两点间的距离，培养逻辑推理和直观想象的数学素养.情境导学探新知 NO.1知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 点P(x0，y0)在直线AxByC0上，那么我们会有Ax0By0C0，当P(x0，y0)同时在两条直线A1xB1yC
2、10和A2xB2yC20上时，我们会有Aix0Biy0Ci0(i1,2)，那么点P就是这两条直线的交点 下面我们就来研究两直线的交点问题知识点1 两条直线的交点已知两条直线的方程是l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1xB1yC10，也满足直线l2的方程A2xB2yC20，即点P的坐标就是方程组A1xB1yC10，A2xB2yC20的解1.直线xy5与直线xy3交点坐标是()A(1,2)B(4,1)C(3,2)D(2,1)B 解方程组xy5，xy3，得x4y1，因此交点坐标为(4,1
3、)，故选B知识点 2 两直线的位置关系和方程组解的个数的关系直线 l1：A1xB1yC10(A1，B1 不同时为 0)；l2：A2xB2yC20(A2，B2 不同时为 0)的位置关系如表所示方程组A1xB1yC10A2xB2yC20 的解 一组 无数组 无解 直线 l1 和 l2 公共点的个数一个 无数个 零个直线 l1 和 l2 的位置关系_ 相交重合平行2.若方程组A1xB1yC10A2xB2yC20 无解，则直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20的位置关系是_ l1l2 方程组无解，则l1与l2无公共点，从而l1l2.知识点3 两条直线的位置关系斜截式一般式 方程 y
4、k1xb1，yk2xb2A1xB1yC10(A21B210)，A2xB2yC20(A22B220)相交k1k 2A1B2A2B10 垂直k1k21A1A2B1B20 斜截式一般式 平行k1k2b1b2A1B2A2B10，B1C2B2C10或A1B2A2B10，A1C2A2C10重合k1k2b1b2A1B2A2B10，且B1C2B2C10 1.若直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20满足A1B2A2B1，则l1与l2的位置关系是什么？提示 平行或重合3.直线l1：4xy30与直线l2：3x12y110的位置关系是_ l1l2 由43(1)120得l1l2.知识点 4 两点间的
5、距离公式(1)平面上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|x2x12y2y12.(2)两点间距离的特殊情况原点 O(0,0)与任一点 P(x，y)间的距离|OP|x2y2.当 P1P2x 轴(y1y2)时，|P1P2|_.当 P1P2y 轴(x1x2)时，|P1P2|_.|x2x1|y2y1|2.两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|x1x22y1y22的形式？提示 可以，原因是x2x12y2y12x1x22y1y22，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分4.已知点P1(4,2)，P2(2，2)，则|P1P2|_
6、.2 5|P1P2|422222 202 5.合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型4 类型1 两条直线的交点问题【例1】(1)若直线xby90经过直线5x6y170与直线4x3y20的交点，则b等于()A2 B3 C4 D5(2)直线2x3yk0和直线xky120的交点在x轴上，则k的值为()A24 B24 C6 D6(1)D(2)A(1)解方程组5x6y170，4x3y20，得x1，y2，则直线xby90经过点(1，2)，所以12b90，解得b5，故选D(2)设交点坐标为(a,0)，则有 2ak0，a120，解得a12，k24，故选A两直线交点在坐标轴上的处理方法当两直线的交
7、点在坐标轴上时，可设出交点坐标为(a,0)或(0，b)，然后代入直线方程求解跟进训练1三条直线ax2y70,4xy14和2x3y14相交于一点，则a_.34 解方程组4xy14，2x3y14，得x4，y2.所以两条直线的交点坐标为(4，2)由题意知点(4，2)也在直线ax2y70上，将(4，2)代入，得a42(2)70，解得a34.类型2 直线的平行与垂直问题【例2】(1)已知直线l1：2x(m1)y40与直线l2：mx3y20平行，则m_.(2)已知直线l1：(a2)x(1a)y10与直线l2：(a1)x(2a3)y20互相垂直，则a_.(1)2或3(2)1或1 法一：(1)由l1：2x(m
