1、高考导航 函数与导数作为高中数学的核心内容，常常与其他知识结合起来，形成层次丰富的各类综合题，高考对导数计算的要求贯穿于与导数有关的每一道题目之中，多涉及三次函数、指数函数、对数函数、正弦函数、余弦函数以及由这些函数复合而成的一些函数的求导问题；函数的单调性、极值、最值均是高考命题的重点内容，在选择、填空、解答题中都有涉及，试题难度不大运用导数解决实际问题是函数应用的延伸，由于传统数学应用题的位置已经被概率解答题占据，所以在历年高考题中很少出现单独考查函数应用题的问题，但结合其他知识综合考查用导数求解最值的问题在每年的高考试题中都有体现另外，在压轴题中常考查导数与含参不等式、方程、解析几何等方
2、面的综合应用等，且难度往往较大热点一 利用导数解决函数的单调性问题函数的单调性是函数在定义域内的局部性质，因此利用导数讨论函数的单调性时，要先研究函数的定义域，再利用导数f(x)在定义域内的符号来判断函数的单调性这类问题主要有两种考查方式：(1)判断函数f(x)的单调性或求单调区间(2)利用函数的单调性或单调区间，求参数的范围【例 1】已知函数 f(x)ln xax1ax 1(aR)(1)当 a1 时，求曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)当 a12时，讨论 f(x)的单调性解(1)当 a1 时，f(x)ln xx2x1，x(0，)所以 f(x)x2x2x2，x(0，)，因此
3、 f(2)1，即曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为 1.又 f(2)ln 22，所以曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 y(ln 22)x2，即 xyln 20.(2)因为 f(x)ln xax1ax 1，所以 f(x)1xaa1x2 ax2x1ax2，x(0，)令 g(x)ax2x1a，x(0，)，当 a0 时，g(x)x1，x(0，)，所以，当 x(0,1)时，g(x)0，此时 f(x)0，函数 f(x)单调递减；当 x(1，)时，g(x)0，函数 f(x)单调递增；当 a0 时，由 f(x)0，即 ax2x1a0，解得 x11，x21a1.()当 a12时，x
4、1x2，g(x)0 恒成立，此时 f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减；()当 0a10，x(0,1)时，g(x)0，此时 f(x)0，函数 f(x)单调递减；x1，1a1 时，g(x)0，函数 f(x)单调递增；x1a1，时，g(x)0，此时 f(x)0，函数 f(x)单调递减；()当 a0 时，由于1a10，此时 f(x)0，函数 f(x)单调递减；x(1，)时，g(x)0，函数 f(x)单调递增综上所述：当 a0 时，函数 f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增；当 a12时，函数 f(x)在(0，)上单调递减；当 0a12时，函数 f(x)在(0,1)上单调递减，
5、在1，1a1 上单调递增，在1a1，上单调递减探究提高(1)判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断f(x)的符号问题上，而f(x)0或f(x)0，最终可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题若含参数，则含参数的二次不等式的解法常常涉及到参数的讨论问题，只要把握好下面的四个“讨论点”，一切便迎刃而解分类标准一：二次项系数是否为零，目的是讨论不等式是否为二次不等式；分类标准二：二次项系数的正负，目的是讨论二次函数图象的开口方向；分类标准三：判别式的正负，目的是讨论二次方程是否有解；分类标准四：两根差的正负，目的是比较根的大小(2)若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f(x
6、)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题【训练 1】(2014成都检测)已知函数 f(x)x22aln x(a0)(1)若函数 f(x)的图象在点(2，f(2)处的切线斜率为 2，求实数 a 的值；(2)若函数 g(x)2xf(x)在1,2上是减函数，求实数 a 的取值范围解(1)由 f(x)x22aln x，得 f(x)2x2ax，而 f(2)4a2，解得 a2.(2)由题意知 g(x)2xx22aln x，则 g(x)2x2ax1x2，令 h(x)x2ax1，函数 g(x)在1,2上 是 减 函 数 等 价 于 h(x)0 在 1,2 上 恒 成 立，只 需 满 足h10，h20，解得 a3
