1、1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件第一章集合与常用逻辑用语第一章集合与常用逻辑用语1命题的概念(1)一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以_的陈述句叫做命题，其中 _的语句叫做真命题，_的语句叫做假命题(2)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为_(3)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题称为_(4)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题称为_(5)一般地，设“若 p，则 q”为原命题，那么_就叫做原命题的逆命题
2、；_就叫做原命题的否命题；_就叫做原命题的逆否命题2四种命题间的相互关系(1)四种命题间的相互关系图(请你补全)(2)真假关系 两个命题互为逆否命题，它们具有_的真假性，即等价；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性_3充分条件和必要条件(1)如果 pq，则称 p 是 q 的_，q 是 p 的_(2)如果_，且_，那么称 p 是 q 的充分必要条件，简称 p 是 q 的_，记作_(3)如果 pq，但 q p，那么称 p 是 q 的_条件(4)如果_，但_，那么称 p 是 q 的必要不充分条件(5)如果_，且_，那么称 p 是 q 的既不充分也不必要条件自查自纠1(1)判断真假 判断为真 判
3、断为假(2)互逆命题(3)互否命题(4)互为逆否命题(5)若 q，则 p 若p，则q 若q，则p2(1)(2)相同 没有关系3(1)充分条件 必要条件(2)pq qp 充要条件 pq(3)充分不必要(4)p q qp(5)p q q p1.下列语句为命题的是()A对角线相等的四边形Ba5Cx2x10D有一个内角是 90的三角形是直角三角形解：只有选项 D 是可以判断真假的陈述句，故选 D.2.命题“若 xy0，则 x0”的逆否命题是()A.若 x0，则 xy0 B.若 xy0，则 x0 C.若 xy0，则 y0 D.若 x0，则 xy0 解：“若 xy0，则 x0”的逆否命题为“若 x0，则
4、xy0”.故选 D.3.(2019浙江)若 a0，b0，则“ab4”是“ab4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解：当 a0,b0 时，ab2 ab，则当 ab4 时，有 2 abab4，解得 ab4，充分性成立；当 a1,b4 时，满足 ab4，但此时 ab54，必要性不成立 综上所述，“ab4”是“ab4”的充分不必要条件 故选 A.4.若命题 p 的逆命题是 q，命题 p 的否命题是 r，则 q 是 r的_.(填“否命题”“逆命题”或“逆否命题”)解：由四种命题间的相互关系，可知原命题的否命题与逆命题互为逆否命题故填逆否命题 5.已知
5、集合 Mx|1xa，Nx|1x3，则“a3”是“MN”的_条件.解：a2 时亦有 MN.故填充分不必要类型一 四种命题及其相互关系 例 1 写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断四种命题的真假.(1)若 ab，则 ac2bc2；(2)在ABC 中，若 ABAC，则CB；(3)若 x22x30，则 x1 或 x3.解：(1)因为当 c0 时，ac2bc2，所以原命题为假命题 逆命题：若 ac2bc2，则 ab.它为真命题 否命题：若 ab，则 ac2bc2.它为真命题 逆否命题：若 ac2bc2，则 ab.它为假命题(2)逆命题：在ABC 中，若CB，则 ABAC.否命题：在ABC
6、中，若 ABAC，则CB.逆否命题：在ABC 中，若CB，则 ABAC.这里，四种命题都是真命题(3)逆命题：若 x1 或 x3，则 x22x30.否命题：若 x22x30，则1x3.逆否命题：若1x3，则 x22x30.这里，四种命题都是真命题 评析 写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题，关键是找出原命题的条件 p 与结论 q，将原命题写成“若p，则 q”的形式.在题(2)中，原命题有大前提“在ABC中”，在写出它的逆命题、否命题和逆否命题时，应当保留这个大前提.题(3)中“x1 或 x3”的否定形式是“x1 且 x3”，即“1x3”.变式 1(1)(2018长春质检二)命题“若 x21，
7、则1x1”的逆否命题是()A.若 x21，则 x1 或 x1B.若1x1，则 x21 或 x1 D.若 x1 或 x1，则 x21 解：对原命题的条件进行否定作为逆否命题的结论，对原命题的结论进行否定作为逆否命题的条件，由此知命题“若 x21，则1x2t，则 mt 且 nt”的逆命题；命题“相似三角形的面积相等”的否命题；命题“末位数字不为零的整数能被 3 整除”的逆否命题；命题“若 c1，则方程 x22xc0 没有实数根”的否命题.A.B.C.D.解：因为中所给命题的逆命题“若 mt 且 nt，则 mn2t”成立，所以为真命题 因为中所给命题的否命题“如果两个三角形不相似，那么它们的面积不相