8、1)y40，l2：mx3y20知：当m0时，显然l1与l2不平行 当m0时，要使l1l2，需2mm13 42.解得m2或m3，m的值为2或3.(2)由题意知，直线l1l2.若1a0，即a1时，直线l1：3x10与直线l2：5y20显然垂直 若2a30，即a32时，直线l1：x5y20与直线l2：5x40不垂直 若1a0且2a30，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1a21a，k2 a12a3.当l1l2时，k1k21，即a21a a12a3 1，a1.综上可知，当a1或a1时，直线l1l2.法二：(1)令23m(m1)，解得m3或m2.当m3时，l1：xy20，l2：3x3y20，显然
9、l1与l2不重合，l1l2.同理当m2时，l1：2x3y40，l2：2x3y20，显然l1与l2不重合，l1l2，m的值为2或3.(2)由题意知直线l1l2，(a2)(a1)(1a)(2a3)0，解得a1，将a1代入方程，均满足题意 故当a1或a1时，直线l1l2.1对于直线l1：A1xB1yC10，直线l2：A2xB2yC20.有关直线l1，l2的平行与垂直问题，如何解决更简单？提示 对于垂直问题，可利用A1A2B1B20解决；对于平行问题，可先利用平行或重合的充要条件 A1B2A2B1，求出参数的范围，再通过验证判断两直线是否重合2对于直线l：AxByC0，用待定系数法如何去设与直线l平行
10、和垂直的直线？提示 与直线l平行的直线可设为AxBym0(mC)；与直线l垂直的直线可设为BxAym0.跟进训练2已知直线l1：xmy60，直线l2：(m2)x3y2m0.求m的值，使得l1和l2：(1)l1l2；(2)l1l2.解(1)由13m(m2)0得，m1或m3.当m1时，l1：xy60，l2：3x3y20.两直线显然不重合，即l1l2.当m3时，l1：x3y60，l2：x3y60.两直线重合故l1l2时，m的值为1.(2)由1(m2)m30得m12，故l1l2时，m的值为12.类型3 过定点(两条直线交点)的直线【例3】(1)直线mx3y2m30，当m变动时，所有直线都经过的定点坐标
11、为()A(2,1)B(1,2)C(1，2)D(2,1)(2)过两直线2x3y30和xy20的交点且与直线3xy10平行的直线方程为_(1)A(2)15x5y160(1)方程mx3y2m30可化为m(x2)3y30，令x20，33y0，得x2，y1，即直线mx3y2m30过定点(2,1)，故选A(2)法一：解方程组2x3y30，xy20，得x35，y75，所以两直线的交点坐标为35，75.又所求直线与直线3xy10平行，所以所求直线的斜率为3.故所求直线方程为y753x35，即15x5y160.法二：设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)0.(*)由于所求直线与直
12、线3xy10平行，所以有(2)1(3)30,得112.代入(*)式，得2112 x112 3 y2112 3 0，即15x5y160.符合条件本例(2)中若将“平行”改为“垂直”，如何求解？解 设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)0，由于所求直线与直线3xy10垂直，则3(2)(3)10，得34，所以所求直线方程为5x15y180.1含有参数的直线恒过定点的问题(1)法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解(2)法二：若能整理为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，其中是参
13、数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组A1xB1yC10，A2xB2yC20解得若整理成yy0k(xx0)的形式，则表示的直线必过定点(x0，y0)2经过两直线交点的直线方程 经过两直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20交点的直线方程可写为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(它不能表示直线l2)反之，当直线的方程写为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0时，直线一定过直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20的交点跟进训练3(1)经过点P(1,0)和两直线l1：x2y20，l2：3x2y20交点的直线方程为_(2)若aR，则直线(a1)xy2a