7、2.故实数 a 的取值范围是，32.热点二 利用导数求解函数的极值、最值用导数研究函数的极值或最值是高考命题的重要题型之一对于此类问题的求解，首先，要理解函数极值的概念，需要清楚导数为零的点只是可疑点，不一定是极值点，只有在该点两侧导数的符号相反，即函数在该点两侧的单调性相反时，该点才是函数的极值点；其次，要区分极值与最值，函数的极值是一个局部概念，而最值是某个区间的整体性概念【例 2】已知函数 f(x)axxln x 的图象在点 xe(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为 3.(1)求实数 a 的值；(2)若 kZ，且 k1 恒成立，求 k 的最大值解(1)因为 f(x)axxln x，所以
8、 f(x)aln x1.因为函数 f(x)axxln x 的图象在点 xe 处的切线斜率为3，所以 f(e)3，即 aln e13，所以 a1.(2)由(1)知，f(x)xxln x，又 k1 恒成立，即k1 恒成立令 g(x)xxln xx1，则 g(x)xln x2x12，令 h(x)xln x2(x1)，则 h(x)11xx1x 0，所以函数 h(x)在(1，)上单调递增因为 h(3)1ln 30，所以方程 h(x)0 在(1，)上存在唯一实根 x0，且满足 x0(3,4)当 1xx0 时，h(x)0，即 g(x)x0 时，h(x)0，即 g(x)0，所以函数 g(x)xxln xx1
9、在(1，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以g(x)ming(x0)x01ln x0 x01x01x02x01x0(3,4)，所以 k0 时，因为二次函数 yax2(a1)xa 的图象开口向上，而 f(0)a0，所以 f(1)(a1)e0，即 0a1；当 a1 时，对任意 x0,1有 f(x)(x21)ex0，f(x)符合条件；当 a0 时，对于任意 x0,1，f(x)xex0，f(x)符合条件；当 a0，f(x)不符合条件故 a 的取值范围是0,1(2)因为 g(x)(2ax1a)ex，所以 g(x)(2ax1a)ex.()当 a0 时，g(x)ex0，g(x)在 x0 时取得最小
10、值 g(0)1，在 x1 时取得最大值 g(1)e.()当 a1 时，对于任意 x0,1，有 g(x)2xex0，g(x)在 x0 时取得最大值 g(0)2，在 x1 时取得最小值 g(1)0.()当 0a0.若1a2a 1，即 0a13时，g(x)在0,1上单调递增，g(x)在 x0 时取得最小值 g(0)1a，在 x1 时取得最大值 g(1)(1a)e.若1a2a 1，即13a1 时，对 x(0，a1有(x)0，(x)在(0，a1上单调递减，(a1)1 时，存在 x0，使(x)0)(1)若 a1，f(x)在(0，)上是单调增函数，求 b 的取值范围；(2)若 a2，b1，求方程 f(x)1
11、x在(0,1上解的个数解(1)f(x)|x2|bln xx2bln x0 x2，x2bln xx2.当 0 x2 时，f(x)x2bln x，f(x)1bx.由条件，得1bx0 恒成立，即 bx 恒成立b2.当 x2 时，f(x)x2bln x，f(x)1bx，由条件，得 1bx0 恒成立，即 bx 恒成立b2.综合，得 b 的取值范围是b|b2(2)令 g(x)|ax2|ln x1x，即 g(x)ax2ln x1x 0 x2a，ax2ln x1xx2a.当 0 x2a时，g(x)ax2ln x1x，g(x)a1x1x2.0 xa2.则 g(x)aa2a24 aa240.即 g(x)0，g(x)在(0，2a)上是递增函数当 x2a时，g(x)ax2ln x1x，g(x)a1x1x20.g(x)在(2a，)上是递增函数又因为函数 g(x)在 x2a有意义，g(x)在(0，)上是递增函数g(2a)ln 2aa2，而 a2，ln 2a0，则 g(2a)0.a2，g(1)a3.当 a3 时，g(1)a30，g(x)0 在(0,1上解的个数为 1.当 2a3 时，g(1)a30，g(x)0 在(0,1上无解，即解的个数为 0.