8、等”不成立，所以为假命题 因为中所给命题的逆否命题“如果一个整数不能被 3 整除，那么它的末位数字为零”不成立，所以为假命题也可由原命题为假知其逆否命题为假 因为中所给命题的否命题为“若 c1，则方程 x22xc0 有实数根”，而 c1 时，44c0，所以为真命题 综上知，为假命题故选 A.类型二 充要条件的判定例 2 指出下列各组中，p 是 q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答).(1)在ABC 中，p：AB，q：sinAsinB；(2)已知 x，yR，p：(x1)2(y2)20，q：(x1)(y2)0；(3)非空集合 A，
9、B(AB)中，p：x(AB)，q：xB；(4)对于实数 x，y，p：xy8，q：x2 或 y6.解：(1)在ABC 中，ABsinAsinB；反之，若 sinAsinB，因为 A 与 B 不可能互补(三角形三个内角之和为 180)，所以只有AB，故 p 是 q 的充要条件(2)条件 p：x1 且 y2，条件 q：x1 或 y2，所以 pq 但qp，故 p 是 q 的充分不必要条件(3)显然 x(AB)不一定有 xB，但 xB 一定有 x(AB)，所以 p 是 q 的必要不充分条件 (4)易知 p：xy8，q：x2 且 y6，显然 q p，但 pq，即 q 是 p 的充分不必要条件，根据原命题和
10、逆否命题的等价性知，p 是 q 的充分不必要条件 评析 充要条件的三种判断方法：定义法：根据 pq，qp 进行判断；集合法：根据由 p，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断，这个方法特别适合以否定形式给出的问题.变式 2(1)(2019天津)设 xR，则“x25x0”是“|x1|1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解：由 x25x0 可得 0 x5，由|x1|1 可得 0 x2，易知由 0 x5 推不出 0 x2，由 0 x2 能推出 0 x5，故
11、“0 x5”是“0 x2”的必要而不充分条件，即“x25x0”是“|x1|1”的必要而不充分条件 或由(0，2)(0，5)得出结论故选 B.(2)(2020 四省八校联考)等比数列an中，a10，则“a1a4”是“a3a5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解：a10，则 a1a4a1a1q3q31q1.a10，则 a3a5a1q2a1q4q2(q21)0q1或 q1.(1，)(，1)(1，)故选 A.类型三 充要条件的应用例 3(1)“直线 xyk0 与圆(x1)2y22 有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是()A.1k3 B.1k3 C
12、.0k3 D.k3 解：直线 xyk0 与圆(x1)2y22 有两个不同交点等价于|10k|2 2，解得 k(1，3)四个选项中只有(0，3)是(1，3)的一个真子集，故充分不必要条件可以是“0k3”.故选 C.(2)(2019湖南师大附中 3 月月考)设 p：ln(2x1)0，q：(xa)x(a1)0，若 q 是 p 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是()A.0，12B.0，12C.(，012，D.(，0)12，解：由 p 得：123”是“xm”的必要不充分条件，则 m 的取值范围是_.解：因为“x3”是“xm”的必要不充分条件，所以(m，)是(3，)的真子集，所以 m3.故填(3，
13、)(2)已知集合 AxR|122x8，BxR|1x2 D.m|2m2解：AxR122x8 x|1x3，即 m2.故选 C.1.命题及其真假判断(1)判断一个语句是否为命题，就是要看它是否具备“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.只有这两个条件都具备的语句才是命题.(2)判断一个命题的真假，首先要分清命题的条件和结论.对涉及数学概念的命题真假的判断，要以数学定义、定理为依据(数学定义、定理都是命题，且都是真命题)，从概念的本身入手进行判断.2.四种命题间的相互关系及应用(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系.要注意四种命题关系的
14、相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”.(2)当一个命题有大前提而要写其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提.(3)判断命题的真假，如果不易直接判断，可正难则反，应用互为逆否命题的等价性来判断.3.“否命题”与“命题的否定”的区别 “否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，“否命题”是对原命题既否定其条件，又否定其结论，而“命题的否定”只否定命题的结论.4.充要条件的三种判断方法(1)定义法：分三步进行，第一步，分清条件与结论；第二步，判断 pq 及 qp 的真假；第三步，下结论.(2)等价转化法：将命题转化为另一个等价且容易判断真假的命题.一般地，这类问题由几个充分必要条件混杂在一起，可以画出关系图，运用逻辑推理判断真假.(3)集合法：写出集合 Ax|p(x)及 Bx|q(x)，利用集合之间的包含关系加以判断：若 AB，则 p 是 q 的充分条件；若 AB，则 p 是 q 的充分不必要条件；若 BA，则 p 是 q 的必要条件；若 BA，则 p 是 q 的必要不充分条件；若 AB，则 p 是 q 的充要条件；若 AB 且 BA，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.