1、2.4 圆的方程 2.4.2 圆的一般方程 第二章 直线和圆的方程 学 习 任 务核 心 素 养 1.掌握圆的一般方程及其特点(重点)2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，会由一般式求圆心和半径(易混点)3.能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程(重点、难点)1.通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养.2.通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养.情境导学探新知 NO.1知识点 把圆的标准方程(x1)2(y2)29中的括号展开、整理之后，得到的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程都能化成这种形式？知识点 圆的一般方程(1)圆的一般方程当 D2E24F0 时，二
2、元二次方程叫做圆的一般方程，此时方程表示以 为圆心，为半径的圆x2y2DxEyF0D2，E212 D2E24F(2)方程 x2y2DxEyF0 表示的图形条件图形 D2E24F0表示以D2，E2 为圆心，以_为半径的圆D2，E212 D2E24F已知点M(x0，y0)和圆的方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)，当点M在圆外、圆上、圆内时，x0，y0满足怎样的关系式？提示 点M在圆外x20y20Dx0Ey0F0；点M在圆上x20y20Dx0Ey0F0；点M在圆内x20y20Dx0Ey0F0求解 由表示圆的条件，得(2m)2(2)24(m25m)0，解得m0，即m15.所以实数m的取值范围是
3、，15.将方程x2y22mx2ym25m0写成标准方程为(xm)2(y1)215m，故圆心坐标为(m,1)，半径r 15m.二元二次方程表示圆的判断方法任何一个圆的方程都可化为x2y2DxEyF0的形式，但形如x2y2DxEyF0的方程不一定表示圆判断它是否表示圆可以有以下两种方法：(1)计算D2E24F，若其值为正，则表示圆；若其值为0，则表示一个点；若其值为负，则不表示任何图形(2)将该方程配方为xD22yE22D2E24F4，根据圆的标准方程来判断跟进训练1判断方程x2y24mx2my20m200能否表示圆若能表示圆，求出圆心和半径解 法一：由方程x2y24mx2my20m200可知D4
4、m，E2m，F20m20，D2E24F16m24m280m8020(m2)2.因此，当m2时，它表示一个点；当m2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，m)，半径为r12 D2E24F 5|m2|.法二：原方程可化为(x2m)2(ym)25(m2)2，因此，当m2时，它表示一个点；当m2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，m)，半径为r 5|m2|.类型2 求圆的一般方程【例2】(对接教材P86例题)已知ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(5,3)，E(4,2)，F(1,1)(1)求ABC的边AB所在直线的方程及点A的坐标；(2)求ABC的外接圆的方程解(1)由题意可知kED
5、kAB32541，又F(1,1)为AB的中点，AB所在直线的方程为y11(x1)，即xy0.同理CA所在直线的方程为x2y0，联立，得A(0,0)因此直线AB的方程为xy0，点A的坐标为(0,0)(2)由线段AB的中点F(1,1)及A(0,0)得B(2,2)，由线段AC的中点E(4,2)及A(0,0)得C(8,4)，设ABC的外接圆的方程为x2y2DxEyF0，将A，B，C的坐标代入圆的方程可得 F0，442D2EF0，64168D4EF0，解方程组可得D16，E12，F0，圆的方程为x2y216x12y0.试总结用待定系数法求圆的一般方程的步骤提示(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2y2
6、DxEyF0.(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组(3)解此方程组，求出D，E，F的值(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程跟进训练2(1)圆心在直线yx上，且经过点A(1,1)，B(3，1)的圆的一般方程是_(2)已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，1)，求ABC的外接圆的方程(1)x2y24x4y20 设圆的方程为x2y2DxEyF0，则圆心是D2，E2，由题意知，D2E2，2DEF0，103DEF0，解得DE4，F2，即所求圆的一般方程是x2y24x4y20.(2)解 设ABC外接圆的方程为x2y2DxEyF0，由题意得2D2EF80，5D3EF34
7、0，3DEF100，解得D8，E2，F12，即ABC的外接圆方程为x2y28x2y120.类型3 求动点的轨迹方程【例3】已知圆x2y24上一定点A(2,0)，点B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程线段的中点，直角三角形斜边的中点，圆中弦的中点都有怎样的性质？由此你能得到什么结论？解(1)设线段AP的中点M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x0，y0)，x2x02，y0y02，x02x2，y02y.又P(x0，y0)在圆x2y24上，(2x2)2(2y)24，(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在R
8、tPBQ中，|PN|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ(图略)，|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程(3)代入法：若动点P(x，y)依赖圆上的某一个动点Q(x0，y0)而运动，找到两点的关系，把x0，y0用x，y表示，再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中得P点的轨迹方程 提醒：注意“求轨迹”与“求轨迹方程”是不同的跟进训练3(1)已知圆x2y21，点A(1,0)，ABC内接于圆，且BAC6
9、0，当B，C在圆上运动时，BC中点D的轨迹方程是()Ax2y212 Bx2y214Cx2y212x12 Dx2y214x14(2)已知ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程(1)D 设D(x，y)，由BAC60知BOD60，在RtBOD中，DBO30，则OD12OB12，x2y214，当CA时，DAO30，AD 32，此时x14，BC中点D的轨迹方程是x2y214x14，故选D(2)解 以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，则A(2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)2x2 x0，0y2 y0.|AD|3，(x02
10、)2y209.将代入，整理得(x6)2y236.点C不能在x轴上，y0.综上，点C的轨迹是以(6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(12,0)和(0,0)两点 轨迹方程为(x6)2y236(y0)当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1圆x2y24x6y30的圆心和半径分别为()A(4，6)，16 B(2，3)，4C(2,3)，4D(2，3)，16C 圆的方程可化为(x2)2(y3)216，因此圆心坐标为(2,3)，半径r4，故选C2 1 3 4 5 2方程x2y22ax2bya2b20表示的图形为()A以(a，b)为圆心的圆B以(a，b)为圆心的圆C点(a，b)D点(a，b)2 1 3 4 5 D 原方程可化为(xa)2(yb)20，xa0，yb0，即xa，yb.方程表示点(a，b)3 1 2 4 5 3若方程x2y2xym0表示圆，则实数m的取值范围是()Am12 Cm1A 由二元二次方程表示圆的充要条件可知，(1)2124m0，解得m0.2二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆，需满足什么条件？提示 AC0，B0，D2E24AF0.3求动点的轨迹方程有哪些常用方法？提示 直接法、定义法、相关点法.点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!