14、10恒过定点_(1)xy10(2)(2,1)(1)设所求直线方程为x2y2(3x2y2)0.点P(1,0)在直线上，12(32)0.15.所求方程为x2y215(3x2y2)0，即xy10.(2)方程(a1)xy2a10可化为a(x2)xy10，令x20，xy10，得x2，y1，即直线(a1)xy2a1恒过定点(2,1)类型4 两点间的距离公式及其应用【例4】(1)(对接教材P73例题)在直线2x3y50上求一点P，使点P到点A(2,3)的距离为 13，则点P的坐标是()A(5,5)B(1,1)C(5,5)或(1,1)D(5,5)或(1，1)(2)如图，在ABC中，|AB|AC|，D是BC边上
15、异于B，C的任意一点，求证：|AB|2|AD|2|BD|DC|.(1)C 设点P(x，y)，则y 2x53.由|PA|13，得(x2)22x533213，即(x2)29，解得x1或x5.当x1时，y1；当x5时，y5，P(1,1)或(5,5)，故选C(2)证明 如图，以BC的中点为原点O，BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系设A(0，a)，B(b,0)，C(b,0)，D(m,0)(bmb)则|AB|2(b0)2(0a)2a2b2，|AD|2(m0)2(0a)2m2a2，|BD|DC|mb|bm|(bm)(bm)b2m2，|AD|2|BD|DC|a2b2，|AB|2|AD|2|BD|DC|.坐标
16、法及其应用(1)坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决建系的原则主要有两点：让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴(2)利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；用坐标表示有关的量；将几何关系转化为坐标运算；把代数运算结果“翻译”成几何关系跟进训练4(1)ABC三个顶点的坐标分别为A(4，4)，B(2,2)，C(4，2)，则三角形AB边上的中线长
17、为()A 26B 65C 29D 13(2)如图所示，已知BD是ABC边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB|2|BC|212|AC|22|BD|2.(1)A AB的中点D的坐标为D(1，1)，|CD|142122 26.(2)证明 如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系xDy.设B(b，c)，C(a,0)，依题意得A(a,0)|AB|2|BC|212|AC|2(ab)2c2(ab)2c212(2a)2 2a22b22c22a22b22c2，2|BD|22(b2c2)2b22c2，所以|AB|2|BC|212|AC|22|BD|2.当堂达标夯基础
18、NO.31 3 2 4 1直线2xy10与直线xy20的交点在()A第一象限 B第二象限C第三象限D第四象限B 联立2xy10，xy20，解得x1，y1.交点(1,1)在第二象限故选B2 1 3 4 2已知A(1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则|AC|CB|的值为()A13B12C3D22 1 3 4 D 由两点间的距离公式，得|AC|3124024 2，|CB|3524622 2，故|AC|CB|4 22 22.3 1 2 4 3若两直线l1：xmy120与l2：2x3ym0的交点在y轴上，则m_.6 分别令x0，求得两直线与y轴的交点分别为：12m 和m3，由题意得12mm3，解得m
19、6.4 1 2 3 4已知直线l1：axy60与l2：x(a2)ya10相交于点P，若l1l2，则点P的坐标为_4 1 2 3(3,3)直线l1：axy60与l2：x(a2)ya10相交于点P，且l1l2，a11(a2)0，解得a1，联立方程xy60，xy0，易得x3，y3，点P的坐标为(3,3)回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)如何求两直线的交点坐标？提示 解两直线方程组成的方程组，方程组的解就是交点的坐标(2)直线方程具有什么特点时，直线恒过定点？提示 当x或y的系数含有字母参数时，直线恒过定点(3)对于直线l1：A1xB1yC10，直线l2：A2xB2yC20.两直线相交、平行或重合、垂直的充要条件是什么？提示 l1与l2相交A1B2A2B1；l1与l2平行或重合A1B2A2B1；l1l2A1A2B1B20.(4)试写出两点间的距离公式 提示 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式|P1P2|x2x12y2y12.点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